Phép tính giải tích trong không gian uclid en và hình học vi phân của en

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN Chu Thị Yến PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN Chu T

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Chu Thị Yến

PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Chu Thị Yến

PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Chuyên ngành: Toán hình học

Mã số: ???????

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Thạc sĩ: Nguyễn Thị Trà

Hà Nội – Năm 2016

Trong quá trình thực hiện khóa luận, em đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và hỗ trợ Em xin chân thành cảm ơn ThS Nguyễn Thị Trà- giảng viên khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình

và giúp đỡ rất nhiều để em có thể hoàn thành khóa luận này Nhân đây, em cũng muốn gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong tổ Hình học, cũng như các thầy cô trong khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp đỡ và chỉ bảo trong suốt thời gian em theo học đại học và làm khóa luận.

Em cũng xin cảm ơn các quý thầy cô trong Hội đồng chấm khóa luận đã dành thời gian quan tâm và góp ý để khóa luận được hoàn chỉnh hơn.

Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè đã luôn động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 20/04/2016 Tác giả khóa luận

Chu Thị Yến

Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Nguyễn Thị Trà cùng với sự cố gắng của bản thân Trong quá trình nghiên cứu em đã kế thừa những thành quả của các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự trân trọng

và biết ơn.

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác.

Hà Nội, ngày 20/04/2016 Tác giả khóa luận

Chu Thị Yến

Mở đầu 1

1.1 Một số phép tính giải tích trên Rn 3

1.1.1 Hàm vectơ n biến 3

1.1.2 Giới hạn của hàm vectơ 3

1.1.3 Đạo hàm và vi phân cấp một 4

1.1.4 Một số định lí 5

1.1.5 Dạng vi phân bậc một 6

1.2 Không gian Euclid En 6

1.2.1 Không gian vectơ Euclid 6

1.2.2 Không gian Euclid En 7

1.2.3 Mục tiêu trực chuẩn 7

2 Phép tính giải tích trong không gian Euclid En và hình học vi phân của En 8 2.1 Hàm vectơ 8

2.1.1 Định nghĩa 8

2.1.2 Ví dụ 9

2.1.3 Một số phép toán 9

2.1.4 Giới hạn của hàm vectơ 10

2.1.5 Đạo hàm của hàm vectơ 10

2.1.6 Nguyên hàm và tích phân 11

2.2 Vectơ tiếp xúc Trường vectơ Cung tham số và trường vectơ dọc một cung tham số 12

2.2.1 Vectơ tiếp xúc 12

2.2.2 Trường vectơ 12

2.2.3 Trường mục tiêu 13

2.2.4 Cung tham số(quỹ đạo) 16

2.2.5 Trường vectơ dọc một cung tham số 17

2.3 Đạo hàm của hàm số theo một vectơ tiếp xúc và dọc một trường vectơ 18

2.3.1 Đạo hàm của hàm số theo một vectơ tiếp xúc 18 2.3.2 Đạo hàm của hàm số dọc một trường vectơ 20

2.4 Ánh xạ tiếp xúc của một ánh xạ khả vi 21

2.4.1 Ánh xạ khả vi 21

2.4.2 Ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi f : U −→ V 21 2.5 Dạng vi phân bậc một, bậc hai trên một tập mở trong En 25 2.5.1 Dạng vi phân bậc một 25

2.5.2 Dạng vi phân bậc hai 28

2.5.3 Vi phân ngoài của dạng vi phân bậc một 30

2.5.4 Sơ lược về tenxơ và trường tenxơ 31

2.5.5 Ánh xạ khả vi với dạng vi phân 37

2.6 Đạo hàm của trường vectơ 39

2.6.1 Đạo hàm của trường vectơ dọc cung tham số 39

2.6.2 Đạo hàm của trường vectơ theo một vectơ tiếp

xúc và dọc một trường vectơ 40

2.6.3 Dạng liên kết và phương trình cấu trúc của En

trong một trường mục tiêu trực chuẩn 41

3.1 Bài tập về hàm vectơ 45

3.2 Bài tập về trường vectơ, cung tham số và trường vectơ

dọc một cung tham số 49

3.3 Bài tập về ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi 55

3.4 Bài tập về dạng vi phân bậc một, bậc hai trên một tập

mở trong En 633.5 Bài tập về đạo hàm của trường vectơ 66

Mở đầu

1.Lí do chọn đề tài

Phép tính giải tích đóng vai trò quan trọng trong hình học vi phân

của En Nhờ phép tính giải tích, chúng ta nghiên cứu được các tínhchất, ứng dụng sâu sắc của hình học vi phân

Đây là phần kiến thức cơ bản, nền tảng nhằm phục vụ và gián tiếp

ứng dụng trong quá trình nghiên cứu các đối tượng của hình học vi

phân như: Cung, đường, mặt, đa tạp, đa tạp Riemann, đa tạp khả vi,

các cấu trúc và các phép toán giải tích trên đa tạp

Đối với những người yêu toán và muốn tìm hiểu về hình học vi

phân, đây được coi là đề tài khá hay và lí thú Nghiên cứu đề tài này

phần nào giúp em thỏa mãn niềm đam mê toán học, thúc đẩy sự tò

mò và sáng tạo toán học của bản thân Hơn nữa, nó giúp em củng cố,

tạo cơ sở vững chắc khi ứng dụng phép tính giải tích vào việc giải các

bài tập cũng như trong giảng dạy toán ở nhà trường phổ thông sau

này

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Phép tính giải tích trên một tập mở trong không gian Euclid En vàhình học vi phân của En

4 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm và tìm hiểu tài liệu qua tạp chí, báo, Internet,

Cơ sở lí luận phân tích, tổng hợp, đánh giá

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm

3 chương

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Phép tính giải tích trong không gian En

Chương 3 Một số bài tập cơ bản

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương 1 em sẽ trình bày một số kiến thức về phép tính giải

tích trên Rn và không gian Euclid En dưới dạng cơ bản nhất và xemchúng là cơ sở để có thể tiếp cận các kiến thức ở chương 2: "Phép tính

giải tích trong không gian Euclid En và hình học vi phân của En"- nộidung chính của bản khóa luận

1.1.1 Hàm vectơ n biến

Cho tập U ⊂ Rn Ánh xạ f : U −→ Rp được gọi là hàm vectơ n biếnxác định trên U , giá trị trong Rp

1.1.2 Giới hạn của hàm vectơ

Cho hàm vectơ f : U −→ Rp, điểm a ∈ U Ta nói rằng hàm f tiến đếngiới hạn b ∈ Rp khi x tiến đến a nếu với mọi  > 0 cho trước, tồn tại

δ > 0 (δ phụ thuộc ) sao cho với mọi x ∈ U thỏa mãn 0 < kx − ak < δ

ta đều có 0 < kf (x) − bk < 

A được gọi là đạo hàm của hàm vec tơ f tại a và thường được kí

hiệu là Df (a) hoặc f0(a)

Nếu f khả vi tại mọi điểm a ∈ U thì ta nói f khả vi trong U

b Các công thức tính đạo hàm :

Cho tập mở U ⊂ Rn và f, g : U −→ R

Nếu f, g khả vi tại a ∈ U thì ta có các công thức sau:

i)D(f + g)(a) = Df (a) + Dg(a),

ii)D(f.g)(a) = g(a)Df (a) + f (a)Dg(a),

iii) Nếu g(a)6= 0 thì D(f

d Đạo hàm riêng

Định nghĩa: Giả sử e1, , en là cơ sở chính tắc trong không gian

Rn U là tập mở trong Rn và f : U −→ Rn là hàm vectơ của n biến

Cho tập mở U ⊂ Rn và f : U −→ R Nếu f có các đạo hàm riêng

D1f (x), , Dnf (x) trong một lân cận nào đó của điểm a = (a1, , an)

và chúng là các hàm số liên tục tại a thì hàm f khả vi tại a và

Định lí(Về hàm ngược địa phương): Cho tập mở U ⊂ Rn,

f ∈ C1(U ), a ∈ U và det Jf(a) 6= 0 ở đó det Jf(a) là Jacobian của ftại a Khi đó tồn tại một tập mở V chứa a và một tập mở W chứa

b = f (a) sao cho ánh xạ f : V −→ W có ánh xạ ngược f−1 : W −→ Vkhả vi với mọi y ∈ W và thỏa mãn: (f−1)0(y) = [f0(f−1(y))]−1 tức

Df−1(y) = [Df (x)]−1

Đặc biệt: Df−1(b) = [Df (a)]−1

Định lí Schwarz: Cho tập mở U ⊂ Rn, a ∈ U, f : U −→ R Nếu

Định nghĩa: Cho tập mở U ⊂ Rn Ta gọi dạng vi phân bậc một trên

U là ánh xạ α : U −→ Hom(Rn, R), trong đó Hom(Rn, R) = (Rn)∗ làkhông gian đối ngẫu của Rn, tức là, không gian các hàm tuyến tính(liên tục) từ Rn vào R

1.2.1 Không gian vectơ Euclid

Không gian vectơ n chiều trên trường số thực gọi là không gian vectơ

Euclid, kí hiệu −→

En nếu với mỗi cặp có thứ tự (~a,~b) ∈ (−→

Em,−→

En) xácđịnh một số thực gọi là tích vô hướng của hai vectơ ~a,~b Kí hiệu ~a.~b

thỏa mãn các tiên đề sau:

i)~a.~b = ~b.~a

ii)~a.(~b + ~c) = ~a.~b + ~a.~c, ∀~a,~b, ~c ∈ −→

Eniii)(λ.~a).~b = λ.(~a.~b), ∀~a,~b ∈−→

En, λ ∈ Riv) ~a.~a > 0 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi ~a = ~0 ∀~a ∈ −E→n

Chú ý: ∀M ∈ En, ∀~x ∈ −→

En ta luôn tìm được duy nhất điểm N saocho −−→

M N = ~x, kí hiệu N = M + ~x

1.2.2 Không gian Euclid En

Định nghĩa: Không gian Euclid En là không gian afin liên kết vớikhông gian vectơ Euclid −→

En.Định nghĩa:Cho không gian vectơ Euclid En, α ∈ −→

Phép tính giải tích trong không

gian Euclid E n và hình học vi phân của E n

"Chương này trình bày phép tính giải tích trên một tập mở trong

không gian Euclid En dưới quan điểm ứng dụng nó vào nghiên cứuhình học, nhấn mạnh đạo hàm của hàm số theo một vectơ tiếp xúc,

ánh xạ tiếp xúc của một ánh xạ khả vi, trường vectơ và dạng vi phân."

+)Đặc biệt, n = 3 và −→

E3 có hướngTích có hướng:

(u) = −→

X khi u dần tới u0 nếu với mọi số  > 0, đềutồn tại số δ > 0 sao cho ∀u ∈ U thỏa mãn: ku − u0k < δ ta đều có

X )0 = ϕ0.X + ϕ.−→

X0

X thì với I = [a, b] ⊂ J (a<b), ta gọi vectơ −→

b

a = −→

Z (b) −−→

Z (a)

2.2 Vectơ tiếp xúc Trường vectơ Cung tham số

và trường vectơ dọc một cung tham số.

2.2.1 Vectơ tiếp xúc

Định nghĩa: Với mỗi p ∈ En, ~α ∈ −→

En, cặp (p, ~α) được gọi là một vectơtiếp xúc với En tại p ( còn nói ~α đặt gốc tại p) Kí hiệu αp

xúc của En tại p

2.2.2 Trường vectơ

Kí hiệu: T En = En×−E→n, T U = U ×−→

En ( với U là tập mở trong En)

a Định nghĩa: Trường vectơ trên một tập mở U ⊂ En là ánh xạ

X : U → TpU , p 7→ X(p) sao cho với mọi p ∈ U , Xp ∈ Tp(U )

Với X, Y ∈ V ec(U ), ϕ ∈ F (U ) ta định nghĩa được:

a Định nghĩa: Trường mục tiêu (khả vi) trên tập mở U ⊂ En là hệ

n trường vectơ (khả vi) {X1, , Xn} trên U sao cho với mỗi

p ∈ U , {X1(p), , Xn(p)} là một cơ sở của TpU

+) Nếu mọi trường vectơ Xi của trường mục tiêu {Xi} là song songthì trường mục tiêu đó là trường mục tiêu song song

+) Nếu mỗi cơ sở {Xi(p)} đều là cơ sở trực chuẩn của không gian

TpEn thì trường mục tiêu {Xi} là trường mục tiêu trực chuẩn

i), p ∈ U, i = 1, 2, , n thì hệ đó là trườngmục tiêu song song trên U

Trong trường mục tiêu song song {Xi} trên tập mở liên thông U,trường vectơ X = Pn

i=1(ϕiXi), ϕi ∈ F (u) là trường vectơ song songkhi và chỉ khi các hàm số ϕi là hàm hằng

b Ví dụ

1 Trường mục tiêu tọa độ cực trong mặt phẳng Euclid có hướng E2

* Trong E2, lấy một hệ tọa độ Descartes vuông góc thuận

nO;~i,~j

o

với (x; y) là tọa độ của điểm

+) ∀p ∈ U ⊂ E2\ {O}, U mở; giả sử −Op = x~i + y~j thì số→

r = k−→

Opk = px2 + y2 gọi là bán kính cực của p

ϕ = (~i;−→

Op) gọi là số đo góc cực của p đối với trục ox

Ta có: x = rcosϕ; y = rsinϕ Khi đó, đặt ứng với mỗi p ∈ U , vectơ

U1(p) = (p;

−→Op

k−Opk→

) và U2(p) có được do quay U1(p) một góc π

2 (ngượcchiều kim đồng hồ) thì ta nhận được {U1, U2} là một trường mục tiêutrực chuẩn thuận trên tập mở U

* Chứng minh trường mục tiêu {U1, U2} nhẵn

Theo giả thiết ta suy ra cosϕ = p x

U1 = c osϕE1 + sin ϕE2

U2 = − sin ϕE1 + cosϕE2

Rõ ràng {U1, U2} là trường mục tiêu nhẵn trên E2\ {O} ; nó gọi là

trường mục tiêu tọa độ cực trong E2 với gốc O.

2 Trường mục tiêu tọa độ cầu trong không gian Euclid có hướng E3

*)Trong E3 lấy một hệ tọa độ Descartes vuông góc thuận

nO;~i,~j, ~k

o

với (x, y, z) là tọa độ của điểm

+ Với mỗi p ∈ U ⊂ E3\ {Oz}, giả sử −Op = x~i + y~j + z~k thì số→

,

Op0 = rcosθvà

*Chứng minh trường mục tiêu {U1, U2, U3} nhẵn.

+Gọi {E1, E2, E3} là trường mục tiêu song song trên U ứng với cơ

sở (~i,~j, ~k) của hệ tọa độ (O;~i,~j, ~k) Ta có:

U1 = − sin ϕ.E1 + cosϕ.E2

U2 = − sin θ(cosϕ.E1 + sin ϕ.E2) + cosθ.E3

U3 = cosθ(cosϕ.E1 + sin ϕ.E2) + cosθ.E3

Rõ ràng {U1, U2, U3} là trường mục tiêu nhẵn Trường mục tiêu đóđược gọi là trường mục tiêu tọa độ cầu trên E3\ {Oz}

2.2.4 Cung tham số(quỹ đạo)

a Định nghĩa: Cung tham số là ánh xạ ρ : J −→ En với J là mộtkhoảng trong R Lấy một điểm O cố định trong En thì cho cung tham

số ρ : J −→ En tương đương với cho hàm vectơ ~ρ : J −→ −→

En,

t 7→ ~ρ(t) = −→

Oρ(t) với ~ρ(t) là bán kính vectơ của điểm ρ(t)

+) Cung tham số ρ gọi là khả vi lớp nếu hàm vectơ ~ρ khả vi

t 7→ ρ(t) = O + a~e(t) + bt~k ở đó a > 0, b 6= 0, ~e(t) = cost~i + sin t~j còn

viết ρ(t) = (acost, asint, bt)

Ta có x2(t) + y2(t) = a2 Nên ảnh của ρ nằm trên mặt trụ tròn xoaytrục Oz, bán kính a còn gọi là đường đinh ốc tròn trục Oz (Hình 5)

3 Cho hàm số f : J −→ R (khả vi) trên khoảng J ⊂ R thì có cung

tham số ρ : J −→ R2, t 7→ ρ(t) = (t, f (t)) Ảnh của ρ gọi là đồ thị củahàm số f.(hình 6)

2.2.5 Trường vectơ dọc một cung tham số

+ ) Lấy một hệ tọa độ afin (O; −→e

ϕiEi; {Ei} là trường mục tiêu song song ứng với hệ tọa độ đó,

ϕi là hàm số cho trước trên U, coi là hàm số của n biến số xi, i = 1, , n

Coi t là thời gian thì t 7→ ρ(t) ∈ En là chuyển động của một chấtđiểm trong En và ρ0(t) là trường vectơ vận tốc của chuyển động, −→

ρ0(t)

là vectơ vận tốc tại thời điểm t, −→

ρ00(t) là vectơ gia tốc tại thời điểm tcủa chuyển động

và dọc một trường vectơ

2.3.1 Đạo hàm của hàm số theo một vectơ tiếp xúc

a.Định nghĩa:

Cho ϕ : U −→ R là một hàm số trên một tập mở U ⊂ En, αp ∈ TpU Đạo hàm của hàm số ϕ theo vectơ tiếp xúc αp chính là đạo hàm tại

thức này nói lên "vận tốc biến thiên" tại t = 0 của hàm số ϕ khi cho

điểm thay đổi dọc quỹ đạo t 7→ p + t~α

*) Nếu (O; −→e

1, , −→e

n) là một hệ tọa độ afin của En với tọa độ (x1, , xn)

i Khi đó αp[ϕ] là đạo hàm tại t = 0 của hàm số

t 7→ ϕ(x1 + ta1, , xn + tan) Theo công thức đạo hàm của hàm hợp:

αp[ϕ] = d

dt(t 7→ ϕ(x

i+ tai))

p

hay Ei còn được kí hiệu là ∂

∂xi.b.Tính chất

p

= ∂ϕ

∂xi

p

.ψ(p) + ∂ψ

∂xi

... tích tắc U

2.5.3 Vi phân dạng vi phân bậc

U tập mở En Ta xác định ánh xạ gọi vi phânngoài d : Ωi(U ) −→ Ωi+1(U ), (i = 0, 1) mở rộng khái niệm vi. .. 1-dạng

vi phân θ U xác định hàm số θ(Ui) θ(

Kí hiệu tập 1-dạng vi phân khả vi U Ω1(U );

F (U ) cịn kí hiệu Ω0(U ) (hàm số coi dạng vi phân bậc... θ2 = rdϕ

2.5.2 Dạng vi phân bậc hai

a Định nghĩa

1) U tập mở En Một dạng vi phân bậc hai hay

2-dạng vi phân ω U vi? ??c đặt ứng với p ∈ U , ánh xạ

ωp