Hình học vi phân của các đường cong chính quy

Sinh vi¶n Ho ng Thà Hi·n... Trn V«n Nghà... Mët ¾a trán b¡n k½nh l trong m°tph¯ng Oxy l«n khæng tr÷ñt dåtheo Ox... uu vu wuuv vv wv uw vw ww... Khi xem x²t.

Tr÷î khi tr¼nhb y nëi dung h½nh khâa luªn,em xinb y täláng

bi¸t ìn s¥u tîi sÿ Trn V«n Nghà ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n

º em thº ho n th nh tèt khâa luªn n y

Em xin b y tä láng bi¸t ìn h¥n th nh tîi to n thº thy

gi¡o trong khoa To¡n, Tr÷íng ¤i hå S÷ ph¤m H  Nëi 2 ¢ d¤y b£o

em tªn t¼nh trong suèt qu¡ tr¼nh hå tªp t¤i khoa

Nh¥n dàp n y em xin ÷ñ gûi líi ìn h¥n th nh tîi gia

¼nh, b¤n b± ¢ luæn b¶n em, v, ëng vi¶n, gióp ï em trong suèt

qu¡ tr¼nh hå tªp v  hi»n khâa luªn tèt nghi»p

H  Nëi, ng y 29 th¡ng 05 n«m 2014

Sinh vi¶n

Ho ng Thà Hi·n

Khâa luªn: H¼nh hå vi ph¥n ÷íng ong quy

l  k¸t qu£ m  em ¢ ti¸p t¼m tái v  nghi¶n Trong qu¡ tr¼nh

nghi¶n em ¢ sû döng t i li»u mët sè gi£ trong v  ngo i

n÷î vîi sü h÷îng d¨n Ths Trn V«n Nghà Em xin oan

khâa luªn n y ho n to n khæng tròng vîi k¸t qu£ gi£

N¸u sai em xin hàu ho n to n h nhi»m !

H  Nëi, ng y 29 th¡ng 05 n«m 2014

Sinh vi¶n

Ho ng Thà Hi·n

1 Ki¸n hu©n bà 7

1.1 Khæng gian v 7

1.2 Mët sè h» tåa ë th÷íng dòng 8

1.2.1 H» tåa ë 8

1.2.2 H» tåa ë trong m°t ph¯ng 8

1.2.3 H» tåa ë trö trong khæng gian 8

1.2.4 H» tåa ë trong khæng gian 9

1.3 Gi£i h v 9

1.3.1 H m v 9

1.3.2 Mët sè ph²p to¡n ¤i sè v· h m v 10

1.3.3 Giîi h¤n h m v 10

1.3.4 ¤o h m h m v mët bi¸n 11

1.3.5 Nguy¶n h m v  h ph¥n h m v mët bi¸n 11 1.3.6 Cæng Taylor èi vîi h m v mët bi¸n 12

2 ÷íng h½nh quy 13 2.1 Giîi thi»u hung 13

2.2 ÷íng tham sè 14

2.3 ÷íng h½nh quy v  ë d i 18

2.4 h v trong R 3 25

2.5 T½nh h§t àa ph÷ìng ÷íng tham sè 30

2.6 D¤ng h½nh àa ph÷ìng 43

2.7 Mët sè t½nh h§t to n ÷íng ph¯ng 47

2.7.1 B§t ¯ng ¯ng hu 48

2.7.2 ành l½ 4-¿nh 52

2.7.3 Cæng hy-Crofton 57

T i li»u tham kh£o 67

1 Lþ do hån · t i

H¼nh hå l  mæn khoa hå i nghi¶n v· t½nh h§t ành t½nh v 

ành l÷ñng h¼nh Tòy v o ph÷ìng ph¡p nghi¶n

nhau m  nhúng ng nh h¼nh hå nhau nh÷ H¼nh hå Afin, H¼nh

hå X¤ £nh, H¼nh hå Vi ph¥n, H¼nh hå Gi£i h, H¼nh hå ¤i sè,

Tæpæ H¼nh hå vi ph¥n l  mëtnh¡nh h¼nh hå sû döng

v  ph÷ìng ph¡p ph²p t½nh vi ph¥n v  h ph¥n nh÷ ¤i sè

tuy¸n t½nh v  ¤i sè a tuy¸n º nghi¶n v§n · h¼nh hå

Lþ thuy¸t v· ÷íng trong m°t ph¯ng v  khæng gian nh÷

v· m°t trong khæng gian ba hi·u ¢ trð th nh sð

v  ho sü ph¡t triºnban u h¼nh hå vi ph¥n Vîi mong muèn t¼m

hiºu s¥u hìn v· èi t÷ñng nâi tr¶n v ÷ñ sü h÷îng d¨n thy

h÷îng d¨n, tæi ¢ quy¸t ành hån · t i n y º tr¼nh b y trong khâa

luªn tèt nghi»p ¤i hå

h h½nh khâa luªn l  h» thèng lþ thuy¸t v  ÷a ra

v½ dö vîi d¤ng b i tªp hi t¸t nh§t v· nhúng v§n · li¶n quan

¸n ÷íng ÷íng tham sè, ÷íng h½nh quy, ë d i

, ành lþ 4- ¿nh, hy-Crofton

Nhi»m vö nghi¶n l  h» thèng lþ thuy¸t, ÷a ra v½ dö

d¤ng b i tªp hi ti¸t v· nhúng v§n · li¶n quan ¸n ÷íng

÷íng tham sè, ÷íng h½nh quy, ë d i ành lþ

4- ¿nh, hy-Crofton

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n

å t¼m h t i li»u, ph¥n h v  têng hñp ki¸n

6 C§u khâa luªn

Khâa luªn bao gçm 2 h÷ìng:

Ch÷ìng 1: Ki¸n hu©n bà

Ch÷ìng 2: ÷íng h½nh quy

E n l  khæng gian n hi·u, l  khænggian afin li¶n k¸t vîi khæng gian v n hi·u E n Kho£ng hgiúa hai iºm M v  N thuë E n l 

tåa ë (x 1 , x 2 , , x n ), N tåa ë (y 1 , y 2 , , y n ) th¼ kho£ng h

M, N l :

v u u t

n

X

i=1

(y i − x i ) 2

Sau khi hån mët h» tåa ë vuæng gâ trong E n ta thº

çng nh§t En vîi Rn vîi t½nh kho£ng h tr¶n

1.2.1 H» tåa ë

Mët h» to¤ ë Oxy ành và tr½ mët iºm tr¶n m°tph¯ng ho tr÷î b¬ng mët sè (x, y) Trong â x v  y l  gi¡ trà ÷ñ

ành bði 2 ÷íng th¯ng h÷îng vuæng gâ vîi nhau ìn và

o) Hai ÷íng th¯ng â gåi l  to¤ ë (hay ìn gi£n l  T

n¬m ngang gåi l  ho nh, n¬m då gåi l  tung, iºm giao

nhau hai gåi l  gè to¤ ë v gi¡ trà l  (0,0)

1.2.2 H» tåa ë trong m°t ph¯ng

Trong m°t ph¯ng R 2 ho h» tåa ë vuæng gâ Oxy X²t

P = R 2 \ {O} Gi£ sû M l  iºm P, tåa ë M (x, y)

thº °t t÷ìng ùng M vîi sè mîi (r, ϕ) theo h sau ¥y:

1.2.3 H» tåa ë trö trong khæng gian

Choh»tåaë vuænggâ Oxyz trongE 3.X²tU = E 3 \ {Oz}

Câ thº ho ùng méi iºm M (x, y, z) ∈ U vîimët bë ba sè mîi (r, ϕ, ξ)

theo h sau¥y: l§y h¼nh hi¸u M1 M tr¶n m°t ph¯ng tåa ë Oxy

1.2.4 H» tåa ë trong khæng gian

Choh»tåaë vuænggâ Oxyz trongE 3.X²tU = E 3 \ {Oz}

Câ thº ho ùng méi iºm M (x, y, z) ∈ U vîi mët bë ba sè mîi (r, ϕ, θ)

→ ϕ i (x) = − → v i Do â, − → ϕ li¶n t¤i

p t÷ìng ÷ìng vîi ϕi li¶n t¤i p

K½ hi»u J l  kho£ng, o¤n, nûa kho£ng R (kº tr÷íng hñp J

mót ∞ hay −∞ ) v  ÷ñ gåi l  kho£ng têng qu¡t R X²t h m

Mët h têng qu¡t thº ành ngh¾a¤o h m theo quy n¤p:

gi£ sû ϕ (k) ành t¤i l¥n t 0 th¼ ϕ (k) l  mët h m v t¤i l¥n

â v  gi£ sû h m n y ¤o h m t¤i t0, k½ hi»u l  ϕ(k+1)(t0) th¼

Ta l§y a, b ∈ J, a < b Ta gåi v hi»u

÷íng h½nh quy

2.1 Giîi thi»u hung

H¼nh hå vi ph¥n ÷íng v  m°t · ¸n hai

kh½a nhau Mët l , h¼nh hå vi ph¥n iºn, ÷ñ b­t nguçn

tø gi£i h Nâi h h¼nh hå vi ph¥n iºn i nghi¶n

t½nh h§t àa ph÷ìng ÷íng v  m°t Tuynhi¶n, ta h¿

i nghi¶n t½nh h§t phö thuë v o d¡ng i»u ÷íng v 

m°t trong l¥n mët iºm Ph÷ìng ph¡p ÷ñ ÷a ra mët

h y õ º nghi¶n t½nh h§t àa ph÷ìng l  sû döng ph²p

t½nh vi ph¥n Bði v¼, ÷íng v  m°t ÷ñ xem x²t trong h¼nh

hå vi ph¥n s³ ÷ñ ành bði h m kh£ vi ¸n thi¸t Hai

l , h¼nh hå vi ph¥n to n  ¥y ta i nghi¶n sü £nh h÷ðng

t½nh h§t àa ph÷ìng l¶n d¡ng i»u to n bë ÷íng v  m°t

Câ l³ i·u thó và nh§t v  ti¶u biºu nh§t h¼nh hå vi ph¥n iºn

l  i nghi¶n m°t Tuy nhi¶n, mët v i t½nh h§tàa ph÷ìng

÷íng s³ xu§t hi»n mët h tü nhi¶n khi nghi¶n

m°t Khâa luªn n y s³ tr¼nh b y v· nghi¶n ÷íng

Trong khâa luªn, m 2-2 ¸n 2-4 giîi thi»u nëi dung quan trång

÷íng tham sè, ë d i v 2-5 l  trång t¥m

h÷ìng, nâ bao gçm ki¸n v· ÷íng thi¸t ho

nghi¶n m°t 2-6 v  2-7 s³ i t¼m hiºu s¥u hìn v·

֒ng

K½ hi»u R 3 l  bë ba sè (x, y, z) Vîi m ti¶u l  i mæ t£h½nh tªp R 3 (÷ñ gåi l  ÷íng l  g¼? Trongtr÷íng hñp n y, khæng gian mët hi·u v  ph÷ìng ph¡p t½nh vi ph¥n

Tø kh£ vi trongành ngh¾a n y ÷ñ hiºu r¬ng α l  ¡nh x¤ t÷ìng ùngvîi méi t ∈ I l  mët iºm α(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R 3, trong â

h m sè x(t), y(t), z(t) l  kh£ vi Bi¸n sè t ÷ñ gåi l  tham sè ÷íng

Tø kho£ng ÷ñ l§y trong tr÷íng hñp têng qu¡t º ta khæng lo¤i

i tr÷íng hñp a = −∞; b = +∞

N¸u ta biºu thà x ′ (t) l  ¤o h m nh§t x t¤i iºm t v  ¤o

h m h m sè y v  z ÷ñ biºu thà gièng nh÷ vªy, th¼ v

(x ′ (t), y ′ (t), z ′ (t)) = α ′ (t) ∈ R 3 ÷ñ gåi l  ve ti¸p tuy¸n vevªn tè ÷íng α t¤i t Tªp £nh α(I) ⊂ R 3 ÷ñ gåi l  v¸t

α Ta n¶n ph¥n bi»t mët ÷íng tham sè, nâ l  mët ¡nh x¤, nâv¸t l  mët tªp R 3

V½ dö 2.2.1

÷íng tham sè kh£ vi ho bði

α(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ R ,

v¸t trong R 3 l  mët ÷íng inh è hi·u 2πb, tr¶n h¼nh trö

x 2 + y 2 = a 2 Tham sè tð ¥y l sè o gâ giúa Ox vîi÷íng th¯ng

i qua gè tåa ë O, ÷íng th¯ng n y l  h¼nh hi¸u iºm α(t) l¶nm°t ph¯ng Oxy (H¼nh 2.1:)

nh x¤ α : R → R 2 ho bði α(t) = (t 3 , t 2 ), t ∈ R, l  mët ÷íngtham sè kh£ vi v¸t biºu di¹n ð H¼nh 2.2: Nhªn th§y r¬ng,

x

H¼nh2.4:

V½ dö 2.2.4

nh x¤ α : R → R 2 ành bði α(t) = (t, |t|), t ∈ R, khæng l  ÷íngtham sè kh£ vi, v¼ |t| khæng kh£ vi t¤i t = 0 ( H¼nh 2.4:).

u.v = |u|.|v| cos θ.

t½nh h§t sau:

1 Gi£ sû r¬ng, u v  v l  v 0 Khi â

u.v = 0 ⇔ u giao vîi v

2 u.v = v.u

3 λ.(u.v) = λu.v = u.λv

v3 u2

u1 u3

u

H¼nh2.6:

4 u.(v + w) = u.v + u.w

÷a v o h» tåa ë th¼ h væ h÷îng s³ ÷ñ t½nh nh÷ sau:

L§y e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) D¹ d ng kiºm tra ÷ñ

ei.ej = 1 n¸u i = j v  ei.ej = 0 n¸u i 6= j, ð ¥y i, j = 1, 2, 3

vîi α(t) h¤y quanh÷íng trán theo hi·u kimçng hç v α(0) = (0, 1).

B i tªp 2.2.2

Cho α(t) l  mët ÷íng tham sè khæng i qua gè tåa ë N¸u

α(t 0 ) l  iºmtr¶n v¸t α gn vîi gè v  α ′ (t) 6= 0 Chùng minh r¬ng,

Cho α : I → R 3 l  mët ÷íng tham sè v  l§y v v ∈ R 3 l 

v ành Gi£ sû r¬ng, v α ′ (t) l  giao vîi v v vîi måi

t ∈ I V  v α(0) giao vîi v v Chùng minh r¬ng, α(t)

l  giao vîi v vði måi t ∈ I

B i tªp 2.2.5

Cho α : I → R 3 l  ÷íng tham sè, vîi v α ′ (t) 6= 0 vîi måi

t ∈ I Chùng minh |α(t)| l  h¬ng sè 0 n¸u v  h¿ n¸u α(t) l giao vîi α ′ (t) vîi måi t ∈ I

ành ngh¾a 2.3.1 Mët ÷íng ong kh£ vi tham sè α : I → R 3 ÷ñ gåi

l  quy n¸u α ′ (t) 6= 0 vîi måi t ∈ I

Tø b¥y gií, ta h¿ xem x²t ÷íng tham sè kh£ vi, h½nh quy

(v  º thuªn ti»n ta bä i tø kh£ vi)

Cho t ∈ I, ë d i mët ÷íng h½nh quy α : I → R 3 tø

iºm t 0, ÷ñ ành ngh¾a bði

ds

dt = |α ′ (t)|

Câ thº x£y ra tr÷íng hñp tham sè t l  ë d i t½nh tø mët sè

iºm Trong tr÷íng hñp â,

ngh¾a l , t l  ë d i α t½nh tø mët sè iºm

º ìn gi£n, ta s³ h¤n h¸ biºu di¹n ÷íng tham sè

theo ë d i Trong tr÷íng hñp hung, ta khæng thi¸t ph£i ·

¸n gè ë d i s, v¼ hu h¸t kh¡i ni»m l  ành ngh¾aduy nh§t v· ¤o h m α(s)

Cho ÷íng tham sè α ë d i s ∈ (a, b), ta thº x²t

÷íng β trong kho£ng (−b,−a) vîi β(-s) = α(s), ÷íng β

v¸t gièng nh÷ α nh÷ng ÷ñ biºu di¹n theo h÷îng ng÷ñ l¤i, khi â, hai

÷íng l  nhau bði mët sü thay êi h÷îng

B€I TŠP

B i tªp 2.3.1

Chùng minhr¬ng: ÷íng ti¸p vîi÷íng h½nhquy tham

sè α(t) = (3t, 3t 2 , 2t 3 ) t¤o mët gâ khæng êi vîi ÷íng y = 0 v  z = x

B i tªp 2.3.2

Mët ¾a trán b¡n k½nh l trong m°tph¯ng Oxy l«n khæng tr÷ñt dåtheo Ox H¼nh mæ t£ huyºn ëng mëtiºmtr¶nv nh ¾a ÷ñgåi l  mët ÷íng (H¼nh 2.7:)

a Gåi ÷íng tham sè α : R → R 2 v¸t l  ÷íng h¢y

ành α v  iºm h½nh quy nâ

x

tl

H¼nh2.7:

b T½nh ë d i ÷íng ùng vîi mët váng quay ho n

h¿nh ¾a

B i tªp 2.3.3

Cho OA=2a l  ÷íng k½nh ÷íng trán S 1 v  OY, AV t÷ìng ùng

l  ti¸p tuy¸n vîi S 1 t¤i O v  A Mët nûa ÷íng r ÷ñ v³ tø iºm

O S 1 t¤i C v  AV t¤i B Tr¶n OB l§y o¤n Op=OB N¸u ta quay

r quanh O, iºm p s³ v h ra mët ÷íng ÷ñ gåi l  ÷íng xixoit(ç thà y2(2x − z) = x3) Chån OA nh÷ x, OY nh÷ y, hùngminh r¬ng:

xAC

xa

a

H¼nh2.10:L¡

Oy

xt

Mët ¡nh x¤ α : I → R 3 ÷ñ gåi l  mët ÷íng ong kh£ vi lîp C k

n¸u

méi h m sè tåa ë trong biºu α(t) = (x(t), y(t), z(t)) ¤o

h m li¶n ¸n k N¸u α h¿ li¶n ta nâi r¬ng α kh£ vi lîp C 0.Mët ÷íng α ÷ñ gåi l  ìn n¸u α l  ¡nh x¤ 1-1 Do â, ÷íngtrong V½ dö 3 2-2 khæng ìn

Cho α : I → R 3 l  mët ÷íng ìn kh£ vi lîp C 0 Ta nâi r¬ng

α ti¸p tuy¸n y¸u t¤i t = t 0 ∈ I, n¸u ÷íng ành bði α(t 0 + h) v 

α(t 0 )) mët và tr½ giîi h¤n khi h → 0 Ta nâi α ti¸p tuy¸nm¤nh t¤i t = t 0 n¸u ÷íng ành bði α(t 0 + h) v  α(t 0 + h) mët vàtr½ giîi h¤n khi h, k → 0

l kh£ vilîp C 1 nh÷ng khængkh£ vilîp C 2.V³ h¼nhbiºu di¹n ÷íng

v  v ti¸p tuy¸n nâ

B i tªp 2.3.8

Cho α : I → R 3 l  ÷íng kh£ vi v  l§y [a, b] ∈ I l  mët kho£ng

âng Ta ph¥n ho o¤n [a, b] bði

Trong h¼nh hå l(α, P ) l  hi·u d i mët a nëi ti¸p trong

α([a, b])vîi ¿nhl α(t i ) (H¼nh2.12:).Doâ,ëd i α([a, b])

l  giîi h¤n ë d i a nëi ti¸p

Chùng minh r¬ng, vîi ǫ > 0, tçn t¤i δ > 0 sao ho n¸u |P | < δ th¼

|

b

R

a |α′(t)|dt − l(α, P )| < ǫ.

α(t 1 )

α(t 2 ) α(t i )

α(t n ) α(t n − 1)

H¼nh2.12:

B i tªp 2.3.9

a Choα : I → R 3 l mët ÷íng kh£ vi lîp C 0 (t÷ìng tü B itªp7) Sû döng mæ t£ x§p x¿ bði a nëi ti¸p trong B i tªp 8 ho ta

mët ành ngh¾a hñp l½ ë d i α

b (Mët ÷íng ong khæng u tr÷íng ÷ñ V½ dö sau ¥y º hùng

minh,vîimëtành ngh¾a b§tk¼, ë d i mët ÷íng kh£ vi

lîpC 0 trongmëtkho£ngâng thºkhæng ành.Choα : [0, 1] → R 2

ành bði α(t) = (t, t sin π

t ) n¸u t 6= 0, α(0) = (0, 0), ë d i mëtphn ÷íng vîi

ð¥y, ë d i ng­nnh§t ÷íng tø α(a) ¸nα(b) l ÷íng th¯nggiîi h¤n bði iºm.

2.4 h v trong R 3

n y s³ tr¼nh b y mët v i t½nh h§t h v trong R 3

d ng hìn

º thuªn ti»n, ta l¤i quy ÷î h÷îng mët khæng gian v

Hai sð thù tü l  e = {ei}, f = {fi}, i = 1, 2, , n, mët khænggian v n hi·u V h÷îng n¸u ma trªn êi sð ànhd÷ìng Ta k½ hi»u, quan h» n y bði quan h» e ∼ f Tø t½nh h§tb£n ành th¼ e ∼ f l  mët quan h» t÷ìng ÷ìng, v¼ thäa m¢n

det(u, v, w) =

u 1 u 2 u 3

v 1 v 2 v 3

w 1 w 2 w 3

,

ð ¥y |a ij | l  ành ma trªn (a ij ) h v tr¶n ÷ñ t½nhti¸p tø ành ngh¾a

u ∧ v =

= |u2||v|2(1 − cos2θ) = A2,

vîi θ l  gâ giúa u, v, A l  di»n h h¼nh b¼nh h nh sinh bði u, v.Trong tr÷íng hñp n y, h v u, v l  mët v u ∧ v vuæng

gâ vîi mëtm°tph¯ng ÷ñ sinh ra bði v u, v, v b¬ng di»n hh¼nh b¼nh h nh ÷ñ sinh rabðiu, v vîimëth÷îng, vªy {u, v, u ∧ v}

Cuèi l§y u(t) = (u 1 (t), u 2 (t), u 3 (t)), v(t) = (v 1 (t), v 2 (t), v 3 (t)) l 

¡nh x¤ kh£ vi tø kho£ng (a, b) v o R 3 , t ∈ (a, b) Tø (1)th¼ v u(t) ∧ v(t) kh£ vi v 

d

dt (u(t) ∧ v(t)) = du dt ∧ v(t) + u(t) ∧ dv dt

hv xu§thi»ntünhi¶n trongr§tnhi·u ph²pdüng h¼nhh¼nh

hå sü, nhi·u h¼nh m°t ph¯ng v  ÷íng th¯ng trong

R 3 thº ÷ñ biºu di¹n ng­n gån trong giîi h¤n h v v 

ành nâ Ta s³ xem x²t ki¸n â trong b i tªp sau

B€I TŠP

B i tªp 2.4.1

ð ¥y quy ÷î r¬ng, n¸u m¨u b¬ng 0 th¼ t÷ìng ùng tû sè b¬ng 0

(ta nâi, hai m°t ph¯ng ÷ñ gåi l  song song vîi nhau n¸u hóng tròng

Chùngminhr¬ng,i·uki»n v õºm°tph¯ngax+by+cz+d = 0

song song vîi ÷íng th¯ng: x − x 0 = u 1 (t), y − y 0 = u 2 (t), z − z 0 = u 3 (t)

v  k¸t luªn r¬ng

A 2 =

u 1 u 1

v 2 v 2

2

.

ành d§u gièng vîi d§u sð {u, v}, ta thº nâi r¬ng

A l  d÷ìng ¥m tòy thuë v o ành h÷îng {u, v} l  d÷ìng

¥m i·u n y ÷ñ gåi l  di»n ÷ñ ành h÷îng trong R 2

B i tªp 2.4.11

uu vu wu

uv vv wv

uw vw ww

B i tªp 2.4.12

Cho v v 6= 0 v  w Chùng minh r¬ng, tçnt¤i mët v u nh÷th¸ m  u ∧ v = w, n¸u v  h¿ n¸u v vuæng gâ vîi w V u l  duynh§t khæng? N¸u khæng th¼ nâ ÷ñ ành l  nh÷ th¸ n o ?

B i tªp 2.4.13

L§y u(t) = (u 1 (t), u 2 (t), u 3 (t)), v(t) = (v 1 (t), v 2 (t), v 3 (t)) l  ¡nh x¤kh£ vi tø kho£ng (a, b) v o R 3 N¸u ¤o h m u ′ (t), v ′ (t) thäa m¢n

i·u ki»n

u ′ (t) = au(t) + bv(t), v ′ (t) = cu(t) − av(t),

vîi a, b, c l  h¬ng sè, hùng minh r¬ng u(t) ∧ v(t) l mët v h¬ng

B i tªp 2.4.14

T¼m t§t v ìn và m  vuæng gâ vîi v (2,2,1) v  song

song vîi m°t ph¯ng ành bði iºm (0,0,0), (1,-2,1), (-1,1,1)

Cho α : I = (a, b) → R 3 l mët ÷íng tham sè theo ë d i

s V¼ v ti¸p tuy¸n α ′ (s) ë d i ìn và, |α ′′ (s)| l  ¤o

h m hai o tè ë thay êi gâ m  ti¸p tuy¸n trong l¥n

s t¤o vîi ti¸p tuy¸n t¤i s, do â, α ′′ (s) o tè ë ©y ÷íng

ra khäi ti¸p tuy¸n t¤i s trong mët l¥n s, ta ành ngh¾a sau(H¼nh 2.14:)

ành ngh¾a 2.5.1 Cho α : I → R 3 l  mët ÷íng ong tham sè theo ë

d i s ∈ I Sè |α′′(s)| = k(s) ÷ñ gåi l  ë ong α t¤i s

N¸u α l  mët ÷íng th¯ng, α(s) = u.s + v, vîi u; v l  v h¬ng

(|u| = 1), th¼ k ≡ 0 Ng÷ñ l¤i, n¸u k = |α ′′ (s)| = 0, th¼ ë nâb¬ng 0 v  ÷íng n y l  mët ÷íng th¯ng

Chóþ sü thayêi h÷îng, v ti¸p tuy¸n thay êi h÷îng nâ, n¸u

β(−s) = α(s) th¼

dβ d(−s) (−s) = −

÷ñ ành ngh¾a bði α ′′ (s) = k(s)n(s) Hìn núa, α ′′ (s) vuæng

gâ vîi α ′ (s), bði v¼ khi l§y vi ph¥n hai v¸ (α ′ (s)α ′ (s) = 1) ta ÷ñ

α ′′ (s)α ′ (s) = 0 Do â, n(s) vuæng gâ vîi α ′ (s) v  ÷ñ gåi l  veph¡p tuy¸n t¤i s M°t ph¯ng ành bði ti¸p tuy¸n ìn và v  vph¡p tuy¸n n(s) ÷ñ gåi l  m°t ph¯ng mªt ti¸p (H¼nh 2.15:)

T¤i iºm k(s) = 0, v ph¡p tuy¸n (t÷ìng ùng m°t ph¯ngmªtti¸p) khæng ành Kh£o s¡t t½nh h§t àa ph÷ìng ÷íng

ta ành m°t ph¯ng mªt ti¸p

Tanâi, t¤is ∈ I mëtiºm k¼ dà §p 1 n¸u α ′′ (s) = 0 (Trong tr÷ínghñp n y, iºm α ′ (s) = 0 ÷ñ gåi l  iºm k¼ dà §p 0)

Trong tr÷íng hñp sau ¥y, ta s³ h¤n h¸ º ÷íng tham sè

theo ë d i khæng iºm k¼ dà 1 Ta i biºu thà t(s) = α ′ (s)

l  v ti¸p tuy¸n ìn và α t¤i s Do â, t′(s) = k(s)n(s)

n

n

tb

H¼nh2.15:

V ìn và b(s) = t(s) ∧ n(s) l  ph¡p tuy¸n m°t ph¯ng mªt ti¸p

v  nâ ÷ñ gåi l  v tròng ph¡p tuy¸n t¤i s V¼ b(s) l  mët v ìn

và n¶n ë d i |b ′ (s)| o tè ë thay êi m°t ph¯ng mªt ti¸p trongl¥n s, do â, b ′ (s) o tè ë k²o ÷íng ra khäi m°t ph¯ngmªt ti¸p t¤i s, trong mët l¥n s (H¼nh 2.15:)

Ta b ′ (s) vuæng gâ vîi b(s) v 

b ′ (s) = t ′ (s) ∧ n(s) + t(s) ∧ n ′ (s) = t(s) ∧ n ′ (s).

Vªy b ′ (s) vuænggâ vîi t(s) Doâ, b ′ (s) song song vîi n(s) v  ta thºvi¸t

b ′ (s) = τ (s)n(s),

vîi mët sè h m τ (s) (Chó þ r§t nhi·u gi£ vi¸t −τ(s) thay ho τ (s))

ành ngh¾a 2.5.2 Cho α : I → R 3 l  mët ÷íng ong tham sè theo

ë d i vîi α ′′ (s) 6= 0, s ∈ I Sè τ (s) ÷ñ ành ngh¾a bði b ′ (s) =

τ (s)n(s) ÷ñ gåi l  ë xo­n α t¤i s

N¸u α l  mët ÷íng ph¯ng (ð ¥y α(I) hùa trong mët m°tph¯ng) th¼ m°t ph¯ng ÷íng tròng vîi m°t ph¯ng mªt ti¸p,

do â, τ ≡ 0 Ng÷ñ l¤i , n¸u τ ≡ 0, (k 6= 0, b(s) = b 0 = constant) th¼ ta

(α(s)b 0 ) ′ = α ′ (s)b 0 = 0.

Trong tr÷íng hñp α(s)b 0 = constant th¼ α(s) hùa trong m°t ph¯ngph¡p tuy¸n t¤i b 0 i·u ki»n k 6= 0 kh­p måi nìi l  thi¸t

Ng÷ñ l¤i vîi ë ë xo­n thº d÷ìng ¥m D§u ë

xo­n mët minh håa h¼nh hå ÷ñ ho trong 2-6

Chó þ r¬ng sü thay êi h÷îng v tròng ph¡p tuy¸n s³ thay

êi d§u v¼ b = t ∧ n Khi t½nh b ′ (s) ta ë xo­n thay êi n¸u thay êih÷îng

Tr÷íng m ti¶u Fre ′ net

Vîiméi gi¡ trà tham sès, ba v ìn và t(s), n(s), b(s) giao

Ta ¤o h m t ′ (s) = kn, b ′ (s) = τ n v t(s), b(s).Khi âh¼nh th nh mët tr÷íng m ti¶u ÷ñ gåi l  tr÷íng ti¶u F re ′ net

n(s) v  b(s) i qua α(s) t÷ìng ùng l  ph¡p tuy¸n v  tròng ph¡p

tuy¸n h £o R = 1

k mët ë ÷ñ gåi l  b¡n k½nh ongt¤i s T§t nhi¶n, mët ÷íng trán b¡n k½nh r th¼ b¡n k½nh

b¬ng r, ta s³ d¹ d ng ành ÷ñ i·u n y

t¸, ta thº t÷ðng t÷ñng r¬ng mët ÷íng trong R 3 thu

÷ñ tø uèn mët ÷íng th¯ng v  xo­n nâ Khi xem x²t