Tích phân 2 dạng vi phân với giá trị trong r2 trên đa tạp RIEMANN

Tích phân 2 - dạng vi phân với giá trị trong 2 Lời nói đầu Phép lấy tích phân các dạng vi phân với giá thực có nhiều ứng dụngtrong các lĩnh vực Vật lý và các ngành khác nhau của Toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐÀO CHÂU THÀNH

TÍCH PHÂN 2-DẠNG VI PHÂN VỚI

Trang Mục lục……… … 1 Lời nói đầu……… 2

2.1 Phân hoạch đơn vị……….152.2 Tích phân 2 - dạng vi phân với giá trị trong 2

Lời nói đầu

Phép lấy tích phân các dạng vi phân với giá thực có nhiều ứng dụngtrong các lĩnh vực Vật lý và các ngành khác nhau của Toán học nh: giải tích,

hệ động lực, hình học-tôpô Vấn đề này đợc nhiều tác giả trong và ngoài nớc

quan tâm nghiên cứu và đã đợc trình bày trong các tài liệu nh: Mở đầu vềHình học Riemann của Nguyễn Hữu Quang [3], Hình học vi phân của ĐoànQuỳnh [6], Phép tính vi phân các dạng vi phân của H.Cartan [2]…

Mục đích của đề tài này là trình bày một cách có hệ thống các khái



trên đa tạp Riemann, và một số ứng dụng của nó

Luận văn đợc trình bày trong 2 chơng:

Chơng 1 Kiến thức cơ sở

Trong chơng này, chúng tôi trình bày một số tính chất dạng k-tuyến

tạp Riemann Chơng này là cơ sở cho việc trình bày chơng 2

Chơng 2 Tích phân 2-dạng vi phân với giá trị trong 2

 trên đa tạp Riemann

Chơng 2 là nội dung chính của luận văn Để thuận lợi cho việc trình bày

chúng tôi trình bày về phân hoạch đơn vị, tiếp theo, chúng tôi trình bày về tích

chúng tôi chỉ ra một số ứng dụng của nó

Luận văn đợc hoàn thành tại Khoa sau Đại học trờng Đại học Vinh,

với sự hớng dẫn của PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin đợc bày tỏ

lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, ngời đã đặt vấn đề hớng dẫn một cách tận tình Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ bộ môn Hình học-Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa đào tạo Sau đại học, trờng Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, tạo

điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Phòng GD Hậu lộc BGH Trờng THCS Đa lộc- Hậu lộc -Thanh Hóa, đồng nghiệp, bạn bè và gia

đình đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Vinh, tháng 12 năm 2010

F M   f f M   lµ hµm kh¶ vi trªn M}

1.1 D¹ng k- tuyÕn tÝnh víi gi¸ trÞ trong r 2

1.1.1 Định nghĩa. Ký hiệu E là một không gian vectơ Ơclit trên IR

Một ánh xạ f : E … E  IR2

(x1,…, xk)  f(x1,…, xk) = (f1(x1,…, xk); f2(x1,…, xk))

đợc gọi là ánh xạ k- tuyến tính nếu f tuyến tính theo từng biến

Ký hiệu L k (E) = { \ :f f E   E R2là dạng k-tuyến tính trên E}

Ta trang bị hai phép toán trên L k (E)nh sau:

a) L k (E) là một không gian tuyến tính:

 Với f  L k (E), tồn tại một ánh xạ 0: E … E  R2 để f + 0 = f

= f(x1,…, xk) + g(x1,…, xk)) = (f+ g)(x1,…, xk)

 (f1+ f2) = f+ g

Dễ thấy 5 tiên đề còn lại đúng

Vậy L k (E) là một không gian tuyến tính

j j j

VËyA E k( ) lµ kh«ng gian vect¬ con trongL E k( ) 

1.2 k-d¹ng vi ph©n trªn ®a t¹p Riemann víi gi¸ trÞ

1.3.1 Định nghĩa.Giả sử M, N là các đa tạp khả vi với số chiều tơng ứng

Chứng minh: X1, ,X kB M( ), theo định nghĩa ánh xạ đối tiếp xúc, ta có: (f*)(X1, , Xk) = (f*(X1), , f*(Xk))

=  1f (X ), ,f X * 1 * k ,  2f X , ,f (X ) * 1 * k  

= (f*1( X1, ,Xk), f*2( X1, ,Xk))

= (f*1, f*2)( X1, ,Xk);  X1, ,Xk B(M)

Vậy f* = ( f*1, f*2) 

1.3.3 Ví dụ: Cho f: IR.2  IR.3

(u,v)  (u, uv, uv2)

Mặt khác theo quy tắc ta có: f 1 =1(f* X, f*Y) = ) =(xdy  dz) (f* X, f*Y) = )

Theo giả thiết suy ra Jf =

v

2

0 1

2

2

0 1

v

2

0 1

MÆt kh¸c theo quy t¾c ta cã: f 2 =2(f* X, f*Y) = ) =(ydx  dz) (f* X, f*Y) = )

Theo gi¶ thiÕt suy ra Jf =

v

2

0 1

v

2

0 1

v

2

0 1

= f*d() ;   2

 ( N) VËy df* = f*d 

 (Q,R2); X1, ,Xk B(M), ta có : ((gof)*)( X1,…,Xk) = ( (gof)*X1,…, (gof)*Xk )

Thật vậy, theo định nghĩa tích ngoài ta có:

= f* f*  

Chơng 2

TíCH PHÂN 2-DạNG VI PHÂN VớI GIá TRị trong R2

Trên đa tạp Riemann

Trong chơng này, chúng tôi trình bày về phân hoạch đơn vị, tích phân

a) Giả sử tập compact A bị chứa trong tập mở U khi đó tồn tại tậpcompact DU, sao cho A  ( IntD ).

là : f U:  R sao cho f(x)>0 với mọi x D , f(x) = 0 ngoài một tập đóng bịchứa trong U

Bây giờ ta trở lại việc chứng minh định lý Ta xét các trờng hợp sau :

*) Trờng hợp 1 :

A là tập compact Vì U phủ A, A là tập compact nên tồn tại phủ con hữu hạn {

U1,U2, ,Un} Do đó ta chỉ cần lập phân hoạch đơn vị đối với A phù hợp phủ{ U1,U2, ,Un}

Thật vậy, trớc hết ta xây dựng các tập compact DiUi sao cho A (

1

n i i



2.1.2 ta có tập compact D1 A để C1  (Int D1) Vậy: C1 IntD1 U1

Tơng tự, ta xây dựng đợc các tập compact D1,D2, ,Dn thỏa mãn Di là tập

( )

i

i i

x x

đó theo trờng hợp1, ta lập đợc một phân hoạch đơn vị i đối với Bi phù hợp

( )

x x

Khi đó, Ai là tập hợp đóng và bị chặn, nên Ai là tập compact Hơn nữa

A là tập bất kỳ Giả sử B là hợp của tất cả các U thuộc Ui thì B là tập mở chứa

B Đây cũng là phân hoạch cần tìm đói với A

Hai ngăn 2-chiều đợc gọi là tơng đơng  1~ 2  tồn tại vi phôi

) (

2 1 2

) , (

* )

0 0 1

u v

1

X X u v X

( 1

2 2

2 1

( 1 1

2 4 2 3

Ta cã 2

* )

( 2

2 2

2 1

3 2 ) (

0 1

2 ) 2

2 4

(

1

1

2 4

Do đó:

* ( ) ( ( ))

*Việc lấy tích phân trên M là lấy tích phân trên các ngăn có phần trong rờinhau.

2.2.2 Định lý

Tích phân 

M

 không phụ thuộc vào việc chọn phân hoạch đơn vị.

Chứng minh: Ta chứng minh định lí này theo từng thành phần của Nghĩa

M i

phân hoạch đơn vị

Thật vậy, giả sử U,  ; V,  là hai tập bản đồ trên M, g là

phân hoạch đơn vị ứng với U ;  f là phân hoạch đơn vị ứng với V Theo Bổ đề 2.1.2.b, ta có g  f là phân hoạch đơn vị ứng với U  V Theo định nghĩa tích phân ta có:

* 1

 theo họ f

M i

 không phụ thuộc vào việc chọn phân hoạch đơn vị.

Cho M là đa tạp Riemann 2-chiều định hớng, compact với biên M,   1

i

cho i  0, i=1,2 ngoài   ( 2) Theo Định lý 2.2.4 ta có:

 , vì i  0 trên M

nhất của nó nằm trong biên M là  ( ,0)k và i  0 ngoài   ( 2) Khi đó theo

d d

d d

M i M

i M

i M

i i

M i M

i M

i

y

P x

Q

) , ( )

,

Ta cã:

dxdy y

P x

i i M

i



MÆt kh¸c ta cã:

2 , 1 , ) , ( )

M i

i i



¸p dông §Þnh lý Stokes, ta cã:

2 , 1 , 







i d

M i M

i M

i

y

P x

Q

) , ( )

,

dy y x Q dx

y x P dxdy

y

P x

Q

) , ( )

, (

M M

dy Rdx dx

Qdz dz Pdy z

R y

Q x

P

(2.3) Thật vậy, ta chứng minh công thức (2.3) theo từng thành phần tọa độ, nghĩa

là ta chứng minh:

2 , 1 , 

R y

Q x

P

M

i M

i M

i M

i i

Q x

i M

i M

M i M

R y

Q x

P

M

i M

i M

i M

i i i

M M

dy Rdx dx

Qdz dz Pdy z

R y

Q x

P

2.3.3 Ví dụ: Cho  : 2  IR3 1  u  2, -1  v  1;

(u,v)  (uv, u, v)

 =1, 2 = ( xydx  dy + yzdy  dz + zxdx  dz; xydx  dy + yzdy  dz),

0 0 1

u v

0 0 1

u v

0 0 1

u v

1 1

(uv3-u3v + uv)du.dv

= 



1 1

dv v u vu u

1

2 4 2 3

2 4

1

3

2

3 4

15 2

1

3 4

9 2

3v v dv

1

2 4

2 4

9 4 2

3



 v v

1 4

9 4

1 4

1 2

0 0 1

u v

0 0 1

u v

0 0 1

u v

1 1

(-u3v + uv)du.dv



1 1

dv v u

1

2 4

3 4

15v v dv



 1 1 4

1 4

u v

0

0

0 0 1

X X

u v

0

0

0 0 1

Y Y

u v

0

0

0 0 1

Z Z

2 1

1 0 )

5 2

31 u

=

5

1 2

31

=

10 31

u v

0

0

0 0 1

X X

u v

0

0

0 0 1

Y Y

u v

0

0

0 0 1

Z Z

2 1

1 0 )

3 6

35 u

=

3

1 6

35

=

18 35

35

; 10

31

Kết luận

Luận văn đã đạt đợc các kết quả sau:

+ Tập hợp và trình bày một cách hệ thống các khái niệm cơ bản, cáctính chất của k- dạng vi phân với giá trị trong 2

 + Chứng minh chi tiết các mệnh đề chẳng hạn: Mệnh đề 1.1.3, Mệnh đề1.2.3, Mệnh đề 1.3.3, Mệnh đề 1.4.3, Mệnh đề 1.5.5

+ Trình bày các ví dụ về cách tính tích phân 2- dạng vi phân Chẳng hạn

Ví dụ 2.2.3, Ví dụ 2.4.3, Ví dụ 2.4.4

+ Sử dụng phân họach đơn vị để tính tích phân trên đa tạp 2-chiều, định

 + Phát biểu và chứng minh công thức kiểu Stokes, công thức kiểuGreen, công thức kiểu Ostrogradski

Trong thời gian tới chúng tôi tiếp tục nghiên cứu bài toán lấy tích phân dạng vi phân với giá trị vectơ trên các nhóm Lie compact

tµi liÖu tham kh¶o Tµi liÖu tiÕng ViÖt

[1] Khu Quèc Anh, NguyÔn Do·n TuÊn (2005), Lý thuyÕt liªn th«ng vµ h×nh

häc Riemann, NXB §¹i häc s ph¹m.

[2] H.Cartan (1980), PhÐp tÝnh vi ph©n c¸c d¹ng vi ph©n, NXB §¹i häc vµ

THCN ( b¶n dÞch tiÕng viÖt - Th viÖn Trêng §¹i häc Vinh )

[3] NguyÔn H÷u Quang (2005), Më ®Çu vÒ H×nh häc Riemann, Trêng §¹i häc

Vinh

[4] NguyÔn H÷u Quang- Ng« §×nh Quèc- NguyÔn V¨n Bång (2008), H×nh

häc vi ph©n, NXB §¹i häc Quèc Gia Hµ Néi

[6] §oµn Quúnh (2003), H×nh häc vi ph©n, NXB §¹i häc S ph¹m Hµ néi

[7] §oµn Quúnh - Tr¬ng §øc Hinh - NguyÔn H÷u Quang - TrÇn §×nh ViÖn

(1993), Bµi tËp H×nh häc vi ph©n, NXB Gi¸o dôc

[8] M Xpivak (1985), Gi¶i tÝch to¸n häc trªn ®a t¹p, NXB §¹i häc vµ Trung

häc chuyªn nghiÖp ( Hoµng H÷u §êng dÞch tõ tiÕng Nga)

Tµi liÖu tiÕng Anh

[9] H.B Lawson Lectures onminimal Submanifolds Copyright (1980)

[10] H Lawson and Reere Harey Calibrated geometrics - Acta Math(1982)