dưới vi phân của hàm lồi trong không gian banach và ứng dụng

ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO VĂN PHƯƠNG DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2012... Nhiều tác giả trong và ngoài nước đãngh

ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀO VĂN PHƯƠNG

DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2012

Mục lục

Mục lục 1

Lời cảm ơn 3 Mở đầu 4 Một số kí hiệu 5 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Không gian Banach 6

1.2 Tập lồi 8

1.3 Hàm lồi 14

1.3.1 Định nghĩa 14

1.3.2 Các phép toán về hàm lồi 18

1.3.3 Tính liên tục của hàm lồi 18

1.3.4 Hàm liên hợp 20

2 Dưới vi phân của hàm lồi 23 2.1 Định nghĩa và ví dụ 23

2.2 Quan hệ với đạo hàm theo hướng 25

2.2.1 Các tính chất 31

2.3 Một số ví dụ 41

3 Ứng dụng của dưới vi phân vào nghiên cứu bài toán tối ưu lồi 48 3.1 Bài toán tối ưu lồi 48

3.2 Bài toán lồi không có ràng buộc 49

3.3 Bài toán lồi có ràng buộc bao hàm thức 49

3.4 Bài toán với ràng buộc đẳng thức 50

3.5 Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức 53

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình đểtôi hoàn thành luận văn này

-Tôi xin chân thành cảm ơn các Giáo sư của trường Đại học Khoa học,Viện Toán học, Đại học Thái Nguyên đã truyền thụ kiến thức cho tôitrong suốt quá trình học tập vừa qua

Tôi xin cảm ơn cơ quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình đã chia sẻ, giúp

đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện luận văn này

Hải phòng, ngày 19 tháng 7 năm 2012

Đào Văn Phương

Mở đầu

Giải tích lồi là một bộ phận quan trọng của giải tích toán học, nghiêncứu về tập lồi và hàm lồi Trong giải tích lồi, khái niệm dưới vi phân làmột trong những khái niệm cơ bản Có thể xem dưới vi phân như là một

mở rộng của khái niệm đạo hàm Nhiều tác giả trong và ngoài nước đãnghiên cứu và thu được những kết quả quan trọng về dưới vi phân củahàm lồi và ứng dụng của nó trong giải tích phi tuyến cũng như trong cácmôn toán ứng dụng

Luận văn này trình bày một cách có hệ thống những nội dung cơ bảnnhất về dưới vi phân của hàm lồi trên không gian Banach và một số ứngdụng của nó vào lý thuyết tối ưu

Luận văn gồm 3 chương Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản

về tập lồi và hàm lồi Chương 2 trình bày dưới vi phân của hàm lồi trênkhông gian Banach Chương 3 trình bày ứng dụng của dưới vi phân vàoviệc nghiên cứu bài toán tối ưu lồi

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản nhấtcủa tập lồi trong không gian Banach và hàm lồi trên không gian Banachcùng với những tính chất đặc trưng của nó Những kiến thức trình bàytrong chương này được chọn chủ yếu từ các tài liệu [1], [2], [4], [5], [6], [7],[8]

4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y ∈ E

Số ||x|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ E Một không

là một không gian định chuẩn

x, y ∈ E, đặt

ρ(x, y) = ||x − y||

Nếu không có giả thiết gì thêm, trong suốt luận văn này, không gian

kí hiệu bởi k.k

hx∗, xi, nghĩa là hx∗, xi = x∗(x)

Dễ dàng kiểm tra được rằng, tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến

xạ tuyến tính với số thực lập thành một không gian tuyến tính thực Tagọi không gian này là không gian liên hợp của E và được kí hiệu là E∗

kí hiệu là E∗∗

Định lí 1.1 Không gian liên hợp E∗ của E với chuẩn xác định bởi

kx∗k = sup{hx∗, yi : y ∈ E, kyk 6= 0}

là một không gian Banach

định lý vừa nêu gọi là tôpô mạnh trong E∗

{x∗ ∈ E∗ : hx∗∗i , x∗i < ε, i = 1, , k},

trong đó x∗∗i ∈ E∗∗ với i =, , k và ε > 0

{x∗ ∈ E∗ : hx∗, xii < ε, i = 1, , k},

trong đó xi ∈ E với i = 1, , k

Định nghĩa 1.7 Tập A ⊂ E được gọi là lồi, nếu

∀x1, x2 ∈ A, ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx1 + (1 − λ) x2 ∈ A

(i = 1, 2, , m) Khi đó tích Đềcác A1 × × Am là tập lồi trong

E1 × × Em

là toán tử tuyến tính Khi đó,

a) A ⊂ E1 lồi thì T (A) lồi;

được gọi là bao lồi (convex hull) của tập A, kí hiệu là coA

Định lí 1.3 coA trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A.

của A

ii) Nếu x1 ∈ intA, x2 ∈ A, thì {λx1+ (1 − λ)x2 : 0 < x1 ≤ 1} ⊂

intA

∀x ∈ K, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ K

K được gọi là nón đỉnh x0 nếu K − x0 là nón có đỉnh 0

tổ hợp tuyến tính dương của các phần tử của K, tức là nếu x1, , xm ∈

Hệ quả 1.3 Giả sử A là tập bất kì trong E, K là tập tất cả các tổ

sinh bởi tập A

x = λ1x1 + + λrxr; λi > 0, xi ∈ A, (i = 1, , r)

Nón pháp của A tại x0, kí hiệu là NA(x0), là tập

NA(x0) = {x∗ ∈ E∗ : hx∗, x − x0i ≤ 0 ∀x ∈ A}

Định lí 1.6 (Định lí Carathéodory)

Dễ thấy, tập affine là một trường hợp riêng của tập lồi

tập affine

bởi x∗ và α, và viết là H(x∗, α)

Định nghĩa 1.17 Cho các tập hợp A, B ⊂ E Ta nói phiếm hàm

hx∗, yi ≤ α ≤ hx∗, xi (∀x ∈ A, ∀y ∈ B) ,

Nếu như có hx∗, yi < α < hx∗, xi (∀x ∈ A, ∀y ∈ B) , thì ta nói x∗ táchngặt A và B

Khi đó siêu phẳng H (x∗, α) = {x ∈ E : hx∗, xi = α} được gọi là siêu

Định lí 1.7 (Định lý Hahn-Banach, Định lý tách (xem [1], [2]))

gọi là bao affinc (affine hull) của A ký hiệu là af f A.

Định lí 1.8 A tập affine khi và chỉ khi

∀x, y ∈ E1, λ ∈ R; T ((1 − λ) x + λy) = (1 − λ) T x + λT y

của A trong affA; kí hiệu là riA

dom f = {x ∈ D| f (x) < +∞} ,epi f = {(x, α) ∈ D ×R| f (x) ≤ α} , α ∈ R ,

Định nghĩa 1.25 Hàm f được gọi là lồi trên D (convex on D), nếu

Ta nói δC là hàm chỉ của C.

+ ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1), ta có: δC(x) = 0, δC(y) = 0

Suy ra δC [λx + (1 − λ)y] = 0 = λδC(x) + (1 − λ)δC(y)

Suy ra δC [λx + (1 − λ)y] ≤ λδC (x) + (1 − λ)δC(y)

Ví dụ 1.9 (Hàm tựa) Cho C 6= ∅ là một tập lồi trong E Đặt SC(y) :=supx∈Chy, xi với y ∈ E∗ Ta nói SC là hàm tựa của C

Mệnh đề 1.8 Giả sử f : E → (−∞, +∞] Khi đó, f là hàm lồi khi

và chỉ khi

f (λx + (1 − λ) y) < λr + (1 − λ) s(∀λ ∈ (0, 1) , ∀x, y : f (x) < r, f (y) < s)

1.3.2 Các phép toán về hàm lồi

Định lí 1.14 Giả sử f1, , fm là các hàm lồi chính thường trên E.Khi đó, tổng f1+ + fm là một hàm lồi

Định lí 1.15 Hàm f là tập lồi trong E×R và f (x) = inf {µ : (x, µ) ∈ F }

Khi đó f là hàm lồi trên E

Tổng chập infimal của f1, , fm được xác định như sau:

định như sau:

epi(cof ) = co(epif ), epi(cof ) = co(epif )

khẳng định sau là tương đương:

ii) f liên tục tại x ;

iii) int(epif ) 6= ∅ ;

iv) int(domf ) 6= ∅ và f liên tục trên int(domf )

Đồng thời, int(epif) = {(x, µ) ∈ E ×R : x ∈ int(domf ), f (x) < µ}

x ∈ X, số K > 0 sao cho ∀x, x0 ∈ U,

f (x) − f x0
≤ K x − x0

Lipschitz địa phương tại mọi x ∈ D

(với f (x) < ∞), nếu với mọi ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho

với mọi N > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho: f (y) ≥ N (∀y ∈ U )

tại mọi x ∈ E

liên tục trên ri(domf )

1.3.4 Hàm liên hợp

Giả sử E là không gian Banach, E∗ là không gian liên hợp củaE, tức

với 0 6= x∗ ∈ E∗, β ∈ R, tập H (x∗, β) được gọi là một siêu phẳng trong

E

lên bởi H và x0 không cắt A

E suy rộng f, và f (x) > 0 (∀x ∈ V ∩ A)

Định lí 1.21 Giả sử A là tập lồi đóng trong không gian Banach E

và x0 ∈ A/ Khi đó, tồn tại 0 6= x∗ ∈ E∗ tách ngặt A và x0

Hệ quả 1.10 Giả sử E là một không gian Banach, A ⊂ E lồi Khi

tôpô của E, f là hàm xác định trên E

Định lí 1.23 Giả sử E, F là các không gian Banach, A : E → F là

f (x) = λg (Ax+y0) + hx∗0, xi + γ0

trong đó y0 ∈ F, x∗0 ∈ E∗, γ0 ∈ R, λ > 0 Khi đó

f∗(x∗) = λg∗ λ−1A−1∗(x∗ − x∗0)
− x∗− x∗0, A−1y0− γ0

Định lí 1.24 (Định lí Fenchel - Moreau)

khi và chỉ khi f lồi đóng

Trong chương này chúng ta đã trình bày định nghĩa, một số tính chất

cơ bản của tập lồi và hàm lồi cùng với một số ví dụ minh họa

Chương 2

Dưới vi phân của hàm lồi

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu dưới vi phân của hàm lồi

lấy từ [2], [5], [6], [7], [8]

hàm ftại x ∈ E¯ , nếu

f (x) − f (x) ≥ hx∗, x − xi (∀x ∈ E)

Về mặt hình học, điều đó có nghĩa là hàm afin

ϕ(x) = f (¯x) + hx∗, x − ¯xi; x ∈ E

có đồ thị là siêu phẳng nằm dưới epif và tựa vào epif tại điểm (¯x, f (¯x))

∂f (x) = {x∗ ∈ E : f (x) − f (x) ≥ hx∗, x − xi , ∀x ∈ E}

Định nghĩa 2.3 Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x, nếu

∂f (x) 6= ∅

Nepif(x, f (x))

tục: f (x) = hx∗, xi + α Khi đó ∂f (x) = {x∗} với mọi x ∈ E¯

Từ các điều trên suy ra

x∗, kxkx E

< 1 ⇒ hx∗, xi < kxk Điềunày mâu thuẫn với (2.1) Vì vậy kx∗k = 1

b) Với x = 0, ta có

∂f (0) = {x∗ ∈ E∗ : kzk ≥ hx∗, zi} = {x∗ ∈ E∗ : kx∗k ≤ 1} = B∗(0, 1)

(hình cầu đơn vị đóng trong E*)

Ví dụ 2.3 Xét hàm chỉ f (x) = δ ( |A), trong đóA ⊂ E là tập lồi khácrỗng Khi đó, với x ∈ A,

x∗ ∈ ∂δ (x |A) ⇔ δ (x |A) ≥ δ (x |A) + hx∗, x − xi

Như vậy, ∂δ (x |A) = NA(x)

¯

x ∈ E sao cho f (¯x) ∈ R Giả sử d ∈ E

Định nghĩa 2.4 Đạo hàm của hàm f theo phương d tại x kí hiệu

đạo hàm phải ϕ0+(.) tại mọi điểm của domϕ Đồng thời ϕ0+(.) là hàm

Chứng minh Lấy t1 < t2 < t3, với t1, t2 ∈ domϕ Bởi vì hàm ϕ lồi và

(nếu t là điểm biên bên phải của domϕ, thì ϕ(t+λ)−ϕ(t)λ = +∞, ∀λ > 0)

Do đó, với t ∈ domf, ϕ có đạo hàm phải ϕ0+(t)

Suy ra ϕ0+(t1) ≤ ϕ0+(t2), tức là ϕ0+(.) không giảm và ϕ0+(t) ... 3

Ứng dụng vi phân vào

nghiên cứu toán tối ưu lồi< /h2>

Chương trình bày số ứng dụng vi phân hàm lồi

đã trình bày chương vào nghiên cứu số toán tối ưu lồi. Những... data-page="24">

Chương 2

Dưới vi phân hàm lồi< /h2>

Trong chương nghiên cứu vi phân hàm lồi

lấy từ [2], [5], [6], [7], [8]

hàm ftại x ∈ E¯ ,

f (x) − f (x)... 21

1.3.4 Hàm liên hợp

Giả sử E không gian Banach, E∗ không gian liên hợp củaE, tức

với 6= x∗ ∈ E∗,