Một số yếu tố của hình học vi phân trên giả cầu trong không gian lorentz minkowski luận văn thạc sĩ toán học

LỜI NÓI ĐẦUChúng ta đã biết ánh xạ Weingarten trong hình học vi phân cổ điển là tựđồng cấu tuyến tính đối xứng, từ đó đưa đến khái niệm độ cong, điểm rốn, ….Trên siêu mặt trong không gia

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Bình

Nghệ An, 12/2012

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu ……… 1

Chương I Kiến thức cơ sở §1 Không gian Lorentz-Minkowski………3

§2 Đa tạp nửa Riemann ……….7

Chương II Một số yếu tố của Hình học vi phân trên giả cầu trong không gian Lorentz-Minkowski §1 Toán tử dạng và độ cong của siêu mặt trong đa tạp nửa Riemann ………19

§2 Độ cong và tính rốn trên giả cầu trong ……….22

§3 Đường trắc địa ……….24

Kết luận ……….32

Tài liệu tham khảo……… 33

LỜI NÓI ĐẦU

Chúng ta đã biết ánh xạ Weingarten trong hình học vi phân cổ điển là tựđồng cấu tuyến tính đối xứng, từ đó đưa đến khái niệm độ cong, điểm rốn, ….Trên siêu mặt trong không gian nửa Riemann , ánh xạ Weingarten là công

cụ hữu hiệu để nghiên cứu các tính chất của siêu mặt

Mục đích của luận văn là dựa trên các khái niệm độ cong, điểm rốn,đường trắc địa trên siêu mặt nửa Riemann để khảo sát chúng trên giả cầu trong

không gian Lorentz-Minkowski Với mục đích đó, được sự hướng dẫn của TS.

Nguyễn Duy Bình chúng tôi chọn đề tài luận văn là “Một số yếu tố của Hình

học vi phân trên giả cầu trong không gian Lorentz-Minkowski”.

Nội dung chính của luận văn được chia làm hai chương

Chương I KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản về khônggian Lorentz-Minkowski, đa tạp nửa Riemann, liên thông Levi-Civita trên đatạp nửa Riemann, trên đa tạp con nửa Riemann Chúng là cơ sở cho việc trìnhbày các vấn đề trong chương II

Chương II MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA HÌNH HỌC VI PHÂN TRÊN GIẢ CẦU TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ-MINKOWSKI

Chương này gồm các mục sau:

§1 Toán tử dạng và độ cong của siêu mặt trong đa tạp nửa Riemann

Trong mục này chúng tôi đưa ra các khái niệm về siêu mặt, toán tử dạng,

độ cong, tính rốn của siêu mặt

§2 Độ cong và tính rốn của giả cầu trong không gian Lorentz-Minkowski

Từ khái niệm độ cong và các hệ thức liên quan tới độ cong của siêu mặtchúng tôi áp dụng tính độ cong của giả cầu đồng thời chứng minh tính rốn củagiả cầu.

§3 Đường trắc địa

Trong mục này chúng tôi mô tả được các đường trắc địa trên giả cầu vàchỉ ra các đặc trưng của chúng tương ứng với đặc trưng của 2-phẳng qua gốctrong không gian Lorentz-Minkowski

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành vào tháng 09 năm 2012 tại Khoa

Sau Đại học trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS.

Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến

thầy, cảm ơn các thầy giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn các vấn

đề liên quan tới đề tài nghiên cứu Chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn tớicác thầy giáo, cô giáo làm việc tại Khoa Sau Đại học, các đồng nghiệp bạn bè

và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành luận văn này.Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sótnên chúng tôi mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để luận văn đượchoàn thiện hơn

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn !

Vinh, tháng 09 năm 2012

Lê Thị Mỹ Hạnh

CHƯƠNG IKIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu các khái niệm cơ bản củakhông gian Lorentz – Minkowski và tổng quát là đa tạp nửa Riemann

§1 Không gian Lorentz–Minkowski

Trong mục này, chúng ta xét không gian cùng với một dạng song

tuyến tính không suy biến với chỉ số quán tính , nó được gọi là

không gian Lorentz–Minkowski, kí hiệu là Để thuận tiện cho việc trìnhbày, các khái niệm giả tích vô hướng, giả trực giao, giả pháp véc tơ, trong

lần lượt gọi là tích vô hướng, trực giao, pháp véc tơ, … mà không giải thích

gì thêm

1.1 Không gian Lorentz–Minkowski

Cho là không gian véc tơ n-chiều

Khi được gọi là véc tơ đơn vị.

1.2 Các loại véc tơ và tích có hướng của n véc tơ

Cho x Khi đó

(+) được gọi là véc tơ tựa không gian nếu

(+) được gọi là véc tơ tựa ánh sáng nếu

(+) được gọi là véc tơ tựa thời gian nếu

Hai véc tơ và được gọi là trực giao với nhau nếu

Cơ sở trong thoả mãn

được gọi là cơ sở trực chuẩn.

Nhận xét 1.1

(i) Hai véc tơ tựa ánh sáng phụ thuộc tuyến tính thì trực giao với nhau

(ii)Hệ gồm hai loại véc tơ khác loại thì độc lập tuyến tính với nhau

Nói cách khác, một véc tơ nếu khác không trực giao với véc tơ tựa thời gian thì

nó là một véc tơ tựa không gian

Thật vậy

(i)Giả sử là hai véc tơ tựa ánh sáng phụ thuộc tuyến tính với nhau

suy ra tồn tại sao cho Ta có

Hay trực giao với nhau

(ii) Với tương ứng là các véc tơ tựa không gian, tựa thời gian và tựa ánh

sáng Giả sử phụ thuộc tuyến tính suy ra tồn tại sao cho Ta

có

(vô lí)

do đó độc lập tuyến tính

Tương tự ta cũng có các hệ độc lập tuyến tính

(iii) Từ giả thiết ta có

(1)

Từ (1) ta có nên ta có :

Ta lại có

Nếu thì , suy ra (vô lý)

Vậy nên hay là véc tơ tựa không gian

1.3 Các loại siêu phẳng trong không gian Lorentz–Minkowski

Với một véc tơ và một số thực Ta xác định siêu phẳng trực giao

với Khi đó, được gọi là véc tơ pháp

tuyến của siêu phẳng

Cho là một m-phẳng trong :

(+) gọi là m-phẳng tựa không gian nếu không gian chỉ phương của chỉ

chứa các véc tơ tựa không gian hoặc véc tơ không

(+) gọi là m-phẳng tựa thời gian nếu không gian chỉ phương của chỉ chứa ít

nhất một véc tơ tựa thời gian

(+) gọi là m-phẳng tựa ánh sáng nếu không gian chỉ phương của chỉ chứa ít

nhất một véc tơ tựa ánh sáng và không chứa véc tơ tựa thời gian nào

1.4 Các loại giả cầu và n-không gian trong không gian Lorentz– Minkowski.

(i) Các loại giả cầu thường gặp

Tập được gọi là siêu mặt hyperbolic chiều

(n-1)-Tập được gọi là không gian desitter (n-1)-chiều

Tập được gọi là nón ánh sáng với đỉnh

(ii) Các loại (n-1)-không gian

(n-1)-không gian hyperbolic, kí hiệu , được xác định bởi

(n-1)-không gian hyperbolic tâm bán kính ký hiệu

Đặt và gọi

là nón ánh sáng (n-2)-cầu

Đa tạp nửa Riemann

Trong mục này chúng tôi giả thiết:

là đa tạp khả vi thực với cơ sở đếm được và hệ bản đồ

là không gian các véc tơ tiếp xúc với tại điểm

là tập các hàm khả vi trên

là tập các trường véc tơ khả vi trên đa tạp

2.1 Đa tạp nửa Riemann

2.1.1 Định nghĩa Giả sử ánh xạ , trong đó

là dạng song tuyến tính và thoả mãn:

1) phụ thuộc vào một cách khả vi (nghĩa là

là hàm khả vi theo với mỗi cặp trường véc tơ )

Khi đó, được gọi là metric nửa Riemann, đa tạp được gọi là đa tạp

nửa Riemann.

2.1.2 Ví dụ

Không gian Ơclit và không gian Lorentz-Minkowski là các đa tạp

nửa Riemann, trong đó không phụ thuộc vào

2.2 Đa tạp con nửa Riemann

Giả sử là đa tạp khả vi chiều, là đa tạp nửa Riemann

chiều, là phép nhúng khả vi Khi là đa tạp nửa Riemann

thì được gọi là đa tạp con nửa Riemann của đa tạp nửa Riemann

2.3 Liên thông Levi – Civita trên đa tạp nửa Riemann

2.3.1 Liên thông tuyến tính trên đa tạp nửa Riemann

2.3.1.1 Định nghĩa Cho là đa tạp khả vi Liên thông tuyến tính trên đa tạp

là ánh xạ

thoả mãn các điều kiện sau:

2.3.1.2 Mệnh đề Giả sử là liên thông tuyến tính trên đa tạp nửa Riemann

và là đường cong khả vi trong Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ:

; sao cho và , ta có : i)

ii)

iii) Với mọi tồn tại khoảng mở , sao cho và nếu

là một trường véc tơ khả vi, với thì

(ở đây, là trường véc tơ khả vi trên dọc )

Chứng minh

Đầu tiên ta chứng minh tính duy nhất Giả sử ánh xạ đó tồn tại thỏa mãncác tính chất trên Với mọi , chọn một bản đồ (U,x) trên và khoảng mở

sao cho và đặt

Giả sử là một trường véc tơ thì

Theo điều kiện i) và ii) ta có:

Giả sử thì

Theo điều kiện iii) ta có:

Kết hợp (1) và (2) ta có:

Đẳng thức (3) chứng tỏ ánh xạ xác định duy nhất Ta cũng kiểm tra

được ánh xạ xác định như trong đẳng thức (3) thỏa mãn các điều kiện của

mệnh đề □

2.3.1.3 Định nghĩa Giả sử là đường cong khả vi trong M Một

trường véc tơ X dọc đường cong được gọi là song song dọc nếu

(nghĩa là )

2.3.1.4 Mệnh đề Giả sử là khoảng mở trong và là đường cong khả vi lớp Khi đó với mỗi và có tồn tại duy nhất trường véc tơ song song dọc sao cho (Ở đây là các hàm khả vi bậc 1 trên M).

Chứng minh

Ta giả sử nằm trong bản đồ nào đó Đặt thì:

và giả sử

Ta có

Để là trường véc tơ song song dọc thì khi và chỉ khi

Đây là hệ phương trình vi phân tuyến tính thường với điều kiện ban đầu:

và

nên tồn tại duy nhất nghiệm Do đó tồn tại duy nhất

trường véc tơ song song dọc với:

2) Giả sử là các trường véc tơ song song dọc Khi đó

cũng là các trường véc tơ song song dọc

2) Ta có :

song song dọc

2.3.2 Liên thông Levi – Civita trên đa tạp nửa Riemann

2.3.2.1 Định nghĩa là đa tạp nửa Riemann Liên thông tuyến tính được

gọi là liên thông Levi-Civita nếu và chỉ nếu thoả mãn hai điều kiện sau :

Trường tenxơ xoắn , (nghĩa là

)

(2) Với mọi trường véc tơ trên thì , (nghĩa là

)

2.3.2.2 Định lý (xem [6]) Liên thông Levi-Civita trên đa tạp nửa Riemann

luôn tồn tại và duy nhất.

2.3.2.3 Định nghĩa Giả sử M là một đa tạp nửa Riemann với liên thông

Levi-Civita Một đường cong được gọi là đường trắc địa nếu và

chỉ nếu : (nghĩa là

2.3.2.4 Mệnh đề Giả sử là đa tạp nửa Riemann Với mọi và

tồn tại khoảng mở và một đường trắc địa duy nhất

sao cho và

Chứng minh

Giả sử là một bản đồ trên sao cho và đặt

Giả sử là đường cong khả vi, ta đặt:

thì là đường cong khả vi nên ta có :

với là cơ sở trong

Do đó

Ta có

Do đó là đường trắc địa khi và chỉ khi:

Đây là hệ phương trình vi phân thường với điều kiện ban đầu

và Nên tồn tại khoảng mở và nghiệm duy nhất

thỏa mãn điều kiện đầu và

□

2.3.3 Liên thông trên đa tạp con nửa Rieamann

2.3.3.1 Định nghĩa Cho M là đa tạp con nửa Riemann của đa tạp nửa Riemann

, và lần lượt là liên thông Levi - Civita trên M và Khi đó, với

- Với ta có

+) Kiểm tra 2 điều kiện của liên thông Levi-Civita

- Với ta có

- Với ta có

Vậy tuyến tính đối với biến

Chứng minh tương tự ta có tuyến tính đối với biến

- Với ta có

(Do )

 đối xứng

Vậy là dạng song tuyến tính đối xứng □

Từ các chứng minh trên ta suy ra: Với ta có

Hoàn toàn tương tự, với ta có

2.3.3.4 Định lí Với và ta có

Chứng minh

Với và ta có

Mà

□

2.3.3.5 Mệnh đề (xem [6]) Giả sử là một trường véc tơ tiếp xúc với trên

một đường cong  trong Khi đó , trong đó tiếp

xúc với , vuông góc với , ở đây

Chứng minh

Như thông thường ta giả thiết là đường nằm trong lân cận tọa độ của

điểm và viết Liên kiết với hình học của M ,

Thế vào phương trình trước cho kết quả cần tìm □

Khi lấy là trường véc tơ vận tốc dọc đường cong, từ mệnh đề trên ta có

2.3.3.6 Hệ quả Nếu  là đường cong trong thì

ở đây là gia tốc của  trong và ''

 là gia tốc của  trong

Từ hệ quả trên suy ra rằng, một đường cong trong là một

đường trắc địa của nếu và chỉ nếu gia tốc của trong vuông góc mọi nơi

với

2.3.3.7 Định nghĩa Cho là đa tạp Riemann, là liên thông Levi-Civita trên

Ánh xạ

được gọi là tenxơ độ cong của

2.3.3.8 Bổ đề (xem [6]) Cho là 2-phẳng tiếp xúc không suy biến của tại

Số

không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở của , kí hiệu và được gọi là độ cong tiết diện của tương ứng với 2-phẳng

2.3.3.9 Định lí (xem [6]) Cho là đa tạp con của , và lần lượt là tenxơ

độ cong của và ; II là dạng cơ bản thứ hai Khi đó, với

ta có

.

Đẳng thức trên được gọi là phương trình Gauss của đa tạp con.

Đẳng thức trên cũng xảy ra khi thay các trường véc tơ bởi các véc tơ tiếp xúctại một điểm Từ đó ta có ngay kết quả sau

2.3.3.10 Hệ quả (xem [6]) Nếu véc tơ và sinh ra không gian con không

suy biến trên M, ta có

trong đó, k và là độ cong tiết diện của đa tạp tương ứng.

CHƯƠNG II.

MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA HÌNH HỌC VI PHÂN TRÊN GIẢ CẦU TRONG

KHÔNG GIAN LORENTZ – MINKOWSKI

Toán tử dạng và độ cong của siêu mặt trong đa tạp nửa Riemann

1.1 Siêu mặt nửa Riemann

Một siêu mặt nửa Riemann của là một đa tạp con nửa Riemann đối

chiều Vì vậy đối chỉ số của là chỉ số chung của tất cả các không gian

phải là hoặc

Dấu của siêu mặt nửa Riemann của được định nghĩa bằng :

nếu đối chỉ số của là , nghĩa là đối với mọi véc tơ pháp

;

nếu đối chỉ số của là , nghĩa là đối với mọi véc tơ pháp

Nhận xét 2.1

Chỉ số của bằng chỉ số của nếu bằng ; chỉ số của bằng chỉ số

của trừ đi nếu bằng

1.1.1 Định nghĩa Cho là trường véc tơ pháp đơn vị trên siêu mặt nửa

Riemann Trường tenxơ của trên cho bởi

với

được gọi là toán tử dạng của

xác định toán tử tuyến tính , tại mỗi một điểm

, ở đây được gọi là toán tử dạng của tại

1.1.2 Bổ đề Giả sử là toán tử dạng của tại Khi đó

Từ tính đối xứng của II suy ra là tự liên hợp □

1.2 Độ cong, điểm rốn của siêu mặt trong đa tạp nửa Riemann

Trong mục này, chúng tôi định nghĩa điểm rốn, rốn hoàn toàn, điều kiện

để siêu mặt là rốn hoàn toàn Từ phương trình Gauss đối với độ cong tiết diện,chúng tôi đưa ra công thức tính độ cong của siêu mặt

1.2.1 Mệnh đề (xem [6]) Cho S là toán tử dạng của siêu mặt nửa Riemann

Nếu sinh ra phẳng tiếp xúc không suy biến trên M, thì

trong đó ε là dấu của

Chứng minh

Theo hệ quả 2.3.3.10, ta có

Vì thay vào (1) ta có điều phải chứng minh □

1.2.2 Định nghĩa Điểm thuộc được gọi là điểm rốn nếu có một véc

tơ pháp sao cho , với

Một đa tạp con của là rốn hoàn toàn nếu mỗi điểm của nó là điểm

rốn Khi đó, có một trường véc tơ pháp khả vi trên sao cho

với

1.2.3 Mệnh đề Một siêu mặt nửa Riemann là rốn hoàn toàn nếu và chỉ nếu toán tử dạng S có dạng , trong đó là hàm khả vi trên với

Chứng minh

Giả sử rằng là rốn hoàn toàn với độ cong trường véc tơ pháp Cho

là toán tử dạng tương ứng trường véc tơ pháp đơn vị

Ta có với mọi

Đảo lại, giả sử rằng toán tử dạng tương ứng trường véc tơ pháp đơn vị

thoả mãn với mọi

Như chứng minh trong mệnh đề trên ta có là điểm rốn khi và chỉ

khi tức các giá trị riêng của trùng nhau

§2 Độ cong và tính rốn của giả cầu trong

2.1 Tính rốn của giả cầu

Trong mục này, chúng tôi chứng minh mọi điểm trên giả cầu là điểm rốn

2.1.1 Mệnh đề Cho giả cầu trong không gian Lorentz-Minkowski Khi đó ánh xạ là một trường véc tơ

pháp của giả cầu (trường véc tơ vị trí), trong đó là trường mục tiêu tọa độ.

Chứng minh

Xét siêu mặt desitter (n-1)-chiều

Xét điểm trên và lấy đường cong trên

nên là trường véc tơ pháp tuyến tựa không gian Do đó không gian tiếp xúccủa giả cầu tại mọi điểm là tựa thời gian.

Vậy giả cầu là siêu mặt tựa thời gian

2.1.3 Mệnh đề Mọi điểm trên giả cầu là điểm rốn.

Do đó Vậy là điểm rốn với mọi điểm □

2.2 Độ cong trên giả cầu

Từ công thức tính độ cong của siêu mặt nửa Riemann, chúng tôi áp dụngtính độ cong của giả cầu

Mệnh đề Giả cầu (với ) là đa tạp nửa Riemann với độ cong hằng dương

Chứng minh

Vì nên thay vào công thức

ta được

(vì không gian có độ cong tiết diện hằng bằng 0)

(vì trường véc tơ pháp của giả cầu là tựa không gian)

1) Tựa thời gian, tương ứng khi là phẳng tựa thời gian,

2) Tựa ánh sáng, tương ứng khi là phẳng tựa ánh sáng,