Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m.[r]
Trang 1Ngủ dậy muộn thì mất cả ngày, ở tuổi thanh niên mà không chịu học tập thì phí cả cuộc đời
CHUYÊN ĐỀ 8 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC
Cho hàm số y = f( )x ,đồ thị là (C) Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
− Tính đạo hàm và giá trị f x'( )0
− Phương trình tiếp tuyến có dạng: y= f x'( ) (0 x x− 0)+ y0.
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M x y( 0 ; 0) ( )∈ C có hệ số góc k= f x'( )0 .
− Giải phương trình: f x'( ) = k, tìm nghiệm x0 ̃ y0
− Phương trình tiếp tuyến dạng: y k x x= ( − 0) + y0.
Chú ý: Cho đường thẳng ∆ :Ax By C+ + = 0, khi đó:
− Nếu d// ∆ ( )d :y ax b= + ⇒ hệ số góc k = a.
− Nếu d ⊥ ∆ ( )d :y ax b= + ⇒ hệ số góc k 1
a
= − .
− Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó ( )d :y k x x= ( − A)+ y A
− Điều kiện tiếp xúc của ( ) ( )d và C là hệ phương trình sau phải có nghiệm: ( ) ( )
( )'
ii Tại điểm có tung độ y = 3.
1
x x y
x
=
a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
i Tại giao điểm của (C) với trục tung.
Trang 2
ii Tại giao điểm của (C) với trụng hoành.
1
x x y
x
− −
=
a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0.
c Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0.
d Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C).
4 Cho hàm số 2 3 3
1
x x y
x
= + có đồ thị (C).
a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b Chứng minh rằng qua điểm M(−3;1) kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho hai tiếp
tuyến đó vuông góc với nhau
5 Cho hàm số: 2
1
x y x
= Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ để từ đó có thể kẻ đến (C) hai
tiếp tuyến vuông góc
Lời giải:
Gọi M(x0;y0) Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k là y = k(x – x0) + y0
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: 2 ( 0) 0 ( )
Trang 3Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vuông góc với nhau khi (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:
0 0
0 4 1 0
x y x
=
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác
x
+ −
=
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên.
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m=2.
ĐS: m=4.
được 3 tiếp tuyến với (C).
đến (C).
3 tiếp tuyến với (C).
17 Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1) (ĐH Khối−B 2008)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9).
Lời giải:
a D=R, y’ = 12x2 – 12x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = 1.
Trang 4
− Để hàm số y= f x( )có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành ⇔ y CĐ.y CT < 0.
− Để hàm số y= f x( )có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ⇔ x CĐ.x CT < 0.
− Để hàm số y= f x( )có hai cực trị nằm phía trên trục hoành 0
Trang 5Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
cực trị nằm trên đường thẳng y=2x.
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.
Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành.
hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
b Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ
O tạo thành tam giác vuông tại O.
ĐS: m= − ± 4 2 6
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.
b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa
Trang 6b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị. (ĐH Khối−B năm 2002)
a
f(x)=x^4-8x^2+10
-30 -25 -20 -15 -10 -5 5
-20 -15 -10 -5
5 10
x y
b ĐS :
3
m m
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
2 4
x y
20
MN= L =
Cho hàm sô y = f( )x có tập xác định là miền D.
(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)
Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai: f x( ) = ax2 + bx c+
1 Nếu ∆ < 0thì f(x) luôn cùng dấu với a.
2 Nếu ∆ = 0thì f(x) có nghiệm
2
b x a
= − và f(x) luôn cùng dấu với a khi
2
b x a
Trang 73 Nếu ∆ > 0thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2
nghiệm f(x) cùng dấu với a.
So sánh nghiệm của tam thức với số 0
a Hàm số luôn đồng biến trên R.
2
mx x y
x
=
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG
Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm
Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2) Khảo sát sự tương giao giữa hai
đồ thị (C1) và (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1) Số giao
điểm của (C1) và (C2) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1)
(1) vô nghiệm ⇔ (C1) và (C2) không có điểm chung
(1) có n nghiệm ⇔ (C1) và (C2) có n điểm chung.
(1) có nghiệm đơn x1⇔ (C1) và (C2) cắt nhau tại N(x1;y1)
(1) có nghiệm kép x0 ⇔ (C1) tiếp xúc (C2) tại M(x0;y0)
1 Cho hàm số ( )2
1 1
x y x
−
= + có đồ thị là (C).
a Khảo sát hàm số trên khi k = 3.
b Tìm các giá trị của k để phương trình x3 + kx2 − = 4 0 có nghiệm duy nhất
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
Trang 8
+ +
=
b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương.
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đố thị của hàm số (1) khi m = 1.
b Tìm k để phương trình − x3 + 3x2 + k3− 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
c Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)
MN nhỏ nhất.
Trang 9a Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.
b Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.
Từ hàm số y= f x m( , ) ta đưa về dạng F x y( , ) = mG x y( , ) Khi đó tọa độ điểm cố định nếu có
là nghiệm của hệ phương trình ( )
1 Cho hàm số y= x3 − 3(m− 1) x2 − 3mx+ 2( )C m Chứng minh rằng ( )C m luôn đi qua hai điểm cố
định khi m thay đổi.
+ Chứng minh rằng đồ thị ( )C m luôn đi qua một điểm cố
định khi m thay đổi.
3 Cho hàm số ( )C m :y = (1 2 − m x) 4 + 3mx2 − (m+ 1) Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên.
4 Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y= (m+ 3)x3 − 3(m+ 3) x2 − (6m+ 1) x m+ + 1( )C m luôn đi qua
x
y
(C')
f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
y
(C'')
Trang 10
Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ
2 4 6
+
=
−
f(x)=(x^2+x)/(2x-2) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=x/2+1 f(x)=(x^2+abs(x))/(2abs(x)-2) f(x)=-x/2+1
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-8 -6 -4 -2
2 4
x x
m x
2 4
x
y
2 3 3 1
x x y x
+ +
= +
f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1) x(t)=-1 , y(t)=t f(x)=x+2 f(x)=(x^2+3x+3)/abs(x+1) f(x)=-x-2
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10 -8 -6 -4 -2
2 4
x
y
2 3 3 1
x x y x
Trang 112 4
x y
2
4 1
x x y x
−
f(x)=(4x-x^2)/(x-1) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1) f(x)=-x+3
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10 -8 -6 -4 -2
2 4
x y
2
4 1
2 Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x2 + (1 − m x) − 2m− = 1 0.
f(x)=2x^3-9x^2+1 2x
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4
-8 -6 -4 -2
2 4 6
2 4 6
x
y
3 2
a Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
b Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2. (ĐH Khối B−2003)ĐS: a f x( )0 = − f (−x0), ∀x0 ≠ 0⇒ … m>0.
Trang 125. Cho hàm số y= x3 + ax2 + bx c+ ( )1 Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1)
và đi qua điểm M(1;−1)
6. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1) (ĐH Khối D−2008)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
2 4
x y
Trang 13n x d y
m
a y d m
a y
x
y
m a
y=
m n
A x
n mx
c bx ax y
+ + +
= +
+ +
m
n x d y
m
n x
I
1. ( ĐH – A2008 ) Cho hàm số 2 (3 2 2) 2 ( )
1 3
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1.
b Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450
-12 -10 -8 -6 -4 -2
2
x y
Trang 14f(x)=(2x+1)/(1-x) y=3x+1 x(t)=1 , y(t)=t f(x)=-2 Series 1 f(x)=-(1/3)x-13/3
-12 -10 -8 -6 -4 -2
2
x y
= = Tìm m sao cho đồ thị của hàm số f có tiệm cận xiên
đi qua gốc tọa độ
− có đồ thị (C m ) Tìm m để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm
số tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4
6. Tìm m để đồ thị hàm số 2 1
1
x y
x mx
+
= + + có hai tiệm cận đứng là x=x1 và x=x2 thỏa mãn
+
=
− có đồ thị (C).
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm cận nhỏ
nhất
8. Cho hàm số 2 1
2
x y
x
+
=
− có đồ thị (H).
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (H) tại giao điểm với trục tung.
c Tìm những điểm N (x N >1) thuộc (H) sao cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến ∆ ngắn nhất
5
d N ∆ =
Trang 15Dạng 10: DIỆN TÍCH− THỂ TÍCH
Ứng dụng tích phân (Dạng này thường xuất hiện nhiều trong các đề thi tốt nghiệp)
a Diện tích
Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b
ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b.
b Thể tích
Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi
{(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox
được tính bởi công thức: = ∫[ ( )]
b
a
dx x f
V π ξ 2
Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox
b
a
dx x g x f
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m=−1
b Tính diện tích hình phẳng giới hạm bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ.
c Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x.
b Tính phần diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số và trục hoành
Dạng 10 này sẽ được trình bày cụ thể hơn trong chuyên đề Tích phân−Ứng dụng.
y
d
O
Trang 16Bài 1 ( ĐH A 02) Cho hàm số y= − +x3 3mx2+ 3 1( − m x m2) + 3− m2 ( )1
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b Tìm k để phương trình : − x3+ 3x2+ k3− 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
c Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số (1)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b Chứng minh rằng với m bất kì, đồ thị (Cm) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng 20
Trang 17Bài 12 ( ĐH D 05) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số 1 3 2 1 ( )
1
m
y= x − x +
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2
b Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0
+ −
=
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến vuông góc với TCX của đồ thị hàm số
Bài 15 ( ĐH D 06) Cho hàm số: y x= 3− 3x+ 2
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b Gọi d là đường thẳng đi qua A(3;20) và có hệ số góc là m Tìm m để đường thẳng d cắt (C) tại
3 điểm phân biệt
Bài 16 ( ĐH A 07) Cho hàm số: 2 2( 1) 2 4 ( )
12
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1
b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O
Bài 17 ( ĐH D 07) Cho hàm số: 2
1
x y x
=+
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) ,biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 1
4
Bài 18 (ĐH B 07) Cho hàm số: y= −x3+ 3x2+ 3(m2−1)x− 3m2−1 1( )
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m= 1
b Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu và các điểm cực trị của hàm số (1) cách đều gốc toạ
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =1 (C)
b Xác định m để hàm số đồng biến trên các khoảng (− ∞;1) (v 1;+ ∞ )
c Với giá trị nào của m thì TCX của đồ thị hàm số tạo với các trục toạ độ 1 tam giác có diện tích bằng 4
+ −
=
−a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Trang 18
b.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
2
m x
2) Tìm trên đồ thị hàm số tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ
b Xác định m để đường cong (Cm) tiếp xúc với đường thẳng (D) có phương trình y= 5 Khi đó , tìm giao điểm còn lại của (D) với (Cm)
Bài 23 ( CĐ KTKT Hải Dương 02)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2
1
x y x
−
Bài 24 ( CĐ KTTV 03) Cho hàm số: 2 ( 1) 1( )
11
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn có giá trị cực đại (yCĐ) và giá trị cực tiểu (yCT) với mọi
m Tìm m để (yCĐ)2 = 2yCT
Bài 25 ( CĐ Điều Dưỡng 04) Cho hàm số: 3 ( )
3 2 1
y x= − x+
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua A(1;0)
Bài 26 ( CĐSP Hải Phòng 04) Cho hàm số: y= − +x3 3x ( )1
a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = - 9x
Bài 27 ( Cao Sư mẫu1 04) a.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y= − +x3 3x ( )1
a Tìm max, min của hàm số y x= 4− 4x2+1 , x∈ −[ 1; 2]
Bài 28 (Cao Sư mẫu3 04) Cho hàm số: y x= 3− 3x2+ 4m
a Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có 2 điểm cực trị Khi đó xác định m để 1 trong 2 điểm cực trị này thuộc trục hoành
b Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
c Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua A(2;0)
d Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục Ox và các đường thẳng x = 1, x =3
Bài 31 ( CĐSP Ninh Bình 04) Cho hàm số: y x= 3− 6x2+ 9mx( )1
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b Tìm m để đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt
Trang 19Bài 32 ( CĐSP Bình Phước 04) Cho hàm số: 2 ( 2) ( )
11
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 2 ( )
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt và hoành độ các giao điểm lập thành 1 cấp
số cộng
c Tìm các điểm mà (Cm) luôn đi qua với mọi m
Bài 35 ( CĐ Giao Thông 04)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x2 2x 1
+ + = có đúng 3 nghiệm phân biệt
Bài 36 (CĐ Giao Thông 2 04) Cho hàm số: 2 2 2 ( )1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2 Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận của đồ thị hàm số (1) Hãy viết phương trình 2 đường thẳng đi qua I sao cho chúng có hệ số góc nguyên và cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt là 4 đỉnh của
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b Định m để đường thẳng y = mx cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho gốc toạ
độ O là trung điểm AB
Bài 38 ( CĐ KTKT 1 04) Cho hàm số: 3 2 ( )
3 4 1
y x= + x +
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng
c Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số qua điểm A(0;-1)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0 (C)
b Tìm tất cả những điểm thuộc đồ thị (C) có toạ độ là các số nguyên
c Với giá trị nào của m thì (Cm) suy biến thành 1 đường thẳng ? Viết phương trình đường thẳng
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với a = 1
b Xác định a để đường thẳng y = x – 1 cắt đồ thị của hàm số tại 2 điểm phân biệt
Bài 41 ( CĐ Hoá chất 04) Cho hàm số: y x= 3− mx2− 2m+ 2
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =3