Chuyên đề 8 tương giao đồ thị hàm số câu hỏi

Bài toán tương giao đồ thị thông qua đồ thị, bảng biến thiên Nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm Câu 2.. Phương trình có đúng ba nghiệm thực phân biệt

DẠNG TOÁN MỨC ĐỘ TRUNG BÌNH Dạng 1 Bài toán tương giao đồ thị thông qua đồ thị, bảng biến thiên

Nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm

Câu 2 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị là đường cong trong hình bên Số

nghiệm thực của phương trình f x = −( ) 1 là:

Câu 3 (Mã 110 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số , với là các

số thực Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Phương trình vô nghiệm trên tập số thực

B Phương trình có đúng một nghiệm thực

C Phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt

D Phương trình có đúng ba nghiệm thực phân biệt

Câu 4 (Mã 104 2018) Cho hàm số liên tục trên đoạn và có đồ thị như hình vẽ bên Số

nghiệm thực của phương trình trên đoạn là

⚫Hoành độ giao điểm?

⚫Tung độ giao điểm?

Câu 5 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Số giao điểm của đồ thị hàm số 3

y x x có đồ thị ( )C Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A ( )C cắt trục hoành tại một điểm B ( )C cắt trục hoành tại ba điểm

C ( )C cắt trục hoành tại hai điểm D ( )C không cắt trục hoành

Câu 8 (Đề Minh Họa 2017) Biết rằng đường thẳng y= − +2x 2 cắt đồ thị hàm số y=x3+ +x 2 tại

điểm duy nhất; kí hiệu (x y0; 0) là tọa độ của điểm đó Tìm y0

−

=

14

x y x

+

=

12

x y x

−

=+

Câu 12 Gọi M N, là giao điểm của đường thẳng y= +x 1 và đường cong 2 4

1

x y x

DẠNG TOÁN MỨC ĐỘ KHÁ Dạng 1 Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3 (CHỨA THAM SỐ)

 Bài toán tổng quát: Tìm các giá trị của tham số m để để đường thẳng d y: = px+ cắt đồ thị hàm số q

3 2( ) :C y=ax +bx +cx+d tại 3 điểm phân biệt thỏa điều kiện K ? (dạng có điều kiện)

 Phương pháp giải:

Bước 1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và ( )C là: ax3+bx2+cx+ =d px+q

Đưa về phương trình bậc ba và nhẩm nghiệm đặc biệt x=x o để chia Hoocner được:

 Giải hệ này, tìm được giá trị mD1

Bước 3 Gọi A x px( ;o o+q), ( ;B x px1 1+q), ( ;C x px2 2+q) với x1, x2 là hai nghiệm của ( )g x =0

Theo Viét, ta có: x1 x2 b

a

+ = − và x x1 2 c

a



= (1)

Bước 4 Biến đổi điều kiện K về dạng tổng và tích của x1, x2 (2)

Thế (1) vào (2) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến là m. Giải chúng sẽ tìm được giá trị

2

mD

Kết luận: mD1D2

Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến cấp số

Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y=ax3+bx2+cx+d cắt trục hoành tại 3điểm phân biệt có hoành

3 nghiệm phân biệt

Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y=ax3+bx2+cx+d cắt trục hoành tại 3điểm phân biệt có hoành

a

= −TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Chuyên đề 8

3 nghiệm phân biệt

Câu 1 (Sở Ninh Bình 2020) Cho hàm số y=x3−3mx2+2m Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m

để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng?

Câu 4 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đồ thị hàm

số y=x3−3x2 cắt đường thẳng y=mtại ba điểm phân biệt

cả các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

y=x + m− x + − m x+ −m tại 3 điểm phân biệt

có hoành độ x x x1, 2, 3 thỏa mãn điều kiện x12+x22+x32 =20 là

Dạng 2 Bài toán tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số nhất biến (CHỨA THAM SỐ)

Bài toán tổng quát

Cho hàm số y ax b

cx d

+

=+ có đồ thị ( )C Tìm tham số m để đường thẳng :d y=x+ cắt  ( )C tại hai điểm phân biệt , A B thỏa mãn điều kiện K?

Phương pháp giải

Bước 1 (Bước này giống nhau ở các bài toán tương giao của hàm nhất biến)

Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa d và ( )C : ax b x

c d g c

Giải hệ này, ta sẽ tìm được mD1 ( )i

-Gọi A x( 1;x1+) (, B x2;y2+) với x x1, 2 là 2 nghiệm của g x =( ) 0 Theo Viét:

-Biến đổi điều kiện K cho trước về dạng có chứa tổng và tích của x x1, 2 ( )iii

-Thế ( )ii vào ( )iii sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m Giải nó sẽ tìm được

Giả sử : d y=kx + cắt đồ thị hàm số p y ax b

cx d

+

=+ tại 2 điểm phân biệt M N,

Với kx p ax b

cx d

++ =

− Khi đó độ dài đoạn AB ngắn nhất bằng

Câu 3 (Sở Cần Thơ 2019) Cho hàm số 3

1

x y x

+

=+ có đồ thị ( )C và đường thẳng d y: = − , với x m m là

tham số thực Biết rằng đường thẳng d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho điểm

x và đường thẳng d y: ax 2b 4 Đường thẳng d cắt ( C ) tại A,

B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O, khi đó T a b bằng

y= +x m cắt đồ thị hàm số 2 1

1

x y x

−

=+ tại hai điểm phân biệt M , N sao cho MN 10

x y

x

=

− ( )C tại hai điểm phân biệt A và

B sao cho độ dài AB ngắn nhất thì giá trị của m thuộc khoảng nào?

A m  − −( 4; 2) B m ( )2; 4 C m  −( 2;0) D m ( )0; 2

Câu 9 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Gọi ( )H là đồ thị hàm số 2 3

1

x y x

+

=+ Điểm M x( 0;y0)

thuộc ( )H có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất, với x  khi đó 0 0 x0+ y0

bằng

Dạng 3 Bài toán tương giao của đường thẳng với hàm số trùng phương (CHỨA THAM SỐ)

Bài toán tổng quát: Tìm m để đường thẳng d y: = cắt đồ thị  4 2

( ) :C y= f x m( ; )=ax +bx +c tại n điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K cho trước?

Tùy vào số giao điểm n mà ta biện luận để tìm giá trị mD1 Cụ thể:

• Để d( )C = = điểm phân biệt n 4 (1) có 4 nghiệm phân biệt

Bước 2 Biến đổi điều kiện K về dạng có chứa tổng và tích của t1, t2 (3)

Thế biểu thức tổng, tích vào (3) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m. Giải chúng ta sẽ tìm được mD2

2 1 1 ( 1) 2 3 1 2 91

t − t = t − − t  t = t  =t t Theo định lý Vi – et t1 t2 b

a + = − suy ra

y=ax +bx +c cắt trục hoành tại 3điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng,

b a c a

 +

;2

 +

Câu 3 (THPT Lương Thế Vinh - Hn - 2018) Cho hàm số y=x4−3x2−2 Tìm số thực dương m để

đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông

tại O , trong đó O là gốc tọa độ

2

Câu 4 (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số y x= 4−2x2 tại 4

điểm phân biệt có hoành độ là 0, 1, m,n Tính S m= 2+n2

A S=1 B S=0 C S=3 D S=2

Câu 5 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số 4 3 ( ) 2

y=x − x + m− x + x+ cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1

DẠNG TOÁN MỨC ĐỘ GIỎI Dạng 1 Biện luận m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện k (hàm số khác)

Câu 1 (Mã 101 2019) (Mã đề 001) Cho hai hàm số 3 2 1

( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là ( )C và 1 ( )C2 Tập hợp tất cả các giá trị của m để ( )C 1

và ( )C2 cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là

nhau tại năm điểm phân biệt là

Câu 7 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f x( )=(x−1).(x−2) (x−2020) Có

bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn

−2020; 2020 để phương trình f x( )=m f x ( ) có 2020 nghiệm phân biệt?

Dạng 2 Tương giao hàm hợp, hàm ẩn

Câu 1 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f x( )có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn − ; 2  của phương trình 2f (sinx + =) 3 0 là

Câu 2 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau ( )

Số nghiệm thuộc đoạn 0;5

Câu 3 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị là đường cong trong hình bên Số

nghiệm thực phân biệt của phương trình ( 3 )

f x − x = là

Câu 5 Cho hàm số y= f x có đạo hàm cấp 2 trên ( ) và có đồ thị f( )x là đường cong trong hình vẽ

bên

Đặt g x( )= f (f( )x −1 ) Gọi Slà tập nghiệm của phương trình g x( )= Số phần tử của tập 0 S

là

Câu 6 (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hàm số f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ

Đặt g x f f x Hỏi phương trình g x 0 có mấy nghiệm thực phân biệt?

Câu 7 Biết rằng đồ thị hàm số y f x( ) được cho như hình vẽ sau

Số giao điểm của đồ thị hàm số y f x 2 f x f x và trục Ox là:

Câu 8 (Chuyên Lam Sơn 2019) Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên

Phương trình f (f x −( ) 1)= có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? 0

Câu 9 (Đề tham khảo 2019) Cho hàm số f x( )=mx4+nx3+px2+qx r+ , Hàm số y= f( )x có đồ thị

như hình vẽ bên dưới:

Tập nghiệm của phương trình f x( )=r có số phần tử là

Câu 10 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số ( ) 4 3 2

y= f x =mx +nx + px +qx+ , trong đó r

, , , ,

m n p q r  Biết rằng hàm số y= f '( )x có đồ như hình vẽ dưới

Tập nghiệm của phương trình f x( )=16m+8n+4p+2q+ có tất cả bao nhiêu phần tử r

Câu 11 Cho f x là một hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình dưới đây ( )

Tập nghiệm của phương trình ( ) 2 ( ) ( )

Khi đó tổng số nghiệm của hai phương trình f g x( ( ) )=0 và g f x( ( ) )=0 là

Câu 13 (THPT Nghĩa Hưng 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên Hàm số

y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Số nghiệm thuộc đoạn 2;6 của phương trình f x f 0 là

Câu 14 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên và có đồ thị là đường cong

trong hình vẽ dưới Đặt g x( )= f f x( ) Tìm số nghiệm của phương trình g x( )= 0

x

-4 -3 -2 -1

4 3 2 1

4 3 2 1

O

-1 -2 -3

O

1

− 2

− 3

− 1 2 3 4 5 6 7 x

y

4 2

2

−

Câu 15 (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2019) Cho hàm số ( ) 4 3 2

f x g x có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Tập nghiệm của phương trình f x( )=g x( ) có số phần tử là

Số nghiệm thực của phương trình ( 3 )

Câu 20 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho y= f x( ) là hàm số đa thức bậc 3 và có đồ thị như hình vẽ bên

Hỏi phương trình f (f (cosx −) 1)= có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn 0 0;3?

Câu 21 (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên và có bảng biến thiên như

hình vẽ

Phương trình f (3x +1)− =2 5 có bao nhiêu nghiệm?

Câu 22 (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn 5 ;5

Câu 23 (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình f x +( 2019)−2020 =2021 là

A 2 ( )

5 4 53

53

m f

C 2 ( )

0 2 53

53

m f

Câu 25 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên

Số nghiệm thuộc đoạn 0;7

Câu 26 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị nhưu hình vẽ bên Tìm số

nghiệm thuộc đoạn 2017 ; 2020  của phương trình  3f (2 cosx)=8

A 8 B 3 C 4 D 6

Dạng 3 Biện luận tương giao hàm hợp, hàm ẩn chứa THAM SỐ

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên Tập

hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f (sinx)=m có nghiệm thuộc khoảng (0; là )

A (−1;3) B −1;1) C −1;3) D (−1;1)

Câu 2 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số y= f x có bảng biến thiên như hình vẽ: ( )

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ( 2 )

6f x −4x =m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +  ? )

Câu 3 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số 3 2

( )

y= f x =ax +bx +cx+d có đồ thị như hình dưới đây

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  −( 5;5) để phương trình

2

f x − m+ f x + m+ = có 6 nghiệm phân biệt

Câu 4 (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hàm số y= f x( ), hàm số y= f( )x liên tục trên và có đồ

thị như hình vẽ bên Bất phương trình ( ) 2

2

f x x − x m+ (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x ( )1; 2 khi và chỉ khi

A m f ( )2 − 2 B m f ( )1 + 1 C m f( )1 − 1 D m f ( )2

Câu 5 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn −1; 4 và có đồ thị như

hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của mthuộc đoạn −10;10 để bất phương trình f x( )+m 2m

đúng với mọi x thuộc đoạn −1; 4

Câu 6 (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hàm số y =f x( ) Đồ thị hàm số y =f x'( ) như hình vẽ Cho bất

phương trình 3f x( )x3 −3x m+ ( m là tham số thực) Điều kiện cần và đủ để bất phương trình

f x =x + + Có tất cả bao nhiêu giá x

trị nguyên của tham số m để phương trình (3 3( ) ( ) ) 3

Câu 8 (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hàm số ( )f x liên tục trên  2; 4 và có bảng biến thiên như

hình vẽ bên Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình x+2 x2−2x =m f x ( ) có nghiệm thuộc đoạn  2; 4 ?

Câu 9 (Chuyên Sơn La - 2020) Cho hàm số f x( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ Số giá trị

nguyên của tham số m để phương trình f2(cosx) (+ m−2019) (f cosx)+m−2020=0 có đúng

6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 0;2 là

Câu 10 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên thỏa mãn f ( )− =1 5,f ( )− = và 3 0

có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Số giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình ( ) 2

3f 2− +x x + − = có nghiệm trong 4 x m

khoảng ( )3;5 là

Câu 11 (Sở Ninh Bình) Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ( ) ( 2 )

f x = f m + m+

có nghiệm?

Câu 12 (Sở Yên Bái - 2020) Cho hàm số y = f x( ) liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ bên Số các giá trị nguyên của

Câu 13 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hàm số đa thức bậc bốn y= f x( ) và y=g x( ) có đồ thị

như hình vẽ dưới đây đường đậm hơn là đồ thị hàm số y= f x( ) Biết rằng hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại điểm có hoành độ là − và cắt nhau tại hai điểm nữa có hoành độ lần lượt là 3 −1 và 3 Tìm tập hợp tất các giá trị thực của tham số m để bất phương trình f x( )g x( )+m nghiệm đúng với mọi x  − 3;3

Câu 15 (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên và có đồ thị như hình

vẽ Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

(sin ) 3sin

y= f x = x m+ có nghiệm thuộc khoảng (0;) Tổng các phần tử của S bằng

A −5 B −8 C −6 D −10

Câu 16 (NK HCM-2019) Cho f x là một hàm số liên tục trên đoạn ( ) −2;9 , biết

( )1 ( )2 ( )9 3

f − = f = f = và f x có bảng biến thiên như sau: ( )

Tìm m để phương trình f x( )= f m( ) có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn −2;9 

A m  −( 2;9 \ ( (−1; 2)   6 ) B m  − 2;9 \ ( (−1; 2)   6 )

C m  −( 2;9 \ 6    D m  − 2;9 \ −2;6 

Câu 17 Cho hàm số y= f x( ) xác định và liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị

nguyên của m để phương trình 2.f 3 3 9x2 30x 21 m 2019 có nghiệm

Câu 18 (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hàm số y= f x( ) xác định, liên tục trên và có đồ thị

như hình vẽ bên Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình ( 2)

2f 3 4 6− x−9x = − m 3

có nghiệm

Câu 19 (Sở Hà Nội 2019) Cho hàm số bậc bốn y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ Số giá trị nguyên của

tham số m để phương trình f (x m+ )=m có 4nghiệm phân biệt là

A [-1;3] B [-1; ( 2)]f C (-1; ( 2)]f D (-1;3]

Câu 21 (Chuyên Dại Học Vinh 2019) Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 1 1

Câu 22 (VTED 2019) Cho hai hàm số y= f x( ) và y=g x( ) là các hàm xác định và liên tục trên và

có đồ thị như hình vẽ bên (trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y= f x( )) Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f (1−g(2x−1) )= có nghiệm thuộc đoạn m 1;5

2

− 

 