a) Tiếp xúc nhau. Tìm tọa độ tiếp điểm. Tìm hoành độ điểm còn lại. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn MN theo m và quỹ tích của điểm I khi m thay đổi. a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho t[r]
Trang 1Chủ đề: HÀM SỐ HÀM SỐ BẬC NHẤT A
K iến thức cần nhớ
- Hàm số bậc nhất: y = ax + b đồng biến khi a > 0 Khi đó đồ thi tạo với trục hoành Ox một góc nhọn Nghich biến thì ngược lại
- Hai đường thẳng a và a’ song song khi và chỉ khi:
a a '
b b'
- Hai đường thẳng a và a’ cắt nhau khi và chỉ khi: a a’
- Hai đường thẳng a và a’ vuông góc khi và chỉ khi tích a.a’ = 1
- Đồ thi của hàm số y = ax (a 0) là đường thẳng đi qua gốc toạ độ
- Đồ thi của hàm số y = ax + b (a 0, b 0) không đi qua gốc toạ độ Nó tạo với hai trục
Ox và Oy 1 tam giác
B
Bài tập
Bài 1: Cho hàm số y = (m + 5)x + 2m – 10.
a) Với giá tri nào của m thì y là hàm số bậc nhất
b) Với giá tri nào của m thì hàm số đồng biến.
c) Tìm m để đồ thi hàm số điqua điểm A(2; 3)
d) Tìm m để đồ thi cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9.
e) Tìm m để đồ thi đi qua điểm 10 trên trục hoành
f) Tìm m để đồ thi hàm số song song với đồ thi hàm số y = 2x 1.
g) Chứng minh đồ thi hàm số luôn đi qua 1 điểm cố đinh với mọi m.
h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thi hàm số là lớn nhất.
Bài 2: Cho đường thẳng y = 2mx + 3 m x (d) Xác đinh m để:
a) Đường thẳng d qua gốc toạ độ
b) Đường thẳng d song song với đường thẳng 2y x = 5
c) Đường thẳng d tạo với Ox một góc nhọn
d) Đường thẳng d tạo với Ox một góc tù
e) Đường thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2
f) Đường thẳng d cắt đồ thi hàm số y = 2x – 3 tại một điểm có hoành độ là 2
g) Đường thẳng d cắt đồ thi hàm số y = x + 7 tại một điểm có tung độ y = 4
h) Đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng 2x 3y = 8 và y = x + 1
Bài 3: Cho hàm số y = (2m 3)x + m 5.
a) Vẽ đồ thi với m = 6
b) Chứng minh họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố đinh khi m thay đổi
c) Tìm m để đồ thi hàm số tạo với 2 trục toạ độ một tam giác vuông cân
d) Tìm m để đồ thi hàm số tạo với trục hoành một góc 450
e) Tìm m để đồ thi hàm số tạo với trục hoành một góc 1350
f) Tìm m để đồ thi hàm số tạo với trục hoành một góc 300, 600
g) Tìm m để đồ thi hàm số cắt đường thẳng y = 3x 4 tại một điểm trên Oy
h) Tìm m để đồ thi hàm số cắt đường thẳng y = x 3 tại một điểm trên Ox
Bài
4 Cho hàm số y = (m 2)x + m + 3
a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghich biến
b) Tìm điều kiện của m để đồ thi cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3
c) Tìm m để đồ thi hàm số y = x + 2, y = 2x – 1 và y = (m 2)x + m + 3 đồng quy
d) Tìm m để đồ thi hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 2
Bài 5 Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*)
1) Tìm m để đồ thi hàm số (*) đi qua điểm:
a) A(1; 3; b) B( √2 ; 5 2); c) C(2; 1)
Trang 22) Xác đinh m để đồ thi hàm số (*) cắt đồ thi hàm số y = 3x – 2 trong góc phần tư thứ IV
Bài 6 Cho (d1): y = 4mx (m + 5); (d2): y = (3m2 + 1)x + m2 4
a) Tìm m để đồ thi (d1) đi qua M(2;3)
b) Cm khi m thay đổi thì (d1) luôn đi qua một điểm A cố đinh, (d2) đi qua B cố đinh
c) Tính khoảng cách AB
d) Tìm m để d1 song song với d2
e)Tìm m để d1 cắt d2 Tìm giao điểm khi m = 2
Bài 7 Cho hàm số y = f(x) = 3x – 4.
a) Tìm toạ độ giao điểm của đths với hai trục toạ độ
b) Tính f(2) ; f(½); f( 7 24 )
c) Các điểm sau có thuộc đồ thi hàm số không? A(1; 1); B(1; 1); C(2; 10); D(2;10) d) Tìm m để đths đi qua điểm E(m; m2 4)
e)Tìm x để hàm số nhận các giá tri: 5; 3
g) Tính diện tích, chu vi tam giác mà đồ thi hàm số tạo với hai trục toạ độ
h) Tìm điểm thuộc đths có hoành độ là 7
k) Tìm điểm thuộc đths có tung độ là 4
l) Tìm điểm thuộc đths có hoành độ và tung độ bằng nhau
Bài 8 Cho hàm số (d): y = (m 2)x + n Tìm giá tri của m và n để đồ thi (d) của hàm số:
a) Đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; 4)
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 √2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 +
√2
c) Cắt đường thẳng 2y + x 3 = 0
d) Song song với đường thẳng 3x + 2y = 1
Bài 9 Cho hàm số: (P): y = 2x2
a) Vẽ đồ thi hàm số (P)
b) Tìm trên đồ thi các điểm cách đều hai trục tọa độ
c) Xét số giao điểm của (P) với đuờng thẳng (d): y = mx – 1 theo m
d) Viết phương trình đường thẳng (d') đi qua điểm M(0; 2) và tiếp xúc với (P)
Bài 10 Cho (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x + m
1 Xác đinh m để hai đường đó:
a) Tiếp xúc nhau Tìm tọa độ tiếp điểm
b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B, một điểm có hoành độ x = 1 Tìm hoành độ điểm còn lại Tìm tọa độ A và B
2 Trong trường hợp tổng quát, giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn MN theo m và quỹ tích của điểm I khi m thay đổi
Bài 11 Cho đường thẳng (d): 2(m 1)x (m 2)y 2
a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) y=x2 tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất
d) Tìm điểm cố đ?nh mà (d) đi qua khi m thay đổi
Bài 12 Cho (P): y = x2
a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và tiếp xúc với (P)
b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng √2
Bài 13 Cho đường thẳng (d) : y=3
4 x − 3 a) Vẽ đồ thi đường thẳng (d)
b) Tính diện tích tam giác được tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ
c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)
Trang 3Bài 14 Với giá tri nào của m thì hai đường thẳng: (d) y (m 1)x 2 ; (d') y 3x 1
a) Song song với nhau
b) Cắt nhau
c) Vuông góc với nhau
Bài 15 Tìm giá tri của a để ba đường thẳng: (d ) :y 2x 5;(d ) : y x 2;(d ) : y ax 121 2 3 đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ
Bài 16 Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (d): 2x + (m 1)y = 1 luôn đi qua một điểm cố đinh.
Bài 17 Cho (P):
2
1
2
và đường thẳng (d): y = ax + b Xác đinh a và b để đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 0) và tiếp xúc với (P)
Bài 18 Cho (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x + m
a) Vẽ đồ thi (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc với (d)
Bài 19 Cho (P):
2
x y 4
và (d): y = x + m
a) Vẽ đồ thi (P)
b) Xác đinh m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác đinh phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại điểm có tung độ bằng 4
d) Xác đinh phương trình đường thẳng (d'') vuông g?c với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P)
Bài 20 Cho hàm số (P): y = x2 và hàm số (d): y = x + m
a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
b) Xác đinh phương trình đường thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
c) Thiết lập công thức t?nh khoảng cách giữa hai điểm bất kì áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 3√2
Bài 21 Cho điểm A(2; 2) và đường thẳng (d) y = 2(x + 1)
a) Điểm A có thuộc (d)? Vì sao?
b) Tìm a để hàm số (P): y = ax2 đi qua A
c) Xác đinh phương trình đường thẳng (d1) đi qua A và vuông góc với (d)
d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và (d1); C là giao điểm của (d) với trục tung Tìm toạ độ của B và C Tính diện tích tam giác ABC
Bài
22 Cho (P):
2
1
4
và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lượt là 2 và 4 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (P) của hàm số trên
b) Viết phương trình đường thẳng (d)
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ x ∈[− 2; 4] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất
(Gợi ý : cung AB của (P) tương ứng hoành độ x ∈[− 2; 4] có nghĩa là A(-2; y A ) và B(4;y B ) tính y A ;
y B )
Bài 23 Cho (P): y=− x2
4 và điểm M(1; 2)
a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
c) Gọi xA; xB lần lượt là hoành độ của A và B Xác đinh m để x x2A B x xA 2B đạt giáỉti nhỏ nhất và tính giá tri nhỏ nhất đó
d) Gọi A' và B' lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B
1) Tính S theo m
2) Xác đinh m để S = 4 (8+m2√m2+m+2)
Bài 24 Cho hàm số y = x2(P)
a) Vẽ đồ thi (P)
Trang 4b) Gọi A, B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là 1 và 2 Viết phương trình đường thẳng AB
c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 25 Trong hệ toạ độ Oxy cho Parabol (P): y=−1
4x
2
và đường thẳng (d):y mx 2m 1 a) Vẽ đồ thi (P)
b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau Tìm toạ độ tiếp điểm
c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố đinh
Bài 26 Cho (P) y=−1
4x
2
và điểm I(0; 2) Gọi (d) là đường thẳng qua I và hệ số góc m a) Vẽ (P) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B, ∀ m∈ R
b) Tìm giá tri của m để đoạn AB ngắn nhất
Bài 27 Cho (P): y= x
2
4 và đường thẳng (d) đi qua điểm I( 32;1 ) có hệ số góc là m
a) Vẽ (P) và viết phương trình (d)
b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
c) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Bài 28 Cho (P): y= x2
4 và đường thẳng (d): y=− x
2+2 a) Vẽ (P) và (d)
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đ? đường ti?p tuy?n của (P) song song với (d)
Bài 29 Cho (P): y = x2
a) Vẽ (P)
b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là 1 và 2 Viết pt đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và ti?p xúc với (P)
Bài 30 Cho (P): y = x2
a) Vẽ (P)
b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x = 1 và điểm B có hoành độ x = 2 Xác đinh các giá tri của m và n để đường thẳng (d): y = mx + n tiếp xúc với (P) và song song với AB
Bài 31 Cho phương trình: m√2 x −(√2 −1)2=√2 − x +m2
a) Giải phương trình khi m=√2+1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x=3 −√2
c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất
Bài 32 Cho phương trình: (m− 4 ) x2− 2 mx+m− 2=0 (x là ẩn)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x=√2 Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm phân biệt
c) Tính x12+x22 theo m
Bài 33 , Cho phương trình: x2−2 (m+1) x +m −4=0 (x là ẩn)
a) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức M= x1(1 − x2)+x2(1 − x1) không phụ thuộc vào m
Bài 34 Tìm m để phương trình:
a) a) x2− x +2 (m− 1)=0 có hai nghiệm dương phân biệt
b) b) 4 x2
+2 x+m−1=0 có hai nghiệm âm phân biệt
c) c) (m2+1)x2−2 (m+1 ) x +2 m−1=0 có hai nghiệm trái dấu
Bài 35 Cho phương trình: x2−( a− 1) x −a2
+a −2=0
a) Chứng minh rằng phương trình trên có 2 nghiệm trái dấu với mọi a
b) Gọi hai nghiệm của pt là x1 và x2.Tìm giá tri của a để x12+x22 đạt giá tri nhỏ nhất
Bài 36 Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức: 1b+1
c=
1 2
Trang 5CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm
2 2
x bx c 0
x cx b 0
Bài 37 Với giá tri nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung:
2x 3m 2 x 12 0 (1); 4x 9m 2 x 36 0(2)
Bài 38 Cho phương trình: 2 x2−2 mx+m2− 2=0
a) Tìm các giá tri của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
b) Giả sử pt có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dương lớn nhất của pt
Bài 39 Cho phương trình bậc hai tham số m: x2+4 x +m+1=0
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện x12
+x22 =10
Bài 40 Cho phương trình x2−2 (m− 1) x +2 m− 5=0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
Bài 41 Cho phương trình x2−2 (m+1) x +2 m+10=0 (với m là tham số)
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình
b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 ; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
c) Tìm giá tri của m để 10 x1x2+x12
+x22 đạt giá tri nhỏ nhất
Bài 42 , Cho phương trình (m− 1) x2− 2 mx+m+1=0 với m là tham số
a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ∀ m≠ 1
b) Xác đinh giá tri của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của phương trình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức: x x1
2
+x2
x1+
5
2=0
Bài 43 , Cho phương trình: x2− mx+m− 1=0 (m là tham số)
a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm x1; x2 với mọi m; tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá tri của m tương ứng
b) Đặt A=x12+x22− 6 x1x2
Chứng minh A=m2−8 m+8
Tìm m để A = 8
Tìm giá tri nhỏ nhất của A và giá tri của m tương ứng
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
Bài 43 Cho phương trình x2−2 mx+2 m −1=0
a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm x1; x2 với mọi m
b) Đặt A= 2(x12+x22)− 5 x1x2
CMR A= 8 m2−18 m+9
Tìm m sao cho A = 27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia
Bài 44 Giả sử phương trình a x2
+bx+c=0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 Đặt S n=x1n+x2n (n nguyên dương)
CMR a S n+2+bSn+1+cSn=0
Áp dụng: Tính giá tri của: A= (1+2√5)5+(1−2√5)5
Bài 45 Cho f(x) = x2 2 (m+2).x + 6m + 1
a CMR phương trình f(x) = 0có nghiệm với mọi m
b Đặt x = t + 2.Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0có 2 nghiệm lớn hơn 2
Bài 46 Cho phương trình: x2−2 (m+1) x +m2− 4 m+5=0
a) Xác đinh giá tri của m để phương trình có nghiệm
Trang 6b) Xác đinh giá tri của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương
c) Xác đinh giá tri của m để phương trình có hai nghiệm có giá tri tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau
d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phương trình Tính x12+x22 theo m
Bài 47 Cho phương trình x2− 4 x√3+8=0 có hai nghiệm là x1; x2 Không giải phương trình, hãy tính giá tri của biểu thức: M= 6 x1
2
+10 x1x2+6 x22
5 x1x23+5 x13x2
Bài 48 Cho phương trình x x − 2 (m+2) x+m+1=0
a) Giải phương trình khi m= 12
b) Tìm các giá tri của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt Tìm giá tri của m để: x1(1 −2 x2)+x2(1− 2 x1)=m2
Bài 49 Cho phương trình x2+mx+n −3=0 (1) (n, m là tham số)
Cho n=0 CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Tìm m và n để hai nghiệm x1; x2 của phương trình (1) thoả mãn hệ: {x1− x2=1
x12− x22=7
Bài 50 Cho phương trình: x2−2 (k −2 ) x − 2 k − 5=0 (k là tham số)
a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá tri của k
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá tri của k sao cho
x12+x22=18
Bài 51 Cho phương trình (2 m−1) x2− 4 mx+4=0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m=1
b) Giải phương trình (1) khi m bất kì
c) Tìm giá tri của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 52 , Cho phương trình: x2−(2 m− 3) x+ m2−3 m=0
a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác đinh m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 1<x1<x2<6