Chuyên đề Một số kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử

Phương pháp đổi biến đặt biến phụ Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đó đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần, ta đặt biểu thức ấy làm biến phụ từ đó đư[r]

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ KỸ THUẬT PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

I Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

- Tàch một hạng tử của đa thức đã cho thành tổng hai hay nhiều hạng tử thích hợp để đưa về dạng sử dụng được các phương pháp đã học

1 Đối với tam thức bậc hai: ax2 bxc

- Cách 1: Làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, nhờ đó làm xuất hiện nhân tử chung ( thường tách hạng tử thứ 2 )

+ Để phân tích ax2 bxcthành nhân tử, ta tách sao cho

x b x b

b

c a

b

2

1 2

1    + Cách làm

Bước 1: Tìm tích a.c

Bước 2: Phân tích a.c thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách

Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b

- Cách 2: Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương ( thường tách hạng tử 1 hoặc 3 )

- Cach 3: Một số tam thức bậc hai ax2 bxccó dạng đặc biệt

+ Nếu a + b + c = 0 thì   x ax c

a

c x x a c bx









 







2

+ Nếu a –b + c = 0 thì   x ax c

a

c x x a c bx









 







2

* Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử theo nhiều cách

a/ 3x2  x8 4 b/ 4x2  x4 3 c/ x2  x7 12

d/ 3x2  x4 7 e/ 3x2  x4 7

2 Đối với đa thức bậc 3 trở lên

- Tìm nghiệm của đa thức:

+ Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0

+ Nếu đa thức f(x) có nghiệm nguyên, thì nghiệm nguyên đó luôn là ước của hệ số tự do

+ Nếu đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ, thì nghiệm phải có dạng trong đó p là ước của hệ số tự do, q là

q p

ước dương của hệ số cao nhất

- Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa nhân tử ( x – a )

Ví dụ: a/ f x x3 x2 4

b/ f x 3x3 7x2 17x5

- Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức đó, hay đa thức đó chứa nhân tử là x – 1

Ví dụ: x3 5x2 8x4

- Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức, hay đa thức đó chứa nhân tử x + 1

Ví dụ: x3 5x2 3x9

II Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử

Lop8.net

1 Thêm và bớt cùng một hạng tử để làm xuất hiện hiệu của hai bình phương

Ví dụ: 4x4 814x4 36x2 8136x2 2x2 92  6x 2 2x2 96x2x2 96x

Áp dụng:

a/ 64x4  y4

b/ x4 64

2 Thêm và bớt một hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ: x5  x1

Cách 1:

1 1

1

1 1

2 3 2

2 2

2 2

3

2 2 3 3

4

5

5

















































x x

x

x

x x x

x x x

x

x

x x x x x

x

x

x

x

Cách 2:

1 1 1

1 1

1 1

2 3 2

2 2

2 3

2

2

2

5

5













































x x

x

x

x x

x

x

x x x

x

x x

x

x

x

x

Áp dụng: x7  x2 1

III Phương pháp đổi biến ( đặt biến phụ )

Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đó đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần, ta đặt biểu thức ấy làm biến phụ từ đó đưa được về đa thức mới đơn giản hơn Phân tích đa thức mới này thành nhân tử rồi lại thay thế cũ vào và tiếp tục

Ví dụ: 1:

 4 6 101282 10 2 10 24128

A

Đặt: y x2 10x12, ta có

y12y12128 y2 16y4y4x2 10x16x2 10x8x2x8 x2 10x8

Ví dụ 2:





















 













 























x

x x

x x x x x

x x x

x x

x

B

2 1

x x y

y

x

2 2

2 2

2

1 3 3

1 3

3 7

6



















 

















x x x x xy y

x y

y

x

B

1 3 1

3 1 3 2 1

6 9 2



A

Lop8.net