Chuyên đề 8 hàm số bậc nhất và đồ thị , chuyên đề luyện thi học sinh giỏi lớp 9 và ôn thi vào lớp 10 có loài giải và hướng dẫn chi tiết

Chuyên đề 8 HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ A Kiến thức cần nhớ 1 Định nghĩa Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bằng công thức hiến thuật tổng quát Trong thi môn Toán, chiến thuật quan trọng nhất là dễ trước khó sau, đúng câu dễ mới làm câu khó. Khi nhận đề, các em cần đọc lướt qua một lượt, trong quá trình đọc bắt được ý tưởng lời giải của bài nào thì ghi ngay ra bên cạnh bài đó. Sau đó, bắt tay làm bài từ câu dễ đến câu khó, theo phương châm đúng câu dễ mới sang câu khó. Lưu ý, sai câu dễ nguy cơ trượt cao, không làm được câu khó vẫn có thể đỗ. Với 2 câu vận dụng cao, chỉ nên dành thời gian tối đa cho mỗi câu 10 phút, thời gian còn lại cần kiểm tra các câu đã làm để đảm bảo đạt điểm tuyệt đối. Hãy nhớ 3 bước giải bài toán. Tương tự như 3 bước làm một bài văn là mở bài, thân bài, kết luận, 3 bước giải bài toán lần lượt là: điều kiện, giải bài toán, kiểm + kết. Kỹ năng trình bày: 2Đ Đúng và Đủ ý Đúng luôn là quan trọng nhất, Đủ để không bị trừ điểm lặt vặt. Các em lưu ý, bài làm không viết dài dòng, viết càng dài càng dễ sai. Bên cạnh đó, khi viết dài, việc kiểm tra sẽ mất nhiều thời gian và khó tìm ra lỗi sai. Kỹ năng kiểm tra: 3K K1: Làm đến đâu kiểm tra đến đó, nếu sai cần sửa ngay, tránh tình trạng làm xong cả bài mới phát hiện sai, khi đó có lỗi sai rất khó sửa, thường phải bỏ cả bài. Điều này gây mất thời gian và ảnh hưởng không tốt đến tâm lý làm bài. K2: Xong một bài, tiến hành kiểm tra ngay.dạng , trong đó a, b là những hằng số với Hàm số bậc nhất có tập xác định là 2.

Chuyên đề 8 HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ

A Kiến thức cần nhớ

1 Định nghĩa

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bằng công thức dạng y ax b  , trong đó a, b là những hằng số với a 0

Hàm số bậc nhất có tập xác định là 

2 Tính chất

Tính đồng biến, nghịch biến:

Với a 0 , hàm số đồng biến trên 

Với a 0 , hàm số nghịch biến trên 

Đồ thị

- Đồ thị của hàm số y ax b  a 0 là một đường thẳng gọi là đường thẳng y ax b 

Nó có hệ số góc bằng a và có đặc điểm:

- Không song song và không trùng với các trục tọa độ;

- Cắt trục hoành tại điểm A a b;0

  và cắt trục tung tại điểm B0;b

Quan hệ giữa 2 đường thẳng

Cho hai đường thẳng  d :y ax b d  ;  :y a x b    , ta có:

+  d song song với  d  a a  và b b ;

+  d trùng với  d  a a  và b b ;

+  d vuông góc với  d  a a.  1;

+  d cắt  d  a a .

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Cho hàm số y2m1x5 (m là tham số)

a) Xác định các giá trị của m để hàm số trên là hàm số bậc nhất

b) Tìm các giá trị của m để hàm số trên là hàm số đồng biến

a) Hàm số y2m1x5 là hàm số bậc nhất  2m  1 0 m21

b) Hàm số y2m1x5 là hàm số đồng biến  2m  1 0 m21

Nhận xét:

Để nhận dạng hàm số bậc nhất chúng ta cần lưu ý rằng: Công thức có dạng y ax b 

a 0 Chẳng hạn, hàm số y2x 1 x2 có hệ số 2 0 nhưng không phải là hàm bậc nhất vì nó không có dạng y ax b 

Ví dụ 2: Cho hai hàm số y3m1x2và ym1x 7 (với m là tham số)

Tìm giá trị của m để hai hàm số trên là hàm bậc nhất và đồ thị của chúng là hai đường thẳng cắt nhau

Giải

Các hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi:

1

3 1 0

3



 



 

Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi:

3m 1 m 1  2m  2 m 1

Vậy các giá trị của m thoả mãn đồng thời các điều kiện m13;m1 và m 1 là giá trị

cần tìm

Nhận xét :

+ Với m 13, hai hàm số đã cho trở thành y 2 và y43x 7 Khi đó y 2 không phải

là hàm số bậc nhất nhưng đồ thị của nó cũng là một đường thẳng và nó song song

với trục hoành, còn hàm số bậc nhất y43x 7 có đồ thị là đường thẳng cắt trục

hoành Từ đó ta có đồ thị của hai hàm số y 2 và y43x 7 cắt nhau

+ Tương tự với m 1, hai hàm số đã cho trở thành :y 4x 2 và y 7 Lập luận tương tự ta cũng có đồ thị của hai hàm số này cắt nhau

+ Các đường thẳng y 2 và y 7 học ở chương III

Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng y 1 3m x 4  d và yn 3x n  d

a)Tìm m và n để  d trùng  d

b)Tìm m và n để  d song song  d

Giải

a)  d trùng  d khi và chỉ khi 1 3n 4m n  3 m n 40

b) d song song  d khi và chỉ khi 1 3n 4m n  3 n n 4 34 m

Nhận xét :

Đối với bài toán trên, chúng ta cần xác định rõ yêu cầu của đề là tìm điều kiện để 2 đường trùng nhau hoặc song song chứ không yêu cầu chúng phải là hàm bậc nhất

Vì vậy, nếu đặt điều kiện 1 3  m 0 hoặc n  3 0 thì lời giải sẽ không đúng

Ví dụ 4 Cho ba hàm số : y x 2 có đồ thị là d1

yx 2 có đồ thị là d2

y2x2 có đồ thị là d3

a) Vẽ đồ thị của ba hàm số đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ

b)Cho biết d1 cắt d2 tại A, d1cắt d3 tại B, d2 cắt d3 tại C Tính diện tích tam giác ABC

Giải

a) Xem hình 1

b)Từ câu a, ta có: A  2;0 , B 0; 2 ,C 4; 6     

2

d có phương trình yx 2

Cho x 0 thì y 2 do đó d2 cắt Oy tại M0; 2 

Gọi H là hình chiếu của điểm C lên Oy thì H0; 6  Ta có :

ABC ABM MBC

Nhận xét :

Với phần b) chúng ta có thể giải theo một số cách khác Chẳng hạn:

Cách 2: Ta kiểm tra thấy d1 d 2  ABAC Lại có:

(K là hình chiếu vuông góc của C lên trục hoành) Khi đó S ABC 12AB.AC 12

Cách 3: Gọi E là giao của BC và trục hoành Tìm được E1;0 Khi đó:

E

E E=12

ABC ABE A C

Ví dụ 5

a)Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A 4;1  và song song với đường thẳng y2x5

b)Xác định hàm số y ax b  biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm B   1; 2 và cắt trục

Oy tại điểm có tung độ bằng 3

Giải

a)Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y2x5 có dạng :

2

y x b b 5  d

Vì  d đi qua điểm A 4;1  nên 2 4   b 1 b7 (thoã mãn điều kiện b 5)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y2x 7

b)Vì đồ thị của hàm số y ax b  luôn đi qua điểm B   1; 2 nên ta có : a b 2 (1)

Vì đồ thị của hàm số y ax b  cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng  3 nên ta có :

3

b  (2)

Từ (1) và (2) suy ra : a1;b 3 y x 3

Nhận xét :

Ngoài cách giải như trên, chúng ta có cũng thể viết phương trình đường thẳng bằng cách đi tìm 2 yếu tố, đó là: Một điểm M x y 0 ; 0 thuộc đường thẳng và hệ số góc k của

nó Khi đó phương trình của đường thẳng là: y k x x   0y0

Áp dụng vào phần a, đường thẳng đi qua điểm C  4;1 và song song với đường thẳng y2x5 nên từ đó suy ra đường thẳng cần tìm có hệ số góc k 2 đồng thời

đi qua C  4;1

Như vậy ta có: Phương trình cần tìm là: y2x4 1 y2x 7

Với phần c, ta cũng có thể giải bằng cách đi tìm 2 điểm trên đường thẳng Sau đó làm tương tự phần a

Ví dụ 6 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  d :yk1x n k  1 và hai điểm

0; 2

A và B  1;0 (với k,n là các tham số)

1 Tìm các giá trị của k và n để :

a) Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B

b)Đường thẳng d song song với đường thẳng :y x  2 k

2.Cho n 2 Tìm k để đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB

Giải 1.

a)Đường thẳng  d đi qua điểm A0; 2  n2

Đường thẳng d đi qua điểm B  1;0

0 k 1 2 k 3

     

Vậy với k 3;n2 thì  d đi qua hai điểm A và

B

b)Đường thẳng  d song song với đường

thẳng   :y x  2 k



Vậy với k 2 và n 0 thì đường thẳng  d song song với đường thẳng  

2.Với n 2, đường thẳng  d :yk1x2 cắt Ox k-1 0  k 1 (thỏa mãn)

Giao điểm của  d với Ox là C12k;0



  , Các OAB và OAC vuông tại O nên S OAC 12OA OC S. ; OAB 12OA OB.

Ta có S OAC 2S OAB  OC2OB

2 2

0

1

2 1

k k

k k

k









 



(thoả mãn)

Vậy với k 0 hoặc k 2 thì S OAC 2S OAB

Nhận xét :

Với phần 1b, chúng ta thường hay bỏ qua bước kiểm tra hằng số tự do của hai đường thẳng khác nhau Nhắc lại, hai đường thẳng y ax b  và y a x b    song song với nhau khi và chỉ khi a a và b b

Với phần 2, nếu quá lệ thuộc vào hình vẽ học sinh có thể thiếu mất một trường hợp

Ví dụ 7 Cho đường thẳng d là đồ thị của hàm số bậc nhất: y mx m  1 (m là tham số)

a)Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi

b)Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d bằng 2 c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d lớn nhất

Giải

a)Đường thẳng d luôn đi qua điểm M x y 0 ; 0 cố

định khi và chỉ khi y0 mx0  m 1 với mọi m

     đúng với mọi m

Vậy đường thăng d luôn đi qua điểm cố định

1;1

b)Điều kiện để y mx m  1 là hàm số bậc nhất là

0

m 

Gọi A là giao điểm của d và trục Oy:

Với x 0 ym 1 A0;m1 OA m 1 m1

Gọi B là giao điểm của d và trục Ox:

Với y 0 xm m 1 Bm m1;0 OBm m1

Do điểm O cách đường thẳng d một đoạn bằng 2 nên đường thẳng d không đi qua

O  0m1 hay m 1

Kẻ OH d Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

2

OH

Mà theo giả thiết có OH  2

2

2 2

2 1

1

m

c)Vì OH OM (OM không đổi do O và M cố định)

Dấu " "  xảy ra khi M  H  d OM

Gọi y ax b  là đường thẳng đi qua hai điểm O, M suy ra 0 b và 1 a b 

Từ đó ta có a1;b0 Như vậy ta được y x là đường thẳng đi qua hai điểm O và

M, đường thẳng này có hệ số góc k 1 1

Mà d y mx m  1 nên hệ số góc của đường thẳng d là k2 m

Do d vuông góc với OM suy ra k k1 2   1 1.m  1 m 1 (thoả mãn)

Nhận xét :

Với phần a, chúng ta có thể tóm tắt y tưởng giải như sau:

Bài toán: Tìm điểm cố định của đường thẳng có phương trình: y ax b  (trong đó a,b là các biểu thức phụ thuộc vào tham số m)

Cách giải:

Bước 1: Gọi điểm cố định cần tìm là M x y 0 ; 0  y0 ax0 b (1) đúng với mọi m

Bước 2: Biến đổi (1) về phương trình ẩn m:

Bước 3: Sử dụng tính chất:

Phương trình ẩn m là: P m Q.  0 đúng với mọi m  Q P00





Từ đó tìm được x y;  là toạ độ của điểm cố định

Với phần c, ngoài cách giải đã trình bày ta cũng có thể giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cụ thể như sau:

 2   2   2

2

OH

Đẳng thức xảy ra khi m 1 hay m 1

Ví dụ 8.Trong hệ trục toạ đọ Oxy, cho hàm số y3xm(1) Cho điểm A có hoành độ bằng 1 thuộc đồ thị của hàm số (1) Xác định m để điểm A nằm trong góc vuông thứ IV

Giải

Do điểm A thuộc đồ thị của hàm số (1) và có hoành độ bằng 1 nên với

Điểm A nằm trong góc vuông thứ IV của hệ trục toạ độ Oxy

3

Vậy m  3 thoã mãn yêu cầu của đề bài

Nhận xét:

Hai trục toạ độ chia mặt phẳng thành 4 phần: Góc phần tư thứ I,II,III,IV

 Điểm A x y ;  nằm trong góc phần tư thứ I khi và chỉ khi x y00





 Điểm A x y ;  nằm trong góc phần tư thứ II khi và chỉ khi x y00





 Điểm A x y ;  nằm trong góc phần tư thứ III khi và chỉ khi x y00





 Điểm A x y ;  nằm trong góc phần tư thứ IV khi và chỉ khi x y00





Ví dụ 9 Cho hàm số y3m2  1x m 2  4

Chứng minh khi m thay đổi thì đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định

Giải

Gọi điểm M (x;y) là một điểm của đồ thị, khi đó:

M cố định khi và chỉ khi  2  2

y m  x m  đúng với mọi m

3x 1m2 x y 4 0

      đúng với mọi m

1

3

x x

x y

y







 

  



Vậy M  13; 133 

  là điểm cố định cần tìm

Nhân xét:

Cách giải trên dựa vào tính chất:

Phương trình ax2bx c  0 nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi a=b=c=0

Ví dụ 10 Cho ba điểm A0; 2 , B3; 1 ,  C2; 4 Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng

Giải

Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm A và B Phương trình của d có dạng là

y ax b  (1)

Do toạ độ của A, B thoả mãn (1) nên ta có hệ: 21b 3a b b a12

: y 2

Lại có:ĐiểmC2; 4 thoả mãn phương trìnhd: y  x 2 C d Từ đó suy ra A, B, C thẳng hàng

III Bài tập vận dụng

8.1 Cho 2 đường thẳng d y: m 2x3m2 và d y: m x2 1m0

a) Tìm m để d d .

b) Tìm m để d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B sao cho BAO   60

Hướng dẫn giải – đáp số

a)

2

2

2

3 1

m

m









b) A m32;0 ; B0;3  OAm3 2 ;OB3.

Do BAO   60 nên tanBAO OB OA 3 m 2  3 m 2 3.

8.2 Cho đường thẳng d có phương trình y2m1x 2 ( với m  12), d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B Tìm m sao cho:

a) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d bằng 2;

b) Diện tích tam giác AOB bằng 12

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Hàm số y2m1x 2 có đồ thị là đường thẳng d, điều kiện: m  12

Do d cắt trục Ox tại điểm A nên với:

Do d cắt trục Oy tại điểm B nên với x 0 y 2 B0; 2  OB2.

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O lên AB suy ra OH là khoảng cách từ gốc O tới đường thẳng d

Suy ra OH  2 Mặt khác, do tam giác OAB vuông tại O và OH là đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông nên ta có:

2 1

m



2 4m 4m 2 m m 0 m 0

hoặc m 1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy m 0 hoặc m 1

b) Theo a, ta có A2m2 1;0 ; B0; 2  OA2m2 1;OB2

2 1 4

OAB

m

m m

 



 

8.3 Xác định phương trình đường thẳng d biết rằng nó song song với đường thẳng

d có phương trình yx1 và dđi qua điểm M2;1

Hướng dẫn giải – đáp số

Do đường thẳng d song song với đường thẳng d và đường thẳng d có hệ số góc bằng -1 nên ta có đường thẳng d cũng có hệ số góc là -1

Từ đó suy ra đường thẳng dcó phương trình dạng: yx c Do điểm M2;1 thuộc đường thẳng d nên ta có: 1  2 c c3 Vậy đường thẳng d có phương trình là

3

yx

1

2

d y x d y x d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B; d2 cắt

Ox tại C, cắt Oy tại D; d1 và d2 cắt nhau tại M

a) Chứng minh tam giác MAC vuông tại M

b) Tính diện tích tam giác MAC

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Hệ số góc của hai đường lần lượt là 2; 12

Mà tích của chúng là 2. 121

  nên ta có

1 2

d d

Từ đó ta có tam giác MAC vuông tại M

b) Tìm được M  6 85 5; 

  Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên trục

hoành

Từ đó có MH 85;AC 4 S MAC 12MH AC. 165 .

8.5 Cho ba đường thẳng:

a) Tìm giá trị của m để d3 d2 ;

b) Tính các giá trị của m để ba đường thẳng trên cắt nhau tại một điểm

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Đường thẳng  2 

d y m  x m và đường thẳng d2 :y 2x 1 song song khi và chỉ khi

1 1

1

m

m m

m

  

          





Vậy m 1 thỏa mãn yêu cầu của đề bài

b) Tìm được A1;3 là giao điểm của d1 và d2

Khi đó 3 đường d d1 , 2 và d3 đồng quy khi và chỉ khi:

A d  m m  m m   m hoặc m 2

8.6 Cho hàm số ym2x m 1.

a) Tìm điều kiện của m để hàm số nghịch biến trên tập số thực

b) Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

c) Tìm m để đồ thị của các hàm số yx2,y2x1 và ym 2x m 1 đồng quy d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 2

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Hàm số ym2x m 1 nghịch biến  m 2 0 m 2

b) Đồ thị của hàm số ym2x m 1 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 tức là điểm A3;0 thuộc đồ thị của hàm số: ym2x m 1

4

c) Tìm được điểm M1;1 là giao điểm của hai đường thẳng yx2 và y2x1 Khi đó:

Đồ thị của các hàm số yx2,y2x 1,ym 2x m 1 đồng quy

 Điểm M1;1 thuộc đồ thị của hàm số: ym 2x m 1

1 m 2 m 1 m 2

      

d) Giả sử hàm số ym2x m 1 có đồ thị là đường thẳng d, điều kiện: m 2

Giả sử d cắt trục Ox tại điểm A, khi đó với:

1

m



Giả sử d cắt trục Oy tại điểm B

Khi đó với x 0 y m  1 B0;m1 OBm1

Mà tam giác OAB vuông tại O nên ta có:

1 1

OAB

m

m





2 2

1

2 9 0

m



  



hoặc m 7 ( thỏa mãn) Vậy m 1 hoặc m 7

8.7 Cho hàm số ym5x2m10

a) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m b) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số lớn nhất

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Gọi M x y 0 ; 0là một điểm thuộc đồ thị của hàm số ym5x2m10.

Điểm M cố định  y0 m 5x0  2m 10 đúng với mọi m

 m x 0  2  5x0  y0  10  0 đúng với mọi m

0 0

Như vậy ta có điểm cố định cần tìm là M   2; 20

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d:

Khi đó độ dài đoạn thẳng OH là khoảng cách từ O tới đường thẳng d Ta có:

OH OM (với OM không đổi do O và M cố định)

Dấu " "  xảy ra khi H M  d OM

Gọi y ax b  là đường thẳng đi qua hai điểm O, M suy ra 0 b và  20 2a b Từ đó

ta có a10;b0 Như vậy ta được y10x là đường thẳng đi qua hai điểm O và M, đường thẳng này có hệ số góc k 1 10

Mà d: ym5x2m10 nên hệ số góc của đường thẳng d là k2  m 5

Do d vuông góc với OM

Suy ra 1 2  

51

10

k k   m   m   m (thỏa mãn)

Vậy m  1051

8.8 Cho hàm số ym 2x m 3

a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến

b) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

c) Tìm m để các đồ thị của các hàm số y x2;y2x1 và ym 2x m 3 đồng quy

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Hàm số ym 2x m 3 nghịch biến khi và chỉ khi m 2 0   m 2

b) Đồ thị của hàm số ym 2x m 3 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 tức là điểm A3;0 thuộc đồ thị của hàm số: ym 2x m 3

4

c) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng yx2;y2x1 là C1;1 Ba đường thẳng

2; 2 1

yx y x và ym 2x m 3 đồng qui khi và chỉ khi đường thẳng

y m x m  đi qua điểm C1;1

1 m 2 m 3 m 0

      

8.9 Cho hàm số ym1x m 3

a) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y2x1 b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm 1; 4 