chuyen de ham so mu logarit phan 4

[r]

PHA ̀N 4: HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

HÀM SỐ LŨY THỪA

A Tóm tắt lý thuyết:

I Hàm số mũ: 𝑦 = 𝑎𝑥 (0 < 𝑎 ≠ 1)

 Tâ ̣p xác đi ̣nh: 𝐷 = ℝ

 Hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥 liên tục trên ℝ (∀𝑥𝑜 ∈ ℝ; lim𝑥→𝑥𝑜𝑎𝑥 = 𝑎𝑥𝑜)

 Tâ ̣p giá tri ̣: (0; +∞)

 Đa ̣o hàm:

𝑎𝑥 ′ = 𝑎𝑥 ln 𝑎 ; 𝑒𝑥 ′ = 𝑒𝑥 (lim

𝑥→0

𝑒𝑥− 1

𝑥 = 1) Nếu 𝑢 = 𝑢 𝑥 : 𝑎𝑢 ′ = 𝑢′ 𝑎𝑢 ln 𝑎 ; 𝑒𝑢 ′ = 𝑢 𝑒𝑢

 Chiều biến thiên:

𝑎 > 1: 𝑦′ = 𝑎𝑥 ln 𝑎 > 0, ∀𝑥 (vì 𝑎𝑥 > 0, ∀𝑥 và ln 𝑎 > 0) ⇒ 𝑦′ đồng biến trên ℝ

0 < 𝑎 < 1: 𝑦′ = 𝑎𝑥 ln 𝑎 < 0, ∀𝑥 (vì 𝑎𝑥 > 0, ∀𝑥 và ln 𝑎 < 0) ⇒ 𝑦′ nghịch biến trên ℝ

 Giới ha ̣n:

𝑎 > 1: lim𝑥→−∞𝑎𝑥 = 0; lim𝑥→+∞𝑎𝑥 = +∞ đồ thị của hàm số có tiê ̣m câ ̣n ngang là tru ̣c hoành

0 < 𝑎 < 1: lim𝑥→−∞𝑎𝑥 = +∞; lim𝑥→+∞𝑎𝑥 = 0 đồ thị của hàm số có tiê ̣m câ ̣n ngang là tru ̣c hoành

 Đồ thị:

đồ thi ̣ hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥 luôn cắt trục tung ta ̣i điểm (0; 1) nằm trên tru ̣c 𝑂𝑥 (𝑎𝑥 > 0, ∀𝑥) và tiệm cận với tru ̣c 𝑂𝑥

đồ thi ̣ hàm số 𝑦 = 1

𝑎

𝑥

đối xứng với đồ thi ̣ 𝑦 = 𝑎𝑥 qua trục 𝑂𝑦

II Hàm số logarit: 𝑦 = log𝑎𝑥 (0 < 𝑎 ≠ 1)

 Tâ ̣p xác đi ̣nh: 𝐷 = (0; +∞)

 Hàm số 𝑦 = log𝑎𝑥 liên tục trên 0; +∞ (∀𝑥𝑜 ∈ 0; +∞ : lim𝑥→𝑥𝑜 log𝑎𝑥 = log𝑎𝑥𝑜)

 Tâ ̣p giá tri ̣: ℝ

 Đa ̣o hàm:

log𝑎𝑥 ′ = 1

𝑥 ln 𝑎; ln 𝑥

′ = 1

𝑥 (lim𝑥→0

ln 𝑥 + 1

𝑥 = 1; ∀𝑥 ∈ 0; +∞ ) Nếu 𝑢 = 𝑢 𝑥 > 0: log𝑎𝑢 ′ = 𝑢′

𝑢.ln 𝑎; ln 𝑢 ′ =𝑢′

𝑢 Nếu 𝑢 = 𝑢 𝑥 ≠ 0: ln 𝑢 ′ = 𝑢′

𝑢 ; log𝑎 𝑢 ′ = 𝑢′

𝑢.ln 𝑎

 Chiều biến thiên:

𝑎 > 1: 𝑦′ = 1

𝑥.ln 𝑎 > 0, ∀𝑥 ∈ 0; +∞ ⇒ 𝑦′ đồng biến trên 0; +∞

0 < 𝑎 < 1: 𝑦′ = 1

𝑥.ln 𝑎 < 0, ∀𝑥 ∈ 0; +∞ ⇒ 𝑦′ nghịch biến trên 0; +∞

 Giới ha ̣n:

𝑎 > 1: lim𝑥→0+ log𝑎𝑥 = −∞; lim𝑥→0− log𝑎𝑥 = +∞

0 < 𝑎 < 1: lim𝑥→0+ log𝑎𝑥 = +∞; lim𝑥→0− log𝑎𝑥 = −∞

 Đồ thị:

đồ thi ̣ hàm số 𝑦 = log𝑎𝑥 nhận tru ̣c tung tiê ̣m câ ̣n đứng

đồ thi ̣ hàm số 𝑦 = log𝑎𝑥 luôn cắt trục hoành ta ̣i 1; 0 , và nằm hoàn toàn bên phải trục tung

III Hàm số lũy thừa: 𝑦 = 𝑎𝛼 (𝛼 là hằng số thực tùy ý)

 Tâ ̣p xác đi ̣nh: 𝐷 = ℝ+∗

Trừ các trường hợp sau:

 Hàm số 𝑦 = 𝑥𝑛 (𝑛 ∈ ℕ∗) xác định ∀𝑥 ∈ ℝ

 Hàm số 𝑦 = 𝑥𝑛 (𝑛 ∈ ℤ− ∨ 𝑛 = 0) xác định ∀𝑥 ≠ 0

 Hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó

Chú ý: 𝑥𝑛

= 𝑥

1

𝑛 nếu 𝑥 > 0 do đó hàm số 𝑦 = 𝑥

1

𝑛 không đồng nhất vớ i hàm số 𝑦 = 𝑥𝑛 (𝑛 ∈ ℕ∗) Ví dụ: 𝑦 = 𝑥3

xác định ∀𝑥 ∈ ℝ; 𝑦 = 𝑥13 xác định ∀𝑥 > 0

 Đa ̣o hàm:

hàm số lũy thừa 𝑦 = 𝑎𝛼 (𝛼 ∈ ℝ) có đạo hàm tại mọi điểm 𝑥 > 0 và 𝑥𝛼 ′ = 𝛼 𝑥𝛼 −1

nếu 𝑢 = 𝑢 𝑥 > 0: 𝑢𝛼 ′ = 𝛼 𝑢𝛼−1 𝑢′

 Chiều biến thiên và đồ thi ̣: 𝑦′ = 𝛼 𝑥𝛼 −1 (𝑥 ∈ (0; +∞))

𝛼 > 0 ⇒ 𝑦 đồng biến trên 0; +∞

𝛼 < 0 ⇒ 𝑦 nghịch biến trên 0; +∞

Do 1𝛼 = 1, nên đồ thị hàm số lũy thừa đều đi qua điểm (1; 1)

B Các loại bài tập:

1 Loại 1: HÀM SỐ MŨ

1) Khảo sát và vẽ đồ thị:

a 𝑦 = 3𝑥

b 𝑦 = 1

3 𝑥

c 𝑦 = −3 𝑥

d 𝑦 = 3 𝑥

e 𝑦 = 0,4𝑥

f 𝑦 = 2,5𝑥

g 𝑦 = −0,4 𝑥

h 𝑦 = 2,5 𝑥 2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 = 2𝑥 trên đoạn −1; 2

3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 = 2 𝑥 trên đoạn −1; 1

4) Chứ ng minh rằng hàm số 𝑦 =2𝑥−23−𝑥 đồng biến trên ℝ

5) Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a 𝑦 = 𝑥2− 2𝑥 + 2 𝑒𝑥

b 𝑦 = sin 𝑥 − cos 𝑥 𝑒2𝑥

c 𝑦 =𝑒𝑥−𝑒−𝑥

𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥

d 𝑦 = 2𝑥 − 𝑒𝑥

e 𝑦 = 2𝑥3𝑥4𝑥

f 𝑦 = 3𝑥

2 𝑥 4 𝑥

g 𝑦 = 5𝑥 2𝑥2

h 𝑦 =𝑥3+2𝑥

𝑒 𝑥

i 𝑦 =ln 3.sin 𝑥+cos 𝑥

3 𝑥

j 𝑦 =𝑒−𝑥 2

2𝑥

k 𝑦 = 𝑥2 2−

𝑥 2

𝑎 2

l 𝑦 = 𝑥 𝑒

𝑥 2

m 𝑦 = 2ln 𝑥𝑥

n 𝑦 = 3sin23𝑥

o 𝑦 = 10𝑥 tan 𝑥

p 𝑦 = 101−sin43𝑥

q 𝑦 = 𝑥 𝑒cos 𝑥+sin 𝑥

r 𝑦 = 𝑒𝑥3 cos2 𝑥

3

s 𝑦 = sin2 𝑒𝑥2+3𝑥−2

t 𝑦 = 𝑎 𝑒−𝑥𝑎 + 𝑥 𝑒−𝑥𝑎

u 𝑦 =𝑎

2 𝑒𝑥𝑎 + 𝑒−𝑎𝑥

6) Cho 𝑓 𝑥 = 4𝑥

4 𝑥 +2

a Cho 𝑎 + 𝑏 = 1 tính 𝑓 𝑎 + 𝑓(𝑏)

b Suy ra: 𝑆 = 𝑓 1

2007 + 𝑓 2

2007 + ⋯ + 𝑓 2006

2007

2 Loại 2: HÀM SỐ LOGARIT

1) Tìm tập xác định của các hàm số:

a 𝑦 = log3 𝑥2+ 2𝑥

b 𝑦 = log92 4 − 𝑥2

c 𝑦 = log 2 1

3−𝑥

d 𝑦 = 2

log 4 𝑥−3

e 𝑦 = log2 3

10−𝑥

f 𝑦 = log3 2 − 𝑥 2

g 𝑦 = log21−𝑥

1+𝑥

h 𝑦 = log3 𝑥 − 2

i 𝑦 = 2𝑥−3

log5𝑥−2

j 𝑦 = log1

2

𝑥

𝑥 2 −1

k 𝑦 = log1

2

−𝑥2+ 4𝑥 + 5

l 𝑦 = 1

log 2 𝑥−1

m 𝑦 = log(𝑥2+ 3𝑥 + 2)

n 𝑦 = log1

3

𝑥−1 𝑥+1

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

a 𝑦 = log2𝑥

b 𝑦 = log1

2

𝑥

c 𝑦 = log2𝑥

d 𝑦 = log2 𝑥 + 1

e 𝑦 = log4 𝑥

3) Chứ ng minh rằng hàm số: 𝑦 = log1

2

𝑥 − log1

2

(𝑥 + 1) đồng biến trên tập số thực dương

4) Tìm các đạo hàm:

a 𝑦 =ln 𝑥

𝑥 𝑛

b 𝑦 = ln sin 𝑥

ln cos 𝑥

c 𝑦 = 𝑥2−1

log 2 𝑥

d 𝑦 = ln 𝑒4𝑥

𝑒 4𝑥 +1

e 𝑦 = 𝑥2 log3𝑥

f 𝑦 = ln 𝑒𝑥cos 𝑥 + 𝑒−𝑥sin 𝑥

g 𝑦 = ln4 sin 2𝑥

h 𝑦 = 1 + ln sin 𝑥 2008

i 𝑦 = log2 ln 2𝑥

j 𝑦 = log2 log3 log5𝑥

k 𝑦 = ln tan 𝑥

2+𝜋

4

l 𝑦 = log2 sin 2𝜋𝑥 +𝜋

2

m 𝑦 = ln sin 1 + 𝑥2

n 𝑦 = sin2 ln 𝑎3 + 𝑥3

o 𝑦 = ln 1+𝑥2

1−𝑥 2

p 𝑦 = ln 𝑥+ 1−𝑥2

𝑥

q 𝑦 = sin2 1−ln 𝑥

𝑥

r 𝑦 = ln tan 𝑥 − 1

2 sin 2 𝑥

s 𝑦 = ln 𝑥2+𝑎2+𝑥

𝑥 2 +𝑎 2 −𝑥

t 𝑦 = 1

2 6ln 𝑥 3− 2

𝑥 3+ 2

u 𝑦 = ln 1

𝑥+ 𝑥 2 −1

v 𝑦 = ln 𝑥 + 𝑥2− 1 − 𝑥𝑥2

−1

w 𝑦 = ln 1+𝑒𝑥−1

1+𝑒 𝑥 +1

x 𝑦 = 𝑥2 + 1 − ln 1

𝑥+ 1 + 1

𝑥 2

y 𝑦 = ln sin 2𝑥

1−sin 2𝑥

z 𝑦 =𝑥

2 𝑥2+ 𝑎 +𝑎

2ln 𝑥 + 𝑥2+ 𝑎

3 Loại 3: HÀM SỐ LŨY THỪA

1) Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:

a 𝑦 = 𝑥3

b 𝑦 = 𝑥4

c 𝑦 = 𝑥

d 𝑦 = 𝑥3

e 𝑦 = 𝑥−4

f 𝑦 = 𝑥𝜋2

2) Tìm tập xác định các hàm số:

a 𝑦 = 3 𝑥 − 1 −3

b 𝑦 = 𝑥2− 4𝑥 + 3 −2

c 𝑦 = 𝑥3− 3𝑥2+ 2𝑥 14

d 𝑦 = 𝑥4 2− 3𝑥 − 4

e 𝑦 = 𝑥3− 8 𝜋3

f 𝑦 = 𝑥2+ 𝑥 − 6 −13

3) Tính đạo hàm các hàm số sau:

a 𝑦 = 3𝑥 + 1 𝑒

b 𝑦 = 𝑥3

c 𝑦 = ln3 22𝑥

d 𝑦 = cos 𝑥3

𝑥 2 −4𝑥+3 2

f 𝑦 = 𝑥3− 8 𝜋3

g 𝑦 = 1

𝑥 2 +𝑥−6 3

h 𝑦 = 𝑥4 3− 3𝑥2+ 2𝑥

i 𝑦 = 𝑥+1 3 𝑥−2

4

𝑥−3 2 5

j 𝑦 = 1 + ln 3𝑥 3

k 𝑦 = 1 + ln3 3𝑥

l 𝑦 = ln sin 1−𝑥

4

3

m 𝑦 = 4𝑥5+2

9

3𝑥 4

n 𝑦 = 1

𝑥+ 𝑥 3

o 𝑦 = 1+𝑥3

1−𝑥 3 3

p 𝑦 = sin3 2𝑥+ 1

cos 3 𝑥

q 𝑦 = 𝑥5 𝑥3 6 − 8

r 𝑦 = 2𝑥4 − 3𝑥 3 𝑒3𝑥

s 𝑦 =tan 𝑥

𝑥 2 3

t 𝑦 =ln 𝑥

𝑥 𝑛

u 𝑦 = 1 + sin4 23𝑥 3

4) Cho 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥3 2+16

𝑥 2 Tính 𝐴 = 12 𝑓′ −8 − 𝑓(8)