GIAO AN DAI SO 9 CA NAM

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm - Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu[r]

CHƯƠNG 1 CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA

BÀI 1 CĂN BẬC HAI

Với A 0 , số Acó hai căn bậc hai là √A và −√A

Chú ý:Số 0 có duy nhất một căn bậc hai là 0

?3Tìm các căn bậc hai của các số sau:

BÀI 3 SO SÁNH HAI CĂN BẬC HAI

I So sánh hai căn bậc hai:

Với mọi A, ta có: √A2

= |A|

Định lí:

Với a>0 và b>0 và a>b thì √a>√b

II Phân tích biểu thức dưới căn thành nhân tử:

Các bước phân tích như sau:

1 Xuất phát từ hạng tử có căn

2 Chia hạng tử đó cho 2

3 Lập ra tất cả các tích có được từ hạng tử sau khi chia 2

4 Chọn ra cặp a, b sao cho ab bằng hạng tử chứa căn chia 2 và

BÀI 4 BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

I Đưa thừa số ra ngoài căn:

IV Rút gọn biểu thức chứa căn bâc hai:

Rút gọn biểu thức chứa căn bâc hai là biến đổi biểu thức về dạng đơn giản nhất bằng các phương pháp đã học

Chú ý: Kết quả cuối cùng phải thỏa mãn tất cả các điều kiện sau:a) Kết quả phải tồn tại ( có điều kiện xác định nếu có ẩn ở mẫu).b) Mẫu thức không còn căn bậc hai

c) Phân thức phải ở dạng tối giản

b) Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông

có diện tích lớn nhất

c) Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.

d) Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y

√b (với đk n dương thì a, b phải dương và b khác 0)

( √a)n k=√n a k (với đk n dương thì a, k phải dương)

Bước 1: ∀ x1, x2∈ R sao cho x1≠ x2

Bước 2: tính T= f (x1 )− f (x1)

x1− x2

Bước 3: nếu T>0 thì hàm số đồng biến và ngược lại

Hàm số y=− 2 x −1 đi qua (0; -1) và (−12 ;0)

(d1) song song (d2) khi và chỉ khi a1=a2

(d1) vuông góc (d2) khi và chỉ khi a1a2=− 1

2 Tọa độ điểm tương giao của hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng (d1): y=a1x +b1 và đường thẳng

(d2): y=a2x +b2 với điều kiện a1

a2 ≠

b1b2 ≠

c1c2 chúng sẽ cắt nhau tại một điểm M(x; y) trong đó x, y là nghiệm chung của hai phương trình:

Cho hai đường thẳng (d1): y=a1x +b1 và đường thẳng

(d2): y=a2x +b2 với điều kiện a1

a2 ≠

b1b2 ≠

c1c2 chúng sẽ cắt nhau tại một điểm M (b2−b1

a1− a2;

2 a1b2− a1b1−a2b2

a1−a2 )

3 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm:

Để viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(a1;b1) và

B(a2; b2) ta lần lượt thế tọa độ của A và B vào phương trình

y=ax +b rồi giải hệ hai phương trình trên

Thế A(a1;b1) vào phương trình y=ax +b ta được b1=aa1+b Thế B(a2; b2) vào phương trình y=ax +b ta được b2= aa2+b

Thế b=b1−aa1 vào (2) ta được b2=a a2+b1− aa1 Từ đó tính được a

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

BÀI 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Phương trình dạng ax+by=c trong đó a2 +b 2≠ 0 gọi là phương trình bậc nhất hai ẩn x, y

Phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm Nghiệm của nó là cặp giá trị (x, y) thõa mãn phương trình.

Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 x + y =3

Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có tập nghiệm S = {(x; y); …}Tập nghiệm của phương trình ax+by=c là đường thẳng

2 Biện luận hệ phương trình:

Định thức là một thông số gồm hai cột, hai dòng có công thức

D=|a c b d|=ad − bc

Trong hệ phương trình

¿

a1x+ b1y =c1a2 x+ b2 y=c2

Nghiệm của hệ phương trình là

Hệ phương trình vô nghiệm ⇔ D=0 ; D x ≠0 ; D y ≠ 0

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ D ≠ 0

Hệ phương trình vô nghiệm ⇔ D=D x=D y=0

Ví dụ: Biện luận hệ phương trình:

D=

(m− 5) (m+2 ) (m+2) (m −2)=

m− 5

m −2 y= D y

D =

(2m −1) (m+2 ) (m +2) (m − 2) =

2 m−1 m− 2

¿ {

Nếu m=2 thì D=0 nên hệ phương trình vô nghiệm

Nếu m=−2 thì D=D x=D y= 0 nên hệ phương trình vô số nghiệm

Chú ý: phải phân tích D, Dx, Dy thành nhân tử!

BÀI 3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ VÀ PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Vậy tập nghiệm của phương trình là S={(3; 2 )}

Chú ý: Để dễ dàng cho việc biến đổi ta biểu diễn biến có trị tuyệt đối của hệ số nhỏ nhất theo biến còn lại

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số

Nhận xét:

Với mọi hàm số y=ax2(a ≠ 0) có giao là góc tọa độ

Với x ∈ R , đồ thị hàm số y=ax2(a ≠ 0) là Parabol (P) đỉnh O, trục đối xứng Oy

BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Ví dụ: Giải phương trình 2 x2−1=0

Giải:

2 x2−1=0 ⇔ x2

= 1

2⇔ x=√2

nghiệm của phương trình là S={-1; -4}.

3 Công thức nghiệm tổng quát:

Trường hợp áp dụng những cách trên không được ta dùng công thức nghiệm tổng quát:

Phương trình bậc hai ax2+bx +c=0 (a ≠ 0) có Δ=b2− 4 ac

Nếu Δ>0 , phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

Nếu Δ<0 , phương trình vô nghiệm

4 Công thức nghiệm thu gọn:

Trường hợp hệ số b chẳn ta có công thức nghiệm thu gọn

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; -2}

Chú ý: Nếu hệ số a và hệ số c trái dấu nhau thì phương trình bậc hai luôn có nghiệm

5 Sự tương giao của đường thẳng và Parapol:

Cho đường thẳng (d ) : y=ax +b và Parabol (P): y=cx2

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:



Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (*) có liên quan

chặt chẽ với các hệ số a, b, c Đây chính là nội dung của Định lí

VI-ÉT, sau đây ta tìm hiểu một số ứng dụng của định lí này trong giải toán

I NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :



b) Nếu cho x =  1 thì ta có (*)  a.( 1)2 + b( 1) + c = 0  a  b + c

= 0

Như vậy nếu a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x 1 1

và nghiệm còn lại là 2

c x a

c) Cho phương trình : x2 7x q 0, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11

Tìm q và hai nghiệm của phương trình.

d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 qx 50 0  , biếtphương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệmkia

x x

x x

c)Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1  x2  11

và theo VI-ÉT ta có x1 x2  7, ta giải hệ sau:

II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x x1 ; 2

Ví dụ : Cho x 1 3; x 2 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

Theo hệ thức VI-ÉT ta có

1 2

1 2

5 6

(Đáp số : y2 727y  1 0)

3/ Cho phương trình bậc hai: x2  2x m 2  0 có các nghiệm x x1 ; 2 Hãylập phương trình bậc hai có các nghiệm y y1 ; 2 sao cho :

a) y1  x1 3 và y2 x2  3 b) y1  2x1  1 và y2  2x2  1

(Đáp số a) y2 4y 3 m2 0 b) y2 2y (4m2 3) 0

III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :

Vậy nếu a = 5 thì b =  6 ; nếu a = 6 thì b =  5

*) Nếu a b  11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :

1 2

Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5

IV TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S

và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểuthức

1 Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1 x2) và x x1 2

2 Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

a) Cho phương trình : x2  8x 15 0  Không giải phương trình, hãytính

Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm

x1 và x2 (thường là a  0 và   0)

- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó

đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2

Ví dụ 1 : Cho phương trình : m1x2 2mx m  4 0 có 2 nghiệm x x1 ; 2 Lập hệ thức liên hệ giữa x x1 ; 2 sao cho chúng không phụ thuộc vào

m.

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

2

1 1

A x x  x x  không phụ thuộc giá trị của m.

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

1 1

m 

Do đó biểu thức A không phụ

thuộc vào m

Nhận xét:

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm

- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm,theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thứcchứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số

2 Cho phương trình : x24m1x2m 4 0.

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc

vào m.

Hướng dẫn: Dễ thấy   (4m 1)2 4.2(m 4) 16  m2 33 0  do đó phương

trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2

Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm

x x

m m

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệthức : 3x x1 2  5x1 x2  7 0

+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 x2

và tích nghiệm x x1 2nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT

để tìm tham số m.

+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x x1 2rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày

m

x x

m m

VII XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG

TRÌNH BẬC HAI

Cho phương trình: ax2 bx c  0 (a  0) .Hãy tìm điều kiện để

phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng

âm.

Ta lập bảng xét dấu sau:

Dấu nghiệm x1 x2 S x1 x2 P x x 1 2  Điều kiện chung

trái dấu   P < 0   0   0 ; P < 0

2x  3m 1 x m  m 6 0  có 2 nghiệm trái dấu.

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì

2 2

2 2

Vậy với  2 m 3 thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu

Bài tập tham khảo:

1 mx2  2m2x3m 2 0 có 2 nghiệm cùng dấu

2 3mx22 2 m1x m 0 có 2 nghiệm âm

3.m1x22x m 0 có ít nhất một nghiệm không âm

VIII TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ

NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM

Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu

ta luôn phân tích được:

m 

Ví dụ 2: Cho phương trình : x2  mx m  1 0 

Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất

và giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau:

Vì  

2 2

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham

số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn

có nghiệm với mọi m.

2 2

2 1

2 2 1 0 2

B B

B B

x x thỏa mãn điều kiệnx12x22  10

3 Cho phương trình : x2 2(m 4)x m 2 8 0  xác định m để phương trình có 2 nghiệm x x1 ; 2thỏa mãn

a) A x 1 x2  3x x1 2 đạt giá trị lớn nhất

b) B x 12x22 x x1 2 đạt giá trị nhỏ nhất

4 Cho phương trình : x2 (m1)x m 2m 2 0 Với giá trị nào của m,biểu thức Cx12x22 dạt giá trị nhỏ nhất

5 Cho phương trình x2 (m1)x m 0 Xác định m để biểu thức

Phương trình ax2+bx +c=0 có hai nghiệm x1 và x2 thì có thể phân tích ax2+bx +c=a( x − x1 ) (x − x2 )

Phương trình ax 2

+bx +c=0 có:

 Hai nghiệm cùng dấu

⇔ Δ≥ 0 P>0

¿ {

 Hai nghiệm cùng dấu dương

⇔ Δ≥ 0 P>0 S>0

¿ { {

 Hai nghiệm cùng dấu âm

⇔ Δ≥ 0 P>0 S<0

¿ { {

 Hai nghiệm trái dấu

⇔ Δ≥ 0 P<0

¿ {

 Hai nghiệm nghịch đảo

⇔ Δ≥0 P=1

x −1 −

x −1 x+1=

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S=O

Phương trình phản thương loại 1 có dạng ax4+ bx3+cx2+dx +e=0

trong đó a=e và b=d

Vì x=0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia hai

vế của phương trình cho x2≠ 0 Ta được:

Giải phương trình bậc hai ẩn x để tìm x.

Phương trình phản thương loại 2 có dạng ax4+ bx3+ cx2+dx +e=0

trong đó a=e và b=−d

 Phương pháp giải tương tự phương trình phản thương loại 1.