- Moät soá tích phaân haøm höõu tyû, löôïng giaùc, voâ tyû vaø sieâu vieät - Moät soá öùng duïng cuûa tích phaân tính dieän tích vaø theå tích - Moät soá baøi toaùn khaùc.. YEÂU CAÀU[r]
Trang 1Chuyên đề 04:
tích phân và ứng dụng Tổng số tiết dạy:
Ngày dạy :
MUẽC TIEÂU
Hoùc sinh caàn naộm vửừng caực baứi toaựn :
- Caực phửụng phaựp tớnh tớch phaõn
- Moọt soỏ tớch phaõn haứm hửừu tyỷ, lửụùng giaực, voõ tyỷ vaứ sieõu vieọt
- Moọt soỏ ửựng duùng cuỷa tớch phaõn tớnh dieọn tớch vaứ theồ tớch
- Moọt soỏ baứi toaựn khaực
YEÂU CAÀU
- Naộm vửừng phửụng phaựp
- Bieỏt vaọn duùng vaứo baứi toaựn cuù theồ
- Tửù giaực, tớch cửùc trong reứn luyeọn
Tích phân - diện tích- thể tích
Một số kiến thức cần nắm vững:
1 Bảng nguyên hàm của các hàm số.
a cos (ax +b)+C ∫e x dx=e x
+C
∫x ndx=x
n +1
a sin(ax+b)+C ∫e(ax+b )dx=1
a e
(ax+b) +C
∫ 1
x2dx=−
1
1
dx tgx C
n +1
¿
¿
ax+b¿n dx=1
a.¿
¿
∫¿
∫1xdx=ln|x|+C
2
1
x
ln a+C
∫(ax +b)1 dx=1
aln|ax +b|+C ∫cos2(ax+b)1 dx=
1
a tg(ax+b)+C
∫sin x dx=− cos x+C
2
∫
∫cos x dx=sin x +C ax+b¿n
¿
ax+b¿n −1
¿
a(n− 1)¿
¿
1
¿
∫¿
2 Các phơng pháp tính tích phân:
a.Phương phỏp đổi biến số.
* Loại 1:
Trang 2 Dạng:
∫
,
dx
∫
đặt x = asint
Dạng:
dx
∫
đặt x = atgt,
2 2
dx
∫
đặt ax b c t tg .
* Loại 2:
( ( )) '( )
b
a
f u x u x dx
∫
Đặt t = u(x)
+ Nhiều khi phải biến đổi mới xuất hiện u’(x)dx
+ Ta cũng có thể biến đổi:
( ( )) '( ) ( ( )) ( ( ))
Những phép đổi biến phổ thông:
[ u(x) ] n t = u(x) cos xdx ( sin xdx
)
t=sin x (
căn thức t = BT trong dấu căn dx
1
x
dx
dx
dx
√x t=√x
dx
b) Phơng pháp tích phân từng phần:
Cụng thức tớch phõn từng phần :
u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b a
Tích phõn các hàm sụ́ dờ̃ phát hiợ̀n u và dv
@ Dạng 1
sin ( )
ax
ax
f x cosax dx e
∫
cos
∫
@ Dạng 2:
( ) ln( )
∫
Đặt
ln( ) ( )
( )
dx du
x
@ Dạng 3:
sin
∫e ax cosax ax dx
Đặt u = x, dv = cos2
dx
x hoặc dv = sin2
dx
x .
3 Một số tích phân thờng gặp:
Trang 3a) Tích phân hữu tỉ:
( ) ( )
∫
b
a
P x dx
Q x
P(x), Q(x) là các đa thức
+ Nếu bậc P(x) bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x)
+ Nếu bậc của P(x) < bậc Q(x) dùng phơng pháp đổi biến hoặc phơng pháp hệ số bất định tích phân hàm hữu tỷ dạng cơ bản
Dạng:
∫
Dạng:
2
Dạng: 2
dx
ax bx c
∫
- Nếu
Δ>0
- Nếu
Δ=0
:
2
dx
b
a x 2a
∫
- Nếu
Δ<0
: 2 2
dx
x
∫
Đặt x tgt
Ax B
∫ Phân tích:
ax bx c '
2
2
dx m.ln ax bx c n
∫
b) Tích phân chứa các hàm số lợng giác.
Dạng:
b
a
f sin x;cos x dx
∫
- Nếu f là hàm lẻ theo sinx: Đặt t = cosx.
- Nếu f là hàm lẻ theo cosx: Đặt t = sinx.
- Nếu f là hàm chẵn theo sinx và cosx: Đặt t=tgx.
Bài tập minh hoạ:
1
3
2
3
0
sin x
dx
cos x
∫
2
3 6
0
cos x
dx
4 sin x
∫
3
4
3 0
dx sin x.cos x
∫
Dạng:
b
a sin x.cos x.dx
∫
- Nếu m và n chẵn: Hạ bậc
- Nếu m lẻ: Đặt t=cosx
- Nếu n lẻ: Đặt t=sinx
Bài tập minh hoạ:
1
2
0
sin x.cos x.dx
∫
2
2
0 sin x.cos x.dx
∫
3
4 2
2 0
sin x dx cos x
∫
4
2
0
dx cos x.sin x
∫
Trang 4 Dạng:
b
a
R sin x;cos x dx
∫
trong đó R là hàm hữu tỉ theo sinx, cosx
Đặt
x
t tg
2
dx
1 t
2t sin x
1 t
;
2 2
1 t cos x
1 t
2t tgx
1 t
Cụ thể là hàm:
b
a
dx I
a sin x b cos x c
∫
Bài tập minh hoạ:
1
4
0
dx
I
sin x cos x 1
∫
2
2
0
1 sin x
sin x cos x 1
∫
2
0
dx I
cos x 2
∫
Dạng:
b
a
a sin x b cos x
csin x d cos x
∫
Phân tích: (Tử số)=A.(Mẫu số)+B.(Mẫu số)’
d csin x d cos x
Bài tập minh hoạ:
2
0
3sin x 2cos x
4sin x 3cos x
∫
Dạng:
b
a
a sin x b cos x c
a sin x b cos x c
∫
Phân tích: (Tử số)=A.(Mẫu số)+B.(Mẫu số) +C’
a sin x b cos x c a sin x b cos x c
d a sin x b cos x c
a sin x b cos x c
J là tích phân tính đợc
c Tích phõn hàm vụ tỷ
Dạng:
n
n
dx
ax b.dx;
ax b
1
n ax b ax b n
Dạng:
b 2
a
ax bx c.dx
∫
- Nếu a>0 : Tích phân có dạng
b
2 2
a
u a du
∫
đặt u=atgt
Hoặc chứng minh ngợc công thức:
2
∫
Nếu a<0 : Tích phân có dạng
b
a
a u du
∫
đặt u=asint
Dạng:
b
2 a
dx
ax bx c
∫
Trang 5- Nếu
Δ>0
- Nếu
Δ=0
:
2
b
2a
- Nếu
Δ<0
: Với a>o: 2 2
dx
x
∫
Đặt x tgt Hoặc chứng minh ngợc công thức:
du
∫
Với a<0: 2 2
dx x
∫
Đặt x sin t
Dạng
b
2 a
dx
a
x ax bx c
∫
Đặt x 1
t
BTMH: 1
1
2 0
dx
x 1 x x 1
∫
2
1
2 0
dx 2x 4 x 2x
∫
Dạng:
R ax b ; ax b dx
∫
1 s
t ax b
với s là BCNN của n và q.
1
2 3
0
dx 2x 1 2x 1
∫
1
4 0
dx
1 2x 1 2x
∫
a
b
R(x , f (x ))dx +) R(x, √a − x
a+x ) Đặt x = a cos2t, t [0; π
2] +) R(x, √a2− x2 ) Đặt x = |a|sin t hoặc x = |a|cos t
+) R(x, n
√ax+b cx+d ) Đặt t = n
√ax+b cx+d
+) R(x, f(x)) = 1
(ax +b)√αx2
+βx+γ Với ( αx2
Khi đó đặt t = √αx2
+βx+γ , hoặc đặt t = ax+b1 +) R(x, √a2+x2 ) Đặt x = |a|tgt , t [− π
2;
π
2] +) R(x, √x2−a2 ) Đặt x = cos x|a| , t
¿
[0; π ]{ π
2
¿
+) Rn 1 n 2 n i
x ; x ; ; x
Gọi k = BCNH(n1; n2; ; ni) Đặt x = tk
d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ:
Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] và:
+ y = f(x) chẵn thì 0
a
+ y = f(x) lẻ thì:
a
a
f x dx
∫
Trang 6
e) Tích phân dạng
( ) 1
x
f x dx a
∫
trong đó f(x) là hàm số chẵn
Cách giải: Tách thành 2 tích phân :
0
0
Xét tích phân
0 ( ) 1
x
f x dx a
∫
đổi biến số x = -t
Kết quả ta đợc 0
( )
( ) 1
x
f x
a
trong đó f(x) là hàm số liên tục trên [0; a]
Đổi biến x = a - t
Các ví dụ
Bài 1: Tính tích phân I=∫
0
1
x3
x2+1dx
ĐS I =1/2(1-ln2).
Bài 2: Tính tích phân
e x+1¿3
¿
¿
√¿
e x
¿
0
ln 3
¿
HD: đa về dạng
b
a
u du
∫
ĐS
I=√2− 1
Bài 3: Tính tích phân I=∫
−1
0
x (e 2 x+√31+ x)dx
HD Tách thành 2 tích phân.
ĐS I=3/4e -2 - 4/7
Bài 4: Tính tích phân I=∫
0
π
2 6
√1 − cos3x sin x cos5dx
HD: t =61 cos x 3 cos 3 x = 1- t 6
ĐS I =12/91
Bài 5: Tính tích phân I=∫
√ 5
2√3
1
x √x2+4dx HD: nhân cả tử và mẫu với x rồi đặt t=√x2+4
ĐS I=1/4.ln5/3
Bài 6: Tính tích phân I =∫
0
π
4
x
1+cos 2 xdx
HD:Đa về dạng tích phân từng phần.
ĐS I = /8-1/4.ln2
Bài 7: Tính tích phân I=∫
0
1
x3 ❑
√1 − x2dx
Trang 7Bài 8: Cho hàm số
x +1¿3
¿
¿
f (x)= a¿
Tìm a,b biết rằng f’(0) = -22 và ∫
0
1
f (x)dx=5
Bài 9: Tính tích phân I=∫
π
4
π
3 tgx
cos x ❑
√1+cos2x dx
HD: Biến đổi về dạng
3
4
tg tg
x
∫
Đặt
2
1 tg
Bài tập áp dụng
1) Tính tích phân I=∫
1
√ 3 1
x +x3dx 2) Tính tích phân I=∫
ln 3
ln 8
√e x
+1 e 2 xdx
3) Tính tích phân I =∫
0
π
2 (2 x − 1)cos2xdx
4) Tính tích phân I=∫
1
e3
ln2x
x√ln x +1dx
5) Tính tích phân I=∫
0
π
2 (e sin x+cos x )cos xdx
6) Tính tích phân I=∫
0
2
x4− x +1
x2+4 dx 7) Tính tích phân I=∫
0
7
x +2
3
√x +1dx
8) Tính tích phân I =∫
0
π
4 (tgx+e sin x cos x )dx
9) Tính tích phân I=∫
0
π
3 sin2x tgx dx
10) Tính tích phân I =∫
0
π
2
e cos x sin2 x dx
11) Tính tích phân I=∫
0
π
x sin x
1+cos2x dx
12) Tính tích phân I=∫
0
√ 3
x5+2 x3
13) Tính tích phân I=∫
1
e
x2ln x dx
14) Tính tích phân
1
0
4 3
Trang 815) Tính tích phân
4
0
sin 2 cos
1 cos
x
∫
16) Tính tích phân:
1 4 2 1
sin 1
I
x
∫
17) Tính tích phân
2 sin
2x 1
x
∫
18) Tính tích phân
2
1
2 2 1
19) Tính tích phân
1
1 1
x
x
e
∫
20) Tính tích phân
2 0
sin
4 cos
x
∫
4 Diện tích:
* Bài toán 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 hàm số y = f(x), y = g(x) trên đoạn [a; b] Trong đó phơng trình: f(x) - g(x) = 0 vô nghiệm trên [a; b]
( ) ( )
b
a
* Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 hàm số y = f(x), y = g(x) trên đoạn [a; b] Trong đó phơng trình: f(x) - g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x = x0 trên [a; b]
0
0
* Bài toán 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 hàm số y = f(x), y = g(x)
GPT: f(x) - g(x) = 0, đợc các nghiệm x = a, x = b
( ) ( )
b
a
TÍNH DIỆN TÍCH HèNH PHẲNG
Vớ dụ 1 : Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Vớ dụ 2 : Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Bài 1 : Cho (p) : y = x2+ 1 và đờng thẳng (d): y = mx + 2 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng trên có diện tích nhỏ nhẩt
Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x
và phía dới 0x bằng nhau
Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi
¿
x − x3
o ≤ x ≤ 1 y=0
¿y ={ {
¿
Có hai phần diện tích bằng nhau
Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần
Trang 9Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
¿
y= x
2 +2 ax +3 a2
1+a4
y = a
2
− ax
1+a4
¿{
¿
Tìm a để diện tích lớn
nhất
Bài 6: Tớnh diện tớch của cỏc hỡnh phẳng sau:
1) (H1):
2
2
x
4 x y
4 2
2) (H2) :
2
y x 3
3x 1 y
x 1
y 0
x 0
4) (H4):
2 2
y x
y x
y 2 x
2
x y 3 0
7) (H7):
ln x y
2 x
y 0
x e
x 1
8) (H8) :
2 2
y x
10) (H10):
2
x y 0
¿
(C): y=√x
(d ): y =2− x
(Ox)
¿{ {
¿
12)
¿
(C): y=e x
(d): y=2
(Δ): x =1
¿{ {
¿
13)
¿
y2=2 x+1
y=x − 1
¿{
¿
14)
¿
y=−√4 − x2
x2+3 y =0
¿{
¿
15)
¿
y=√x x+ y − 2=0 y=0
¿{ {
¿
16
¿
y = x2
2
1+x2
¿{
¿
17
¿
y2=2 x
y=x , y=0 , y=3
¿{
¿
18)
¿
y=ln x , y=0 x=1
e , x =e
¿{
¿
19
¿
sin2x ; y=
1 cos2x x= π
6; x=
π
3
¿{
¿
20): y = 4x – x2 ; (p) và tiếp tuyến của (p) đi qua M(5/6,6)
Trang 1021)
¿
y=x2− 4 x +5
y=−2 x+4
y=4 x −11
¿{ {
¿
22)
¿
y =− x2+6 x −5
y=− x2
+4 x − 3
y=3 x − 15
¿{ {
¿
23)
¿
y =x y=1 x y=0
x =e
¿{ { {
¿
24)
¿
y=x2− 1/❑
y=x /+5
¿{
¿
25)
¿
y=− 3 x2− x /+2
y =0
¿{
¿
26)
¿
y=− 3 x2− x /+2
y =0
¿{
¿
27)
¿
y=x2+2
y =4 − x
¿{
¿
¿
y=x2− 2 x +2 y=x2
+4 x +5
y =1
¿{ {
¿
29)
¿
y=x2− 1/❑
y=− x2+7
¿{
¿
30)
¿
y=x3
y=0
x=−2 ; x=1
¿{ {
¿
31)
¿
y=sin x −2 cos x
y =3 x=0 ; x=π
¿{{
¿
32)
¿
x y=0
¿{
¿
33)
¿
y=x2+2 x
y =x+2
¿{
¿
34)
¿
y=2 x2−2 x y=x2+3 x −6
x=0 ; x=4
¿{ {
¿
35)
¿
y=x2− 5 x+6 /❑
y =6
¿{
¿
36)
¿
y=2 x2
y=x2− 2 x −1
y=2
¿{ {
¿
37)
¿
y=x2− 3 x+2 /❑
y =2
¿{
¿
38)
¿
y=x2− 5 x+6 /❑
y=x +1
¿{
¿
39)
¿
y=x2− 3 x+2 /❑
y=− x2
¿{
¿
40)
¿
y=x2− 4 x +3 /❑
y=3
¿{
¿
41)
¿
y=e Ï
y=e − x
x=1
¿{ {
¿
42)
¿
2
√x2− x6 x=0 ; x=1
¿{
¿
43)
¿
y=sin/ x /❑
y=x /− π
¿{
¿
44)
¿
y =2 x2
y=x2− 4 x − 4
y=8
¿{ {
¿
45)
¿
y2=2 x
2 x +2 y +1=0
y=0
¿{ {
¿
46)
0
) ( 2 2 2
2
a
x a x y
Trang 1147)
x+1¿2
¿
x=sin πy
¿
¿
y =¿
48)
¿
y2=x − 1/❑
x=2
¿{
¿
¿
x= y2− 1/❑
x=2
¿{
¿
32)
y +1¿2
¿
y=sin x
¿
x=0
¿
x=¿
33)
¿
y=√4 − x2
4
y= x2
4√2
¿{
¿
34)
¿
x =0 ;
√2
√1− x4; y=0
¿{ {
¿
35)
¿
y=5 x− 2
y=0
x=0 ; y=3 − x
¿{ {
¿
36)
¿
y2=6 x
x2 +y2=16
¿{
¿
37)
¿
y=x2 y= x2
27
x
¿{ {
¿
36) Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đờng thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất
37)
¿
y=x3− 2 x2
+4 x −3
y =0
¿{
¿
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRềN XOAY Cụng thức:
V =π∫
a
b
[f (x )]2dx V =π∫
a
b
[f ( y)]2dy
Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh trục Ox
Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh trục Oy
Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh:
a) Trục Ox b) Trục Oy
) ( :
) (C y f x
b
a
x
b
x
x
y
O
b
a
x
y
0
x
O
) ( : ) (C xf y
b
y a
y
Trang 12Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường :
2
21 ;
x
x
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
x
2 ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
) ; y = 0 ; x = 1 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
1)
x − 2¿2
¿
y=4
¿
¿
y=¿
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
2)
¿
y=x2, y =4 x2
y=4
¿{
¿
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
3)
¿
x2+1
y=0 , x=0 , x=1
¿{
¿
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
4)
¿
y=2 x − x2
y=0
¿{
¿
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
5)
¿
y=x ln x
y =0
x=1 ;x =e
¿{{
¿
quay quanh trôc a) 0x;
6) (D)
¿
y=x2(x>0)
y=− 3 x +10
y=1
¿{ {
¿
quay quanh trôc a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2
7)
¿
y =x2
y=√x
¿{
¿
quay quanh trôc a) 0x;
8) MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)2 + y2 = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y 9) MiÒn trong (E): x2
9 +
y2
4=1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
Trang 1310)
¿
y=xe Ï
y=0
x=1 ,;0 ≤ x ≤1
¿{ {
¿
quay quanh trôc 0x;
11)
¿
y=√cos4x+sin4x
y =0
¿{{
¿
quay quanh trôc 0x;
12)
¿
y =x2
y=10 −3 x
¿{
¿
quay quanh trôc 0x;
13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
14)
4
x − 4
x=0 ; x=2
❑
{
quay quanh trôc 0x;
15)
¿
y =√x −1
y=2
x=0 ; y=0
¿{ {
¿
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y