TÍCH PHÂNI.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1... Nói chung nên chọn u là phần của fx mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv v dx = ' là phần của fxdx là vi phân một hàm số đã biết hoặc
Trang 1TÍCH PHÂN
I.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1 Phương pháp đổi biến số
Bài toán: Tính ( )
b a
I = ∫ f x dx,
*Phương pháp đổi biến dạng I
Định lí Nếu 1) Hàm x u t = ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ α β ; ] ,
2) Hàm hợp f u t ( ( )) được xác định trên [ α β ; ],
3) u ( ) α = a u , ( ) β = b,
thì ( ) ( ( )) ( )'
b a
I f x dx f u t u t dt
β
α
Ví dụ 1 Hãy tính các tích phân sau:
a)
1
2 3
0
5
I = ∫ x x + dx b) 2 ( 4 )
0
π
Giải: a) Ta có t = + ⇒ = x3 5 dt 3 x dx2
2 3
5
3
1
2 1
2
5
2
+
+
b) Ta có
2 4
0
(sin 1) (sin )
π
π
Ví dụ 2 Hãy tính các tích sau:
a)
2
2
0
4 x dx −
1
2
0 1
dx x
+
∫
2 2
x = t t ∈ − π π
Khi x = 0 thì t = 0 Khi x = 2 thì
2
t = π Từ x = 2sin t ⇒ dx = 2cos tdt
π
Trang 2b) Đặt tan , ;
2 2
π π
Khi x = 0 thì t = 0, khi x = 1 thì
4
t = π .
cos
t
1
π π
dt t
Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát hơn như:
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng a2 + x2, a2 − x2 và
2 2
x − a (trong trong đó a là hằng số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lượng giác để làm mất căn thức, cụ thể là:
2 2
x a = t t ∈ − π π
hoặc x a = cos , t t ∈ [ 0; π ]
2 2
π π
hoặc x acott t = , ∈ ( 0; π )
a
t
π π
hoặc ;
cos
a x
t
2
t ∈ π π
.
*Phương pháp đổi biến dạng II
Định lí : Nếu hàm số u u x = ( )đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] a b ; sao cho
'
f x dx g u x u x dx g u du = = thì
( )
( )
u b b
I = ∫ f x dx = ∫ g u du
Ví dụ 3: Tính
1
2 3
0
5
I = ∫ x x + dx
Giải: Đặt u x ( ) = + x3 5.Tacó u (0) 5, (1) 6 = u =
2
Trang 3Từ đó được: 6 ( )
5
6
5
Ví dụ 4: Hãy tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến dạng II:
1
5
0
2 x + 1 dx
2
ln
e e
dx
x x
∫ c)
1
2 0
1
x
dx
+ + +
∫ d)
2
2
1 (2 1)
dx
x −
∫ e)
2 3
3
2
3
π
π
π
−
∫ Giải: a) Đặt u = 2 x + 1 khi x = 0 thì u = 1 Khi x = 1thì u = 3
Ta có 2
2
du
du = dx ⇒ dx = Do đó:
3
1
u
3 b)Đặt u = ln x Khi x e = thì u = 1 Khix e = 2 thì u = 2
du
x
1
2
ln ln 2 ln1 ln 2 1
ln
e e
u
c)Đặt u x = 2 + + x 1 Khi x = 0 thì u = 1 Khi x = 1 thì u = 3
Ta có du = (2 x + 1) dx Do đó:
2
3
2ln 2(ln 3 ln1) 2ln 3
1 1
+ +
d)Đặt u = 2 x − 1 Khi x = 1thì u = 1 Khi x = 2 thì u = 3
2
du
du = dx ⇒ dx = Do đó:
3
( 1) 1
−
3
3
u = x − π
3
x = π
thì
3
u = π
,
2 π
Trang 4Ta có 3
3
du
du = dx ⇒ dx = Do đó:
4
3
π
1 3 3 3
= − − ÷ = −
2.Phương pháp tích phân từng phần.
Định lí Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [ ] a b ; thì:
b
a
b
a
Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
• Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv uv dx = ' bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv v x dx = '( )
• Bước 2: Tính du u dx = ' và v = ∫ ∫ dv = v x dx'( )
vdu = vu dx
uv
a.
• Bước 5: Áp dụng công thức trên
Ví dụ 5: Tính
1 ln
e
x xdx
∫
Giải: Đặt u ln x
dv xdx
=
=
2
dx du
x x v
=
⇒
=
Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:
a)
2
5
1
ln x
dx x
∫ b)
2
0
cos
π
1
0
x
xe dx
∫ d)
2
0
cos
x
π
∫
4
Trang 5Giải: a) Đặt
5
4
ln
4
dx
x
Do đó:
2 2
1
dx
−
b) Đặt
xe dx xe = − e dx e e = − = − − = e e
d) Đặt
⇒
0
π
⇒
2
0
Trang 62 2
2 2
1
2
*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần
( )
b
x a
P x e dx
b a
b a
b x a
∫
Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để
chọn u và dv v dx = ' thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv v dx = ' là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm
Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:
• Quy tắc aM “ nhất log – nhì đa – tam lượng – tứ mũ “
• Nếu tính tích phân I eax cos bxdx
β
α
β
α
Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính
II.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
1 Tích phân hàm số phân thức
a)Tính tích phân dạng tổng quát sau:
I 2 dx ( a 0 )
β
α
(trong đó ax2 + bx c + ≠ 0 với mọi x ∈ [ α β ; ])
Xét ∆ = − b2 4 ac
2
dx I
b
a x
a
β
α
=
−
+)Nếu ∆ > 0 thì
I
β
α
=
6
Trang 7(trong đó 1 ; 2
1
ln x x
I
β α
−
⇒ =
2
I
a x
1
b) Tính tích phân: I mx n2 dx , ( a 0 )
β
α
+
(trong đó f x ( ) 2mx n
ax bx c
+
=
+ + liên tục trên đoạn [ α β ; ]) +) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:
c bx ax
B c
bx ax
b ax
A c
bx ax
n
mx
+ +
+ + +
+
= + +
+
2 2
2
) 2
(
+)Ta có I= ∫β
α
dx c bx ax
B dx
c bx ax
b ax A dx
c bx ax
n mx
+ +
+ +
+
+
= +
+
+
∫
2
) 2
α
β α
c bx ax
b ax A
+ +
+
) 2
( β
α
ε
c bx ax
Aln 2 + +
Tích phân 2 dx
β
c) Tính tích phân ( )
( )
b a
P x
Q x
= ∫ với P(x) và Q(x) là đa thức của x.
• Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức
• Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:
+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn α α1, , ,2 αnthì đặt
( )
( )
n n
A
P x
Q x = x − α + x − α + + x − α .
+ Khi Q x ( ) = − ( x α ) ( x2 + px q + ) , ∆ = p2 − 4 q < 0thì đặt
Trang 8( )
( )
+
( )
Q x = − x α x − β với α≠ β thì đặt
( ) ( )
A
Q x = x − α + x − β + x − β .
Ví dụ 7 Tính tích phân:
1
2 0
x
dx
+
Giải:
Cách 1.Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho:
A x
x
+
x
x
x x
x
+
Do đó
2
x
x
+
Cách 2 Vì x2 + 5 x + = + 6 ( x 2 ) ( x + 3 ) nên ta có thể tính tích phân trên bằng cách:
Tìm A, B sao cho:
x
3
x
x
+
x
x
8
Trang 9Do đó
2
3
dx
1 1 9
Ví dụ 8:Tính tích phân:
1
2
dx
x + + x
Do
2 2
x
=
π π
2
2 0
3 1 tan
2 3
π π π
+
Ví dụ 9 Tính tích phân:
1
2
x dx
x −
Giải:
2
2
x
x
2 Tích phân các hàm l ượng giác
2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản sử dụng các công thức biến đổi mà làm
Ví dụ 10: Hãy tính các tích phân sau:
a)
2 sin 2 sin 7
π
2
π
Trang 10c)
0
4sin
1 cos
x
x
π
= +
a)
cos (sin x x + cos ) cos x = x sin x + cos x − 2sin x cos x
2
c)
4(1 cos )sin
−
⇒ M = 2
2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác
2.2.1.Tính
cos
dx I
asinx b x c
=
∫
Phương pháp:
tan
+
t
10
Trang 11Ta có: 2 2
sin
1
t x
t
=
2
2
1 cos
1
t x
t
−
= +
2
I
Ví dụ 11 Tính
dx
x + x +
∫
+
t
2
2 1
+
dt
2
+ +
x t
x
dx I
=
∫
Phương pháp:
dx I
=
∫
2 2
cos
=
∫
dx x
cos
dx
t tgx dt
x
dt I
⇒ =
dx I
=
cos
dx
I
cos
t x dt
x
Trang 12( ) ( )
2
Tính sin cos
m x n x p
a x b x c
=
Phương pháp:
+)Tìm A, B, C sao cho:
m x n + x p A a + = x b + x c + + B a x b − x + C ∀ x+)
m x n x p
a x b x c
=
+ +
− +
c x b
x a
dx C
dx c x b
x a
x b x a
B dx
A
cos sin
cos sin
sin cos
Tích phân ∫ dx tính được
c x b
x a
x b x a
+ + +
= +
+
−
cos sin
sin cos
Tích phân ∫ a sin x + dx b cos x + c tính được
Ví dụ 13 Tính: cos 2sin
+
=
+
Giải:
Bằng cách cân bằng hệ số bất định, tìm A và B sao cho:
cos x + 2sin x A = 4cos x + 3sin x + B − 4sin x + 3cos , x ∀ x
cos x + 2sin x = 4 A + 3 B cos x + 3 A − 4 B sin , x ∀ x
2
5
A
B
=
+
12
Trang 132.3.Dạng 3: Đổi biến số để đưa về tích phân hàm lượng giác đơn giản hơn
(Xem ví dụ 17, 20, 21)
2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng ∫ R ( sin ,cos x x dx ) , với R ( sin ,cos x x )là một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx
Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết cách tính tích phân
tan
+
t
Ta có
2
−
• Những trường hợp đặc biệt:
+) Nếu R ( sin ,cos x x )là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là
R ( − sin , cos x − x ) = R ( sin ,cos x x ) thì đặt t = tan x hoặc t = cot x, sau đó đưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t
+) Nếu R ( sin ,cos x x )là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:
R ( − sin ,cos x x ) = − R ( sin ,cos x x )thì đặt t = cos x
+) Nếu R ( sin ,cos x x )là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:
R ( sin , cos x − x ) = − R ( sin ,cos x x )thì đặt t = sin x
3.Tích phân hàm vô tỉ
3.1 Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản
Ví dụ 14 Tính tích phân:
1
dx I
=
+ +
Giải
3 3 2 2
1 2
0 3
1
2 2 2 3
Ví dụ 15:Tính tích phân
2
x dx
x + + x
Giải:
2
2 2 1
15 1
x dx
−
Trang 143.2.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lượng giác
(xem ví dụ 2)
3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn
Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức
Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương đúng
Ví dụ 15:Tính
= ∫1 −
0
2
x I
Giải:
∫
=
1
0
2 2
1
0
2
x
I
Đặt t= 1− x2 ⇔ t2 =1− x2 ⇔ x2 =1−t2
Ta có: xdx=-tdt, Khi x= 0 thì t =1,khi x = 1 thì t =0
Vậy
15
2 5
3
) 1
(
1
0
5 3
0
1
2
−
=
−
−
I
4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ 16: Tính
2 2
2
1
−
= ∫ − Giải: Lập bảng xét dấu của x2 − 1 trên đoạn [ − 2;2 ]
x -2 -1 1 2
x − + 0 - 0 +
−
4
III.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT
1.Cho hàm số y = f x ( ) liên tục và lẻ trên đoạn [ − a a ; ] Khi đó ( ) 0
a
−
14
Trang 15Ví dụ 17: Chứng minh
2
2
2
0
4 sin
xdx I
x
π
π
−
Giải: Đặt x = − ⇒ t dx = − dt Khi x=π2 thì t = -
2
π , khi
2
x = − π thì
2
t = π
t
tdt
−
=
−
∫
− 2
2
2 sin 4
π
π
Suy ra : 2I = 0 Ta được
2
2
2
0
4 sin
xdx I
x
π
π
−
2.Cho hàm số y = f x ( ) liên tục và chẵn trên đoạn [ − a a ; ] Khi đó
0
a
−
Chứng minh : Ta có
0
0
Ta tính
0 ( )
a
−
= ∫ bằng cách đặt x = − t ( 0 ≤ ≤ t a ) ⇒ dx = − dt
−
Thay (2) vào (1) ta được
0
a
−
Ví dụ 18: Tính tích phân:
2
2
2
cos
4 sin
x
π
π
+
=
−
∫
Trang 16Giải: Ta có
+
4 sin
x
f x
x
=
− là hàm số lẻ trên 2 2 ;
π π
−
nên
2
2
2
0
4 sin
x
dx x
π
π
=
−
∫
( )
4 sin
x
f x
x
=
− là hàm số chẵn trên 2 2 ;
π π
−
nên ta có:
0
x I
x
π
−
3.Cho hàm số y = f x ( ) liên tục và chẵn trên đoạn[− α : α] Khi đó
∫ ∫
−
−
= +
α
α α
dx x f dx
a
x f
2
1 1
) (
Chứng minh: Đặt t= -x ⇒ dt= - dx
Ta có f(x) = f(-t)= f(t); ax+1= a-t+1= t 1
t
a a
+
Khi x= - αthì t = α ; x =α thì t =- α
− +
= +
= +
α
α α
α α
dt t f a
a dt
a
t f a dx
a
x f
t t
t
1
1 1 1
) ( 1
) (
+
= +
+
= α
α
α α
α α
I dx x f
dt a
t f dt
t
1
) ( )
(
−
−
= +
α
α α
dx x f dx
a
x f
2
1 1
) (
16
Trang 17Ví dụ 19 : Tính tích phân:
1 4
12x 1
x
−
=
+
Giải:Đặt t= -x ⇒ dt= - dx
Khi x= - 1 thì t = 1 ; x =1 thì t =-1
−
=
1
1
1
` 1
4 4
1
1
4
1 2
2 1
2 1
t dx
x
t t
−
= +
−
= 1
1
1
1
1
1
4
4 4
1
2 dt x dx I
t dt
Suy ra
5
1 5
2
1 2
1
5 1
1
= =
−
I
4.Cho f(x) liên tục trên đoạn 0;
2
π
Khi đó
f x dx f x dx
=
Chứng minh:
Đặt
2
t = − ⇒ π x dx = − dt
Khi x = 0 thì
2
t = π , khi
2
x = π thì t = 0
Do đó
0
2
2
π
π
Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có các công thức
*Nếu f(x) liên tục trên [ ] 0;1 thì (sin ) (sin )
2
π
=
*Nếu f(x) liên tục trên [ ] 0;1 thì
=
∫ xf x dx ∫ f x dx
π
Trang 18Ví dụ 20:Chứng minh: I=
2
0
sin
n
x
dx
π
π
= +
Giải :
Tương tự như trên ta có:
I=
=
+) Vậy I+J=
π
Vậy I=
2
0
sin
n
x
dx
π
π
= +
Ví dụ 21: Tính tích phân: 2
0
sin
1 cos
dx x
π +
Giải: Đặt x = − π t ( 0 ≤ ≤ t π ) ⇒ dx = − dt
0
0
sin sin
π
π
π
= −
π π
2
π
Vậy
2
18