Chuyên đề Khảo sát hàm số 12 (phần 2)

Khaûo saùt haøm soá VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị Để biện luận số nghiệm của phương trình Fx, m = 0 * ta biến đổi * về một trong các dạng như trên, trong đó [r]

VII MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

1 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

1 Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm) Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị

2 Đồ thị hàm số bậc ba y ax 3bx2cx d a ( 0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

 Phương trình ax3bx2cx d 0 có 3 nghiệm phân biệt

 Hàm số y ax 3bx2cx d có cực đại, cực tiểu và y CĐ CT.y 0

Bài 1. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

3

1

2 2

x

x

y



   





  

2 4 1

2 4

x y x

  



    



3

4 3 2

  

   



4 5

   





2

5 10 5 1

    



  



2

1

3 1

x y x



 

   



Bài 2. Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

y m x

( 2)

   

  



2

y m x





    



3

3 3 ( 3)

x

y m x



   



  



2

x y

x

 

  



1 1 2

x y x

 

   



2

y

x

 

  



3

x

y mx

    

  



2

4 1

y x

 

   



y m x

3 2

( 1)

   





Bài 3. Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

2

( 2) 1

2

x

x

 

 b) 2 2 3 ; 2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt

1

x

 

 c) cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu

2

1

x

 

 d) y x24x5; y mx 2 cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu

f) 2 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

1

y

x

 





Bài 4. Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) yx33x2mx2 ;m y  x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

b) y mx 33mx2 (1 2 )m x1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

c) y(x1)(x2mx m 23) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

d) yx32x22x2m1; y2x2 x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

e) yx32x2m x2 3 ;m y2x21 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

Bài 5. Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) yx42x21; y m cắt nhau tại bốn điểm phân biệt

b) yx4m m( 1)x2m3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

c) yx4(2m3)x2m23m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

Bài 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số:

a) 3 1; 2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Khi đó tìm m để đoạn

4

x

x





AB ngắn nhất

b) 4 1; cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Khi đó tìm m để đoạn

2

x

x





AB ngắn nhất

c) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Khi đó tính

2

x

 



AB theo m

Bài 7. Tìm m để đồ thị của các hàm số:

a) yx33mx26mx8 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng

b) yx33x29x1; y4x m cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm của đoạn AC

c) yx4(2m4)x2m2 cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng

d) yx3(m1)x2(m1)x2m1 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân

e) y3x3(2m2)x29mx192 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân

2 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

 Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x)

 Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau:

Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x) d: y = m

 d là đường thẳng cùng phương với trục hoành

 Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm

của (C) và d Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

Dạng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2)

Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k

Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m

Dạng 3: F(x, m) = 0  f(x) = kx + m (3)

(k: không đổi) Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x) d: y = kx + m

 Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương

với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m)

 Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C)

có hệ số góc k

 Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … của d, d1, d2, …

để biện luận

Dạng 4: F(x, m) = 0  f(x) = m(x – x0) + y0 (4)

Khi đó (4) có thể xem là phương trình

hoành độ giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x) d: y = m(x – x0) + y0

 d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0)

 Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, …

của (C) đi qua M0

 Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận

Chú ý:

y

x

(C)

c.(d) : y = m

c

y CĐ

y CT

x A

y

x A

y = kx

c

m (C)

M 1

M 2

b 1

b 2

d 1

d

d 

O

y

x 0

d 3

d 1 y 0

0

(C)

c

M 1

M 2

d 2

m = –

m = +

m > 0

m = 0

m < 0 d I

IV

(–)

(+)

M

x

VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị.

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo

m số nghiệm của phương trình:

a) yx33x1; x33x  1 m 0 b) y  x3 3x1; x33x m  1 0 c) yx33x1; x33x m 22m 2 0 d) y  x3 3x1; x33x m  4 0 e) 4 2 2 2; 4 4 2 4 2 0 f)

2

x

y   x  x  x   m yx42x22;x42x2  m 2 0

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo

m số nghiệm của phương trình:

a)

2

2

5 7

3

x

 

 b) 2 2 4 2; 2 2 2( 2) 3 2 0

2 3

x

 

 c)

2

2

1

x

x



d) 2 2 4; 2 2( 1) 4( 1) 0

2 4

x

 



Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo

m số nghiệm của phương trình:

a)

2

2

2

2 1

x

x

b) 2 2 3 ; cos2 ( 3)cos 2 1 0 (0 )

2

x



c)

2

2

3 3

; cos (3 )cos 3 2 0 (0 ) 2

x

 

d) yx33x26; cos3x3cos2x  6 m 0

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo

m số nghiệm của phương trình:

a)

3

x



 



1

x



 

 c)

2

2

1

x

 

 d) y x2 5x 4; e2t (5 m e) t 4 0

x

 

Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (T) Dùng đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

a) ( ) : 2 3 6; ( ) : 2 3 6; 2 3 6 2 0

b) ( ) :C y x2 5x 4; ( ) :T y x2 5x 4; x2 5x 4 m 2 0

c) ( ) :C yx33x26; ( ) :T y x33x26 ; x33x2   6 m 3 0

d) ( ) :C y2x39x212x4; ( ) :T y2 x39x212 x 4; 2 x39x212 x  m 0 e) ( ) :C y(x1) (22 x); ( ) :T y(x1) 22 x;(x1) 22  x (m1) (22 m)

f) ( ) :C y x2 1; ( ) :T y x2 1; (m 1)x2 2 x 1 0

Bài 6. Cho hàm số ( ) 2

1

x

y f x

x



 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x3y0

c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình:

2

3x (m2)x m  2 0

Bài 7. Cho hàm số ( ) 1

1

x

y f x

x



 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x2y0

c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2

2x (m1)x m  1 0

Bài 8. Cho hàm số

2

( )

1

x

y f x

x

 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1)

c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2

(1m x)  (1 m x)  1 0

VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thị

Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax3bx2cx d 0(a  0) (1)

Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: y f x( )ax3bx2cx d

Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành

Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3

 Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm  (C) và Ox có 1 điểm chung



CĐ CT

f không có cực trị h a

f có cực trị

h b

( 1 )

2

( 1 )









A

y

(h.1a)

(C)

A

y

(h.1b)

x 1 o x 2

y CT

y CĐ

 Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm  (C) tiếp xúc với Ox

CĐ CT

f có cực trị

h





(C)

y CĐ y

A

x 0 o x 1 x' 0 B (y CT = f(x 0 ) = 0)

x

(H.2)

x" 0

C

x 1

(C)

y CĐ y

A

o x 2 x

(H.3)

y CĐ

x 0 x' 0 B

 Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt  (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

CĐ CT

f có cực trị h





Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu

 Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt

 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương



2

0, 0 (0) 0 ( 0)

CĐ CT

f có cực trị









x 1

x A x B x C

C

(C)

y CĐ y

A

a > 0

y CT

B f(0)

x 1

x A x B x C

C

(C)

y CĐ y

A

a < 0

y CT

B f(0)

 Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt

 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm



2

0, 0 (0) 0 ( 0)

CĐ CT

f có cực trị









x 1

x A x B x C

C

(C)

y CĐ y

A

o

x 2

x

a > 0

y CT B

f(0)

x C

x 2

x 1

x A x B

C

(C)

y CĐ y

A

a < 0

y CT B

f(0)

Bài 1. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm:

a) 2x33(m1)x26mx 2 0 b) x33x23(1m x)  1 3m0 c) 2x33mx26(m1)x3m12 0 d) x36x23(m4)x4m 8 0 e) 2x33(m1)x26(m2)x  2 m 0 f) x33mx2m0

Bài 2. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm:

a) x3(m1)x2(2m23m2)x2 (2m m 1) 0 b) x33mx2m0

c) x3(2m1)x2(3m1)x(m 1) 0 d) x33x23(1m x)  1 3m0

Bài 3. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

a) x33mx23(m21)x(m2 1) 0 b) x36x23(m4)x4m 8 0 c) 2x33(m1)x26(m2)x  2 m 0 d) 1 3

0

3x   x m

Bài 4. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt:

a) x33mx23(m21)x(m2 1) 0 b) x36x23(m4)x4m 8 0

3x 2x  x m  6 x3mx2(2m1)x m  2 0

Bài 5. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt:

a) 2x33(m1)x26(m2)x  2 m 0 b) x33mx23(m21)x(m2 1) 0 c) x33x29x m 0 d) x3x218mx2m0

3 SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG.

1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0x f x0; ( )0 

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0x f x0; ( )0  là:

y – y0 = f (x0).(x – x0) (y0 = f(x0))

2 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:

(*)

( ) ( ) '( ) '( )

f x g x

 Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó

3 Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì

(C1) và (C2) tiếp xúc nhau  phương trình ax2bx c  px q có nghiệm kép

VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x) tại điểm M0x y0; 0:

 Nếu cho x 0 thì tìm y 0 = f(x 0 ).

Nếu cho y 0 thì tìm x 0 là nghiệm của phương trình f(x) = y 0

 Tính y = f (x) Suy ra y(x 0 ) = f (x 0 ).

 Phương trình tiếp tuyến  là: y – y 0 = f (x 0 ).(x – x 0 )

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho trước Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

 Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Tính f (x 0 ).

  có hệ số góc k  f (x 0 ) = k (1)

 Giải phương trình (1), tìm được x 0 và tính y 0 = f(x 0 ) Từ đó viết phương trình của .

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

 Phương trình đường thẳng  có dạng: y = kx + m.

  tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

(*)

( ) '( )

f x kx m



 Giải hệ (*), tìm được m Từ đó viết phương trình của .

Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến  có thể được cho gián tiếp như sau:

+  tạo với chiều dương trục hoành góc  thì k = tan

+  song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a

+  vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a  0) thì k = 1

a



+  tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc  thì tan

1

k a ka

 

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y = f(x), biết  đi qua điểm A x y( ;A A).

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

 Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Khi đó: y 0 = f(x 0 ), y 0 = f (x 0 ).

 Phương trình tiếp tuyến  tại M: y – y 0 = f (x 0 ).(x – x 0 )

  đi qua A x y( ;A A)nên: y A – y 0 = f (x 0 ).(x A – x 0 ) (2)

 Giải phương trình (2), tìm được x 0 Từ đó viết phương trình của .

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

 Phương trình đường thẳng  đi qua A x y( ;A A)và có hệ số góc k: y – y A = k(x – x A )

  tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

(*)

( ) ( ) '( ) A A



 Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k) Từ đó viết phương trình tiếp tuyến .

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:

a) (C):y3x3x27x1 tại A(0; 1) b) (C):yx42x21 tại B(1; 0)

c) (C): 3 4 tại C(1; –7) d) (C): tại D(0; 3)

2 3

x y

x







2 1

2 1

y x

x

  



Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:

a) (C): 2 3 3 tại điểm A có xA = 4

2

y

x

 



 b) (C): 3( 2) tại điểm B có yB = 4

1

x y

x





 c) (C): 1 tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung

2

x y

x





 d) (C):y2x 2x21 tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung

e) (C): yx33x1 tại điểm uốn của (C)

f) (C): 1 4 2 2 9 tại các giao điểm của (C) với trục hoành

y x  x 

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra:

a) (C):y2x33x29x4 và d: y7x4

b) (C):y2x33x29x4 và (P): y x28x3

c) (C):y2x33x29x4 và (C’): yx34x26x7

Bài 4. Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra:

Bài 5. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng S cho trước:

a) (C): 2 tại điểm A có xA = 2 và S =

1

x m y

x







1 2 b) (C): 3 tại điểm B có xB = –1 và S =

2

y

x







9 2 c) (C):yx3 1 m x( 1) tại điểm C có xC = 0 và S = 8

Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  có hệ số góc k được chỉ ra:

a) (C):y2x33x25; k = 12 b) (C): 2 1; k = –3

2

x y x





 c) (C): 2 3 4; k = –1 d) (C): ; k = 2

1

y

x

 





y x  x

Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  song song với đường thẳng d cho trước:

a) (C): ; d: y = 3x + 2 b) (C): ; d:

3 2

2 3 1 3

x

2

x y x







3 2 4

y  x

c) (C): 2 2 3; d: d) (C): ; d: y =

4 6

y

x

 



 2x y  5 0

3

y x  x  –4x + 1

Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  vuông góc với đường thẳng d cho trước:

a) (C): 3 2 2 3 1; d: b) (C): ; d:

3

x

8

x

2

x y x





 yx c) (C): ; d: y = –3x d) (C): ; d: x – 2

2 3 1

x y

x







2

y x

 





Bài 9. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  tạo với chiều dương trục Ox góc :

3

3

x

3

x

y  x  x  

c) ( ) : 3 2; 450

1

x

C y

x



 

Bài 10.Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  tạo với đường thẳng d một góc : a) (C): 3 2 2 4; : 3 7; 450

3

x

y  x  x d y x  

b) (C):

3

x

y  x  x d y  x  

c) ( ) : 4 3; : 3 ; 450

1

x

x



d) ( ) : 3 7 ; : ; 600

2 5

x

x



e) ( ) : 2 3; : 1; 600

2

x

 

Bài 11.Tìm m để tiếp tuyến  của (C) tại điểm được chỉ ra vuông góc với đường thẳng d cho trước:

a) (C): 2 (2 1) 2 tại điểm A có xA = 0 và d là tiệm cận xiên của (C).

1

y

x

   



 b) (C): 2 2 1; tại điểm B có xB = 4 và d: x – 12y + 1 = 0

3

y

x

 





Bài 12.Tìm m để tiếp tuyến  của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho trước:

a) (C):y (3m 1)x m2 m (m 0) tại điểm A có yA = 0 và d:

x m

  

Bài 13.Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  đi qua điểm được chỉ ra:

a) (C):y  x3 3x2; A(2; –4) b) (C):yx33x1; B(1; –6)

c) (C):  22; C(0; 4) d) (C): ;

2

3

2

 

  e) (C): 2; E(–6; 5) f) (C): ; F(2; 3)

2

x y

x







3 4 1

x y x





 g) (C): 2 3 3; G(1; 0) h) ; H(2; 2)

2

y

x

 





1

y x

 





VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc

1 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:

(*)

( ) ( ) '( ) '( )

f x g x



Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.

2 Nếu (C 1 ): y = px + q và (C 2 ): y = ax 2 + bx + c thì

(C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau  phương trình ax2bx c  px q có nghiệm kép.

Bài 1. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:

a) ( ) :C1 yx3 (3 m x) 2mx2; (C2) :trục hoành

b) ( ) :C1 yx32x2(m1)x m C ; ( 2) :trục hoành

c) ( ) :C1 yx3m x(  1) 1; (C2) :y x 1

d) ( ) :C1 yx32x22x1; (C2) :y x m

Bài 2. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:

a) ( ) :C1 yx42x21; (C2) :y2mx2m

b) ( ) :C1 y x4x21; (C2) :y x2m

c) ( ) :1 1 4 2 2 9; ( 2) : 2

C y  x  x  C y x m

d) ( ) :C1 y(x1) (2 x1) ; (2 C2) :y2x2m

2

(2m1)x m