Chuyên đề tích phân hay dành cho ôn thi đại học

 xdx x Nhìn vào câu này ta sẽ áp dụng công thức tích thành tổng trong lượng giác... + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính... + Chuyển tích phân cần tính từ biến x

Văn Tấn Hải Học chắc chắn sẽ… xém rớt

TÍCH PHÂN CÔNG THỨC

C x

C x xdx 

cos sin

C x xdx  

sin cos

C x dx

ax a dx b ax

 0ln

C e

a dx

e axb  axb 

a dx b

a dx b

C e du

u u

C u udu 

cos sin

C u udu  

sin cos

C u du

2) Các công thức lượng giác:

a) Công thức nhân đôi:

3) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n:

Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có :

(3x1) dx

 b)I2 =

2 2 0

x

e  dx

 c)I3 =

0 1

3

2x 1dx

 

Giải a) I1 =

1

3 0

ax a dx b ax

11

Câu 2: Tính các tích phân sau

a) J1 = 2 

2 2

2

x dx x

2

dx x





Văn Tấn Hải Học chắc chắn sẽ… xém rớt

Giải a) Ta có: (x2 + 1)2 = (x2)2 +2.x2.1 + 12 = x4 + 2x2 + 1

suy ra J1 = 2 

2 2 0





0 0

1/2 1/6 1/3 1/6

s in3 cosx xdx



 b) K2 =

8 2 0

)23(x x dx 2) I = 4 

6 2 3

sin

sin1





dx x

x

x

x x

2 

1 2

2 3

52

4) M = 12

0

5sin.7sin



xdx

3 2 0

sin 3xdx







xdx x

Nhìn vào câu này ta sẽ áp dụng công thức tích thành tổng trong lượng giác

t a x

cossin

a x

cossin

tgt a x

x cos

2 2

Loại 1: Tiến hành theo các bước

+ Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt

+ Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới

+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính

Câu 1 : Tính các tích phân sau

a) I 1 =

2

2 0

4x dx

 b) I 2 =

3 2 0

1

9x dx



Giải a) I 1 =

2

2 0

4x dx

2

2 0

cos costt dt



2 2 0

cos tdt





s in22

1

9x dx

2 4

2 0

3(1 tan )

9 9 tan

t dt t

2 0

3(1 tan )9(1 tan )

t dt t

Loại 2: Tiến hành theo các bước

+ Chọn đặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx

+ Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là  và  thì =u(a)  = u(b)

+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính

Câu 2: Tính các tích phân sau

4  x xdx

 e)J5 =

/2

4 0

cos(1 sin )

x dx x







Giải a) J1 =





1 4

u du

4

0 6 1

x  x  

1 6 4

u = 8

3

Cách 2: Dùng hàm hợp

Ta thấy: 1 2

42

x  x 

2 1 1 2

cos

(1 sin )

x dx x

cos(1 sin )

x dx x





2 4 1

du u

 =

2 4 1

1

)ln3

Giải

0

cos.sin4

0 6

 

1 1

1 0

11

a

dx

e axb  axb 

 1 ở đây thật ra ta thay cái ẩn trong công thức là x thành 2

x nên cũng có thể xem nó như dạng là ax2 b  2

2

1ln

P(x): Đa thức Q(x):ln(ax+b)

* u = ln(ax + b)

* dv = P(x)dx

* u = P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

Câu 1: Tính các tích phân sau

(x1)e dx x

1 2 0

1( 1)2

x

1 2 0

12

 = 9ln2 – 0 3 2 

2

1 11

x

dx x

tan xdx



4 4 0 0

sintan

costan

dv

v x

dx x

2 1



 có 1 nguyên hàm là

1

1 1

x x

ln xdx

x

 thì ta lại dùng phương pháp đổi biến

Câu 3: Tính các tích phân sau

1

ln)21( c) I 3 = 4

0 2

cos



x xdx

1

ln)21

sin

v x

PHẦN IV: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P2

Câu 1: Tính các tích phân sau

Với dạng câu này ta có nhiều cách làm

Cách 1: Chúng ta phân tích nó ra rồi áp dụng công thức tính tích phân như thường Áp dụng công thức:

I  x dx c)

4 3 0

2 1

I  x dx d)

1

2 4

0

1

I x x dx f) 1  2

6 0

I  x x  x dx g)

I  x  x x  x  dx

Giải a)

1 1

0 0

 232 1  2 31  

0 0

3 2 2 0

dx I

1 1 2

dx I

4 1

1 2

0 2

1

1 21

12

1 2

0 0

0 0

11 2

dx I

1 1

e

e dx

ax a dx b ax

x x

1 3

I e  e dx i)

1 9

x

x

e dx I

e t

e t

x 0 1

t 3 2e1

2 7

2 9

0 1

1

2 2

1 1

1 1

Suy ra:

4 4

6

1 1

cos3sin 1

2 5

2

0 0

11 3

dx I

1 2

 

1 1

dx I

dx I

Giờ ta quan sát thấy cái đề của mình có cái tử bằng 1 nên biểu thức mình vừa phân tích cũng phải như vậy

Câu 5 : Tính các tích phân sau (mẫu số có nghiệm kép)

  d)

0 2

ax a dx

dx I

     

0

0 1 1

Văn Tấn Hải Học chắc chắn sẽ… xém rớt

0 2

11

11

x x

3 3

I  x xx dx

Giải a)

dx I

11

3 2

I   xx dx d)

2 5

4 sin 4 4 sin 2 cos 16 sin 1 sin cos

16 sin cos cos 16 sin cos 16 sin cos

Đặt xsint , với ; cos 0;cos sin

1 2 sin 1 sin cos 1 2 sin cos cos sin cos cos dt

1cos sin cos cos sin cos 1 cos 2 sin 2

PHẦN VII: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Câu 1: Tính các tích phân sau

Văn Tấn Hải Học chắc chắn sẽ… xém rớt

d)

3 2

2 sin

4cos

01 cos 2

dx I

sin cos sin sin cos cos

cos 2 sin cos

PHẦN VIII: TÍCH PHÂN HÀM MŨ VÀ LOGARIT Câu 1: Tính các tích phân sau

te dt e dxe dx dt

Đổi cận

3

3 1

2 2

dx

x dx

dv

v x

 2 2   2    2

2

2 1

1

dx

x dx

dv

v x

Văn Tấn Hải Học chắc chắn sẽ… xém rớt

MỤC LỤC

CÔNG THỨC 2

Nguyên hàm của những hàm số thường gặp 2

Nguyên hàm của những hàm số hợp 2

PHẦN I: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P1 3

PHẦN II: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 5

Loại 1: Tiến hành theo các bước 6

Loại 2: Tiến hành theo các bước 7

PHẦN III: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 12

PHẦN IV: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P2 15

PHẦN V : TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ 34

I DẠNG 1 : dx 1ln ax b C ax b a     34

II Dạng 2 : 2 dx ax bxc  36

PHẦN VI: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỶ 51

PHẦN VII: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 59

PHẦN VIII: TÍCH PHÂN HÀM MŨ VÀ LOGARIT 63