Khung trong không gian hilbert

Lý do chọn đề tài Một trong những khái niệm quan trọng nhất của không gian vectơ là cơ sở, vì mỗi vectơ của không gian đều được biểu diễn duy nhất dướidạng một tổ hợp tuyến tính các phần

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————

TĂNG TẤN ĐÔNG

KHUNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2019

TĂNG TẤN ĐÔNG

KHUNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhụy

Đà Nẵng - 2019

LỜI CẢM ƠN iMỤC LỤC ii

MỞ ĐẦU 1CHƯƠNG 1 KHUNG VÀ MỘT VÀI TÍNH CHẤT CƠ BẢNTRONG KHÔNG GIAN HILBERT 61.1 Một vài kiến thức chung về khung và cơ sở trong không gian Hilbert6

1.2 Biên khung tốt nhất trong không gian Hilbert 91.3 Một vài tính chất cơ bản của khung 141.4 Toán tử unitar và khung 25CHƯƠNG 2 TOÁN TỬ KHUNG VÀ TOÁN TỬ KHUNGĐỐI NGẪU 272.1 Toán tử khung 272.2 Khung đối ngẫu và khung đối ngẫu chính tắc 38

52

3.1 Chuỗi Fourier và cơ sở khung Gabor 523.2 Khung của dịch chuyển và khung Gabor 57

iii

3.3 Điều kiện cần để một hệ Gabor là khung 67

3.4 Điều kiện đủ để một hệ Gabor là khung 71

3.5 Một vài ứng dụng điều kiện đủ để một hệ Gabor là khung 72

3.6 Về hệ Gabor của một vài lớp hàm cửa sổ đặc biệt 77

3.6.1 Hàm Gauss g(x) = e−x 2 78

3.6.2 Hàm đặc trưng g(x) = χ[0,c], c > 0 78

3.6.3 Các hàm mũ g(x) = e−|x| và g(x) = e−xχ[0,∞) 79

KẾT LUẬN 80

TÀI LIỆU THAM KHẢO 81

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Một trong những khái niệm quan trọng nhất của không gian vectơ là

cơ sở, vì mỗi vectơ của không gian đều được biểu diễn duy nhất dướidạng một tổ hợp tuyến tính các phần tử thuộc cở sở này Chẳng hạnnhư ta xét không gian vectơ hữu hạn chiều H Nếu {fk}Nk=1 là một cơ sởcủa không gian H, thì mỗi vectơ f ∈ H đều biểu diễn dưới dạng

và các hệ số ck(f ) này là duy nhất, chúng chỉ phụ thuộc f Chính vì vậy

mà hệ các vectơ cơ sở của không gian tuyến tính thường được xem như

là các khối xây dựng cơ bản (elementary building blocks) Tuy nhiên, yêucầu của một hệ vectơ tạo thành một cơ sở lại quá chặt chẽ, mà đòi hỏi

cơ bản nhất của nó phải độc lập tuyến tính Thậm chí nếu H là khônggian Hilbert thì người ta còn đòi hỏi chúng phải là cơ sở trực chuẩn, vì

từ cơ sở (hệ độc lập tuyến tính cực đại) ta có thể sử dụng phương pháptrực giao hóa Schmidt rồi chuẩn hóa để được cơ sở trực chuẩn Kháiniệm khung xuất hiện nhằm làm giảm thiểu các yêu cầu khắt khe của

sự độc lập tuyến tính của một hệ vectơ, nhờ đó mà có được nhiều ứngdụng hơn Ta nói một dãy đếm được các vectơ {fk}∞k=1 trong không gianHilbert H được gọi là khung (frame) của không gian này nếu tồn tại các

lý lấy mẫu cổ điển (Classical Sampling Theorem), định lý này còn cótên gọi là Định lý lấy mẫu Nyquyst Shanon (Nyquyst Shanon SamplingTheorem) Định lý lấy mẫu Nyquyst Shanon có vai trò như một hòn đátảng (cornerstne) của Lý thuyết truyền tin và Xử lý tín hiệu mà ngàynay nhất thiết phải sử dụng Định lý lấy mẫu nói trên lại tương đươngvới phát biểu rằng, với mỗi 0 < b ≤ 1, dãy

1946 khi xây dựng Lý thuyết truyền tin và một hệ khung và sau nàymang tên Gabor Với trường hợp riêng b = 1 thì hệ vừa giới thiệu trên

là một cơ sở trực chuẩn Tuy nhiên, nếu b < 1 thì εb không là cở sở Rieszcủa L2[0, 1] (cho dù khái niệm này yếu hơn cơ sở) và do đó các hệ sốkhung là không duy nhất Từ đó ta thấy rằng khái niệm khung là tổngquát hơn và có ứng dụng trong Lý thuyết truyền tin và Xử lý tín hiệutốt hơn là khái niệm cơ sở trong không gian Hilbert Tuy thế, mỗi vectơcủa không gian H vẫn được biểu diễn thành chuỗi qua khung với yêucầu lỏng lẻo hơn, không đòi hỏi hệ này phải độc lập tuyến tính Điềuquan trọng là sự biểu diễn này vẫn có được dưới dạng hiện, thông qua

hệ vectơ này và một tích vô hướng đặc biệt hoặc tích vô hướng của vectơnày với hệ khung đối ngẫu của nó

Để có được sự biểu diễn đó, toán tử khung và khung đối ngẫu đượcđưa vào Sự biểu diễn này đã trở thành một công cụ hết sức hữu ích đểnghiên cứu bài toán khung trong các tình huống khác nhau Cụ thể, toán

tử khung S : H −→ H là một song ánh tuyến tính liên tục và tự liên hợp,

vì thế tồn tại toán tử tuyến tính ngược S−1 : H −→ H Nếu {fk}∞k=1

là một khung của không gian Hilbert H thì dãy các vectơ { efk}∞k=1 vớie

fk = S−1fk (k = 1, 2, ) cũng là một khung, và được gọi là khung đốingẫu chính tắc (cannonical dual frame) của khung {fk}∞k=1 trong H Khi

đó mỗi vectơ f ∈ H đều có biểu diễn

tính, nên biểu diễn của f qua hệ này với các hệ số {ck}∞

k=1 ⊂ C là khôngduy nhất

Ngày nay, Lý thuyết Wavelets đang phát triển rất mạnh mẽ, lý thuyếtnày lấy không gian Hilbert làm không gian cơ sở để xây dựng mà cụ thểhơn không gian cơ sở được lấy là không gian Hilbert L2(R), không giancác hàm bình phương khả tích trên R Mỗi vectơ thuộc L2(R) được xemnhư một tín hiệu (signal) và người ta đã tìm cách biểu diễn mỗi tín hiệuqua khung Hơn thế nữa, có thể nói hệ vectơ khung được làm nền tảng

để xây dựng Lý thuyết Wavelets Thật là thú vị khi Lý thuyết truyền tin

và Wavelets đã lấy Giải tích Toán học làm nền tảng cơ sở để xây dựng

Sự hấp dẫn của Lý thuyết khung ngoài vẻ đẹp toán học cùng với sựứng dụng hiệu quả và sâu sắc thì nó còn lôi cuốn các nhà nghiên cứu bởi

có nhiều bài toán còn để ngỏ

Từ trình bày và phân tích trên, chúng tôi chọn đề tài Khung trongkhông gian Hilbert để viết Luận văn Cao học ngành Giải tích Luậnvăn này tập trung vào việc giới thiệu lý thuyết tổng quát về khung trongkhông gian Hilbert và đặc biệt trình bày một loại khung quan trọng, cụthể đó là khung Gabor

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tổng quan về cơ sở lý thuyết khung, khung đối ngẫu,khung đối ngẫu chính tắc và khung Gabor trong không gian Hilbert

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Làm rõ lý thuyết cơ bản của khung trong không gian Hilbert

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Khung, khung đối ngẫu, khung đối ngẫu chínhtắc và khung Gabor trong không gian Hilbert

+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu liên quan đến đốitượng nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cậnvấn đề

Thu thập, tổng hợp các bài báo, công trình nghiên cứu trong và ngoàinước

6 Đóng góp của luận văn

Luận văn là tài liệu tổng quan về lý thuyết khung trong không gianHilbert, khung Gabor, kỹ thuật tìm biên khung trên và dưới tốt nhấtcho khung trong không gian Hilbert

CHƯƠNG1 KHUNG VÀ MỘT VÀI TÍNH CHẤT CƠ BẢN

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Trong chương này ta sẽ giới thiệu về không gian Hilbert, định nghĩakhung trong không gian này, công thức biên khung tốt nhất và một vàitính chất cơ bản của nó Để tránh phải nhắc lại nhiều lần, nếu không nói

gì khác, trong Luận văn này ta ngầm định H là một không gian Hilbertkhả li phức

1.1 Một vài kiến thức chung về khung và cơ sở trong

không gian Hilbert

Mục này dành cho việc giới thiệu tính chất chung, định nghĩa khungtrong không gian Hilbert và một vài ví dụ minh họa khái niệm này.Không gian Hilbert được xét trong luận văn này là không gian Hilbertphức khả li, tức không gian Hilbert phức có cơ sở đếm được Giả sử

ε = {ej}∞j=1 là một họ đếm được các vectơ trong không gian Hilbert H.Khi đó họ ε được gọi là trực chuẩn nếu

ε = {ej}∞j=1 là một cơ sở trực chuẩn của không gian H nếu và chỉ nếu

Với chú ý rằng sự hội tụ của chuỗi này được xét trong H Điều này chỉ

ra rằng vectơ f ∈ H có thể được biểu diễn qua các số hf, eji và các phần

tử của cơ sở trực chuẩn ε Tính chất này là đặc biệt quan trọng trongviệc biểu diễn các phần tử f ∈ H, nhưng với nhiều ứng dụng, người ta

đã tìm cách giảm nhẹ tính trực giao (và ngay cả tính độc lập tuyến tính)của hệ ε Tình huống này dẫn tới khái niệm khung (frame) như sau.Định nghĩa 1.1 Một dãy đếm được các vectơ {fj}∞j=1 trong một khônggian Hilbert H được gọi là khung nếu tồn tại các hằng số A và B,

A được gọi là biên khung dưới còn B được gọi là biên khung trên Rõràng biên khung là không duy nhất

Định nghĩa 1.2 Liên quan đến khung và biên khung, ta có thêm cáckhái niệm sau

(a) Nếu tập các vectơ {fj}∞j=1 là một khung trong không gian Hilbert Hvới các biên dưới và trên tương ứng là A và B sao cho A = B thì khungnói trên được gọi là một khung chặt.

(b) Nếu ta bỏ đi một vectơ bất kỳ trong khung đã cho, mà tập các vectơcòn lại của khung không còn là một khung nữa, thì ta nói đó là mộtkhung thật sự

Như vậy, một cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert là một khungchặt với A = B = 1 và cơ sở trực chuẩn luôn là một khung thực sự

Để hiểu rõ hơn về khung trong không gian Hilbert, ta hãy xét mộtvài ví dụ

Ví dụ 1.1 Giả sử {ej}∞j=1 là một cơ sở trực chuẩn trong không gianHilbert H, bằng cách lặp lại hai lần mỗi vectơ trong {ej}∞j=1 tức

j=1 là một khung chặt trong H với A = B = 2

Ví dụ 1.2 Vẫn với cơ sở trực chuẩn {ej}∞j=1 trong Ví dụ 1.1, nhưng lầnnày ta lặp lại hai lần chỉ riêng mỗi vectơ e1 trong cơ sở nói trên

Vậy {fj}∞j=1 là một khung của H với A = 1 và B = 2.

Ví dụ 1.3 Giả sử {ej}∞j=1 là một cơ sở trực chuẩn trong H như Ví dụ1.1 và 1.2 và lần này ta giả sử

jej lặp lại j lần Khi đó vớimỗi f ∈ H

1.2 Biên khung tốt nhất trong không gian Hilbert

Ta nói biên khung trên tốt nhất là infimum của tất cả các biên khungtrên, biên khung dưới tốt nhất là supremum của tất cả các biên khungdưới

Như vậy biên khung trên tốt nhất β ≥ 0 này thỏa mãn hai điều kiệnsau, mà ta gọi là hai điều kiện đặc trưng của biên khung trên

Biên khung dưới tốt nhất α của dãy khung phải thỏa mãn hai điềukiện sau, mà ta gọi là hai điều kiện đặc trưng của biên khung dưới (c) αkfk2 ≤ P∞j=1| hf, fji |2, ∀f ∈ H;

(d) Nếu có A > 0 thỏa mãn Akfk2≤ P∞j=1| hf, fji |2, ∀f ∈ H thì A ≤ α

Từ đó, ta có biên khung dưới tốt nhất của khung là

(a) Theo tính chất (a) về đặc trưng của biên khung trên tốt nhất, ta có

Vậy ta chỉ cần chỉ ra bất đẳng thức (1.7) Nếu f = 0 thì bất đẳngthức (1.7) hiển nhiên, còn nếu f 6= 0 thì ta cũng có (1.7) do

X

j=1

|h f, fji|2, ∀f ∈ H (1.9)Nếu bất đẳng thức (1.9) đúng, thì từ tính chất (d) về đặc trưng của biênkhung dưới tốt nhất α, ta suy ra A ≤ α và khi đó (1.8) thực sự là mộtđẳng thức, và ta có đẳng thức (1.5) cần chứng minh

Do đó ta chỉ cần kiểm tra bất đẳng thức (1.9) Nếu f = 0 thì bấtđẳng thức (1.9) hiển nhiên, còn nếu f 6= 0 thì ta cũng có (1.9) do

1.3 Một vài tính chất cơ bản của khung

Kết quả quan trọng nhất của mục này là Định lý 1.4 cho thấy rằng,tính chất Parceval cho một cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbertcũng đúng cho khung trong không gian này Nhưng trước hết ta sẽ chỉ rarằng các phần tử của khung {fj}∞j=1 không nhất thiết có chuẩn bằng 1,tuy nhiên chuẩn của chúng bị chặn như được chỉ ra trong Định lý dướiđây

Định lý 1.2 Nếu {fj}∞j=1 là một khung thỏa mãn điều kiện (1.3) thì

kfkk ≤ √B với mọi k ∈ J

Chứng minh Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết fk 6= 0,

vì nếu fk = 0 thì đương nhiên thỏa mãn điều kiện định lý Khi đó với

Định lý 1.3 Nếu {fj}∞j=1 là một khung trong H thì

span{fj}∞

j=1 = H

Chứng minh Đặt M = span {fj : j ∈ J} Ta phân tích

là một khung của H theo Định lý 1.3 nói trên Thật vậy, giả sử với

j0 ∈ N\J, ta lấy ef = ej 0, thì ef ∈ H, nhưng ef /∈ M = span {ej : j ∈ J} vì

e

f = ej0 = X

j∈J

hej 0, ejiej + hej 0, ej0iej 0 = hej 0, ej0iej 0 với j0 ∈ J,/còn M chỉ gồm các vectơ có dạng Pj∈Jhf, ejiej Vậy

M = span {fj : j ∈ J} 6= H

Tuy nhiên theo Định lý 1.3 nói trên {ej}j∈J là một khung của khônggian Hilbert {ej}j∈J

Định nghĩa 1.4 Một khung nhưng không phải là cơ sở của một khônggian Hilbert được gọi là khung thừa (redundancy) hay khung quá đủ(overcomplete)

Khung {fj}∞j=1 trong các Ví dụ 1.1, 1.2 và 1.3 nói trên là các khungthừa (quá đủ)

Nhằm có một bức tranh toàn diện hơn về một hệ cơ sở và khungtrong không gian Hilbert, ta xét thêm một vài kết quả nữa liên quanđến các khái niệm này Theo [3] (Định lý 2 tr.322), nếu {ej}∞

j=1 là một

cơ sở trực chuẩn trong H thì đẳng thức (1.1) và (1.2) tương đương vớinhau Thậm chí có thể nghĩ rằng chỉ khi {ej}∞j=1 là một cơ sở trực chuẩntrong H thì mới có hai đẳng thức (1.1) và (1.2) tương đương với nhau.Tuy nhiên, đối với một không gian Hilbert tổng quát, ta thấy rằng cho

dù hệ {ej}∞j=1 không có giả thiết trực chuẩn, thì hai công thức đó cũngtương đương Đây là một kết luận quan trọng và việc chứng minh nó làmột hình mẫu cho nhiều chứng minh đối với các khẳng định khác Đểviệc chứng minh bớt cồng kềnh, ta chia việc chứng minh thành nhiều bổ

đề nhỏ trước khi đi đến kết luận cần thiết

Bổ đề 1.1 Nếu f, g ∈ H ta luôn có

hf, gi = 1

4(kf + gk2−kf − gk2 + ikf + igk2 − ikf − igk2) (1.11)Đẳng thức trên được gọi là đồng nhất phân cực (Polarization Identily).Chứng minh Với f, g ∈ H, ta có

(a) kf + gk2 = hf + g, f + gi =kfk2 + hg, fi + hf, gi+kgk2

(b) −kf − gk2 = −hf − g, f − gi = −kfk2 + hg, fi + hf, gi−kgk2.

(c) ikf + igk2 = ihf + ig, f + igi = ikfk2 − hg, fi + hf, gi + ikgk2.(d) −ikf − igk2 = −ihf − ig, f − igi = −ikfk2 − hg, fi + hf, gi − ikgk2.Khi cộng bốn đẳng thức (a), (b), (c) và (d) nói trên theo từng vế, tađược

(kf + gk2−kf − gk2 + ikf + igk2 − ikf − igk2) = 4hf, gi

Từ đây ta thu được (1.11)

Thật ra công thức đồng nhất phân cực còn được trình bày tổng quáthơn trong chứng minh dưới đây và kết quả đó sẽ được sử dụng nhiều lầnsau này

Bổ đề 1.2 Giả sử U : H −→ H là một toán tử bị chặn trong khônggian Hilbert Giả thiết rằng hUf, fi = 0 với mọi f ∈ H Khi đó

(i) Nếu H là một không gian Hilbert phức thì U = 0;

(ii) Nếu H là một không gian Hilbert thực và U tự liên hợp thì U = 0.Chứng minh

(i) Nếu H là một không gian Hilbert phức thì bằng cách tính toán tương

tự như Bổ đề 1.1 (hoặc tính toán trực tiếp), với mọi f, g ∈ H ta có

4hUf, gi = hU(f + g), f + gi − hU(f − g), f − gi

+ ihU(f + ig), f + igi − ihU(f − ig), f − igi

Từ đây ta suy ra rằng, nếu hUf, fi = 0 với mọi f ∈ H thì hUf, gi = 0với mọi f, g ∈ H Khi lấy g = Uf, ta có kUfk = 0 với mọi f ∈ H, tức

U = 0

(ii) Trường hợp H là một không gian Hilbert thực thì ta phải dùng cách

tiếp cận khác Giả sử {ek}∞k=1 là một cơ sở trực chuẩn của H, thế thì nó

đủ Khi đó với mọi j, k ∈ N, ta có

0 = hU(ek+ ej), ek+ eji

= hUek, eki + hUej, eji + hUek, eji + hUej, eki

= hUek, eji + hej, U eki = 2hUej, eki

Do {ek}∞k=1 là một hệ đầy đủ và hUej, eki = 0 với mọi k ∈ N, nên

U ej = 0 Lại vì {ej}∞j=1 là một cơ sở trực chuẩn và đẳng thức Uej = 0với mọi j ∈ N, nên theo tính chất tuyến tính của U, ta có U = 0

Bổ đề 1.3 Cho H là không gian Hilbert và giả sử {ej}∞j=1 là một tậpcác vectơ thuộc H Giả sử

và giả sử thêm rằng chuỗi P∞

j=1hf, ejiej hội tụ trong H với mọi f ∈ H.Khi đó

|hf − g, eji|2 = |hf, eji − hg, eji|2

= (hf, eji − hg, eji)(hf, eji − hg, eji)

= |hf, eji|2−hf, ejihg, eji − hg, ejihf, eji + |hg, eji|2

= |hf, eji|2−hf, ejihej, gi − hg, ejihf, eji + |hg, eji|2.Vậy thì

− |hf − g, eji|2= −|hf, eji|2+hf, ejihej, gi + hg, ejihf, eji − |hg, eji|2

(1.16)Tiếp tục

|hf + ig, eji|2 = |hf, eji + hig, eji|2

= (hf, eji + hig, eji)(hf, eji + hig, eji)

= |hf, eji|2+hf, ejihig, eji + hig, ejihf, eji + |hg, eji|2

= |hf, eji|2−ihf, ejihej, gi + ihg, ejihf, eji + |hg, eji|2.Vậy thì

i|hf − ig, eji|2= i|hf, eji|2+hf, ejihej, gi − hg, ejihf, eji + i|hg, eji|2

(1.17)

Cuối cùng

|hf − ig, eji|2 = |hf, eji − hig, eji|2

= (hf, eji − hig, eji)(hf, eji − hig, eji)

= |hf, eji|2−hf, ejihig, eji − hig, ejihf, eji + |hg, eji|2

= |hf, eji|2+ihf, ejihg, eji − ihg, ejihf, eji + |hg, eji|2

Từ đó

− i|hf − ig, eji|2= −i|hf, eji|2+hf, ejihg, eji − hg, ejihf, eji − i|hg, eji|2

(1.18)Với các giá trị thu được từ (1.15) − (1.18) khi thay vào biểu thức của

hf, gi ở (1.14) và khử các số hạng đồng dạng, ta có đẳng thức (1.13) cầnphải chứng minh

Định lý 1.4 Cho không gian Hilbert H và giả sử {ej}∞j=1 là một tập cácvectơ thuộc H Thế thì đẳng thức sau xảy ra

Để chứng minh (1.19) kéo theo (1.20) trước hết ta chỉ ra rằng với mỗi

H thỏa mãn đẳng thức (1.19) với mọi vectơ f ∈ H Ngoài ra, nếu kejk ≥

1 với mọi j = 1, 2, thì {ej}∞j=1 là một cơ sở trực chuẩn của không gianH

Chứng minh Trong đẳng thức (1.19) với f = ej 0, ta có

nên kej 0k = 1 Vì j0 tùy ý nên ta suy ra hệ vectơ nói trên là trực chuẩn

Từ điều kiện (1.19) suy ra {ej}∞

j=1 là một cơ sở trong H, tức nó là một

cơ sở trực chuẩn trong H

Trong Định lý 1.4 ta giả thiết đẳng thức (1.19) đúng cho mọi vectơ

f ∈ H Nhưng thật ra chỉ cần đẳng thức này đúng cho mọi vectơ thuộcmột tập trù mật trong H như được chỉ ra trong định lý dưới đây

Định lý 1.6 Giả sử {ej}∞j=1 là một hệ các vectơ trong không gian Hilbert

H thỏa mãn đẳng thức (1.19) với mọi vectơ f trong một tập trù mật

D ⊂ H Khi đó đẳng thức (1.19) cũng đúng với mọi vectơ f ∈ H

Chứng minh Giả sử f ∈ H và {fn}∞n=1 là một dãy trong D hội tụ tới f,tức

lim

n→∞kf − fnk = 0

Lại do 0 6 |kfk−kfnk| ≤kf − fnk, cho nên lim

n→∞kfnk =kfk Khi đó vớimỗi N ∈ N thì do fn ∈ D, ∀n ∈ N và đẳng thức (1.19), nên

g ∈ D sao cho kf − gk ≤ ǫ Từ đây ta suy ra

Theo nhận xét trên chuỗi P∞

j=1|hg − f, eji|2 hội tụ và theo bất đẳng thức

1.4 Toán tử unitar và khung

Định nghĩa 1.5 Một toán tử tuyến tính bị chặn U : H −→ H đượcgọi là unitar nếu

Chứng minh Thật vậy, giả sử f ∈ H Do U∗U = I nên

kfk2 = hf, fi = hU∗U f, f i = hUf, Ufi =kUfk2

Từ đó

kfk =kUfk

Tương tự do UU∗ = I nên

kfk =kU∗f k

Vậy đẳng thức (1.25) được chứng minh

Định lý dưới đây sẽ được ứng dụng trong Chương 3, nhưng tự nó đãmang nhiều ý nghĩa

Định lý 1.7 Nếu U : H −→ H là toán tử unitar, còn {fk}∞k=1 là mộtkhung trong không gian Hilbert H Khi đó {Ufk}∞k=1 cũng là một khungtrong H

Chứng minh Giả sử {fk}∞

k=1 là một khung trong không gian Hilbert H

Do U∗ là toán tử liên hợp của U cho nên với mọi f ∈ H ta có

CHƯƠNG2 TOÁN TỬ KHUNG VÀ TOÁN TỬ KHUNG ĐỐI

NGẪU

Chương 2 dành cho việc mô tả quá trình xây dựng toán tử khung,toán tử khung đối ngẫu và xét một vài tính chất quan trọng của chúng.Toán tử khung và toán tử khung đối ngẫu được xây dựng trên cơ sở mộtkhung đã cho trong không gian và chúng là liên hợp của nhau, sẽ thấytrong Định lý 2.4 Khi đó mỗi vectơ của các không gian Hilbert đượcbiểu diễn dưới dạng một chuỗi qua các phần tử của khung Các kiếnthức trình bày trong chương này có thể tìm thấy trong [4], [5], [6], [8], [9]

và [10]

2.1 Toán tử khung

Mục này trình bày cách thức xây dựng một toán tử khung của mộtkhung cho trước trong không gian Hilbert Ta sẽ thấy toán tử khung Sđược xây dựng là một toán tuyến tính dương liên tục và tự liên hợp.Ngoài ra nó còn là toán tử khả nghịch, tức tồn tại S−1 : H −→ H saocho S−1S = SS−1 = I, ở đây I là toán tử đồng nhất trong H Với toán

tử khung này, ta sẽ xây dựng được một khung đối ngẫu của một khungcho trước để biểu diễn các vectơ trong một không gian Hilbert thànhchuỗi các vectơ như sẽ thấy ở mục sau

Trước khi giới thiệu về toán tử khung, ta sẽ bàn kỹ hơn về khung vàđặc biệt về khung chặt, vì chúng sẽ dẫn tới khái niệm toán tử khung mà

ta muốn trình bày

Giả sử {fj}∞j=1 là một khung chặt trong không gian Hilbert H và giả

sử kfj 0k > 1 với một j0 ∈ N nào đó, thì tồn tại A > 0 sao cho

Ta biết rằng trong một không gian Hilbert H, nếu hệ các vectơ {fj}∞j=1

là một hệ trực chuẩn thì mọi f ∈ H có thể biểu diễn qua các hệ số{hf, fji}∞j=1 Bây giờ ta xét trường hợp hệ này là một khung chặt, khi

Định lý 2.1 Giả sử {fj}∞j=1 là một khung chặt trong không gian Hilbert

H, tức tồn tại A > 0 sao cho

∞

X

j=1

hf, fjifj

Vậy đẳng thức (2.1) được chứng minh

Bây giờ ta tìm cách biểu diễn các vectơ f ∈ H qua khung trong trườnghợp tổng quát, tức qua khung bất kỳ nói chung không phải khung chặt

và ta sẽ dẫn tới khái niệm toán tử khung được xây dựng sau này Tanhắc lại một vài khái niệm

Ta gọi không gian các số phức bình phương khả tổng l2 là tập

Định lý 2.2 Toán tử phân tích T : H −→ l2 là một toán tử tuyến tínhliên tục.

Chứng minh Từ định nghĩa ta thấy ngay toán tử phân tích là một toán

tử tuyến tính Ngoài ra với f ∈ H, theo định nghĩa của toán tử phântích và khung ta có

Điều này có nghĩa toán tử phân tích liên tục (vì nó bị chặn) và kT k ≤

√

B

Bây ta cần tạo thêm một số bước chuẩn bị nữa để đi đến định nghĩatoán tử khung Ta sẽ nhắc lại khái niệm liên hợp một toán tử tuyến tínhliên tục Giả sử T : K −→ H là một toán tử tuyến tính liên tục từ khônggian Hilbert H vào không gian Hilbert K Gọi h., iH và h., iK lần lượt làcác tích trong trên các không gian H và K Dễ dàng thấy rằng với mỗi

Định lý 2.3 Toán tử liên hợp T∗ : H −→ K là một toán tử tuyến tínhliên tục

Chứng minh Giả sử g, h ∈ H và α, β ∈ C, ta sẽ chỉ ra rằng

T∗(αg + βh) = αT∗g + βT∗h (2.6)

Giả sử f ∈ K, theo định nghĩa của T∗ và tính chất của tích trong, ta có

Bây giờ ta chỉ ra T∗ liên tục Với f ∈ H, theo Định lý Riesz và côngthức tính chuẩn của một phiếm hàm tuyến tính, ta có