Phép tính xấp xỉ trong không gian hilbert

Một trong những khái niệm mới đó là “dưới vi phânxấp xỉ” cho hàm nửa liên tục dưới trong không gian Hilbert, mà được địnhnghĩa dựa vào khái niệm “vec-tơ pháp xấp xỉ” của tập trên đồ thị

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

TRẦN VĂN PHƯỚC

PHÉP TÍNH XẤP XỈ

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS HUỲNH THẾ PHÙNG

Đà Nẵng - 2017

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu tổng quan củatôi, các kết quả trong luận văn này được tổng hợp từ những tài liệu cónguồn gốc rõ ràng dưới sự hướng dẫn của PGS TS Huỳnh Thế Phùng.

Vì vậy tôi xin khẳng định đề tài luận văn: Phép tính xấp xỉ trong khônggian Hilbert không có sự trùng lặp với bất kỳ đề tài luận văn nào

Đà Nẵng, tháng 8 năm 2017

Tác giả

Trần Văn Phước

Lời đầu tiên của luận văn tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tớithầy giáo hướng dẫn PGS.TS Huỳnh Thế Phùng đã tận tình hướng dẫntôi trong suốt quá trình thực hiện để tôi có thể hoàn thành được luận vănnày.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy côgiáo của trường đại học Sư phạm Đà Nẵng đã tận tình dạy bảo tôi trongsuốt thời gian học tập của khóa học Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơnđến các anh chị trong lớp cao học giải tích K31 đã nhiệt tình giúp đỡ tôitrong quá trình học tập

Tác giả

Trần Văn Phước

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN HILBERT 4

1.1 Không gian tiền Hilbert 4

1.2 Không gian Hilbert và phép chiếu 7

1.3 Đặc trưng của điểm chiếu lên một tập đóng 11

CHƯƠNG 2 NÓN PHÁP XẤP XỈ 13

2.1 Định nghĩa và ví dụ 13

2.2 Trường hợp tập lồi 15

2.3 Trường hợp đa tạp khả vi 15

CHƯƠNG 3 DƯỚI GRADIENT XẤP XỈ 17

3.1 Các định nghĩa và ví dụ 17

3.2 Các khái niệm đạo hàm cổ điển 19

3.3 Đặc trưng của dưới gradient xấp xỉ 20

3.4 Quan hệ với các khái niệm đạo hàm 24

3.5 Các phép toán cơ bản 27

3.6 Tính khả dưới vi phân trù mật 28

CHƯƠNG 4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG 30

4.1 Tổng chập cực tiểu với hàm toàn phương 30

4.2 Dưới vi phân xấp xỉ của hàm fα 31

4.3 Các nguyên lí tối ưu hóa 33

4.4 Dưới vi phân xấp xỉ của hàm khoảng cách 35

4.5 Trường hợp hàm Lipzchitz 36

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cùng với sự phát triển vượt bậc của toán học ứng dụng, nhiều bài toánthực tế liên quan đến lý thuyết tối ưu, hệ phương trình đòi hỏi các công

cụ mới của giải tích không trơn khi mà các công cụ của giải tích cổ điển

và giải tích lồi không đáp ứng được Vì vậy, xuất hiện ngày càng nhiềucác khái niệm mở rộng về phép tính vi phân của hàm không khả vi, thậmchí là không liên tục Một trong những khái niệm mới đó là “dưới vi phânxấp xỉ” cho hàm nửa liên tục dưới trong không gian Hilbert, mà được địnhnghĩa dựa vào khái niệm “vec-tơ pháp xấp xỉ” của tập trên đồ thị của hàmsố

Như chúng ta đã biết, nếu f là hàm số khả vi tại một điểm x thì

(f0(x), −1) là vec-tơ pháp của epi f tại điểm (x, f (x)) Sử dụng ý tưởngnày, trước hết người ta định nghĩa khái niệm “vec-tơ pháp xấp xỉ” và sau

đó là “dưới vi phân xấp xỉ”

Cụ thể, nếu S là một tập đóng trong không gian Hilbert X và s ∈ S

thì v được gọi là vec-tơ pháp xấp xỉ của S tại s nếu tồn tại số dương t

đủ bé sao cho s là điểm chiếu của điểm s + tv lên S Bây giờ cho f làmột hàm nửa liên tục dưới trên một không gian Hilbert X, ta nói u ∈ X

là một dưới gradient xấp xỉ của f tại x nếu (u, −1) là một vec-tơ phápxấp xỉ của tập epi f tại điểm (x, f (x)) Tập hợp tất cả các dưới gradientxấp xỉ của f tại x được gọi là dưới vi phân xấp xỉ của f tại điểm đó Đây

là một khái niệm mới mà trùng với khái niệm dưới vi phân khi f lồi Sửdụng khái niệm vi phân mới này, chúng ta nhận được nhiều kết quả thú vị

về điều kiện cực trị của bài toán tối ưu hạn chế trên không gian Hilbert.Ngoài ra, việc khảo sát vi phân của hàm khoảng cách đến một tập hợpcũng thuận lợi hơn rất nhiều

Qua việc nghiên cứu các khái niệm vec-tơ pháp xấp xỉ, dưới vi phân

xấp xỉ cùng các ứng dụng của chúng, em hy vọng rằng, ngoài việc rènluyện thêm các kỹ năng về toán, em sẽ tự trang bị cho mình một công cụmới thay thế cho các khái niệm vi phân cổ điển để giải quyết nhiều bàitoán thực tế ngày càng phức tạp Vì vậy, được sự đồng ý hướng dẫn củaPGS Huỳnh Thế Phùng, em chọn đề tài “Phép tính xấp xỉ trong khônggian Hilbert” cho luận văn thạc sĩ của mình.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu khái niệm nón pháp xấp xỉ và từ đó tiến đến khái niệm dưới

vi phân xấp xỉ của các hàm nửa liên tục dưới trên không gian Hilbert, cùngmột số ứng dụng của chúng trong nghiên cứu lý thuyết tối ưu và khảo sáthàm khoảng cách

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Giải tích không trơn trong không gian Hilbert, phép tính xấp xỉ trongkhông gian Hilbert

4 Phương pháp nghiên cứu

Với đề tài: “Phép tính xấp xỉ trong không gian Hilbert” tôi đã sửdụng các phương pháp nghiên cứu sau: Nghiên cứu các tài liệu liên quanđến đề tài, bao gồm các tài liệu kinh điển và các bài báo mới, tổng hợp vàtrình bày báo cáo tổng quan Tham khảo, trao đổi với cán bộ hướng dẫn

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Tổng hợp tài liệu để có một báo cáo tổng quan khá đầy đủ về các phéptính vi phân xấp xỉ trong không gian Hilbert

Bổ sung các ví dụ, hình ảnh và các chứng minh chi tiết

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 4 chương:

Chương 1: Không gian Hilbert

Trong chương này, tôi trình bày các định nghĩa, định lý cơ bản về giảitích hàm và giải tích lồi bao gồm khái niệm không gian Hilbert, đặc điểmcủa chuẩn Euclide, hàm khoảng cách đến một tập đóng và ánh xạ chiếu

Chương 3: Dưới gradient xấp xỉ.

Trong chương này, luận văn sẽ trình bày lại một số khái niệm cơ bảndưới gradient trong giải tích lồi và giải tích Lipschitz, từ đó đưa ra kháiniệm cho hàm nửa liên tục dưới, những đặc trưng của dưới gradient xấp xỉcũng như mối quan hệ với các khái niệm đạo hàm cổ điển Ngoài ra trongchương này luận văn cũng nêu ra một số phép toán cơ bản của dưới viphân xấp xỉ và tính khả dưới vi phân trù mật

Chương 4: Một số ứng dụng

Trong chương cuối cùng, tôi sẽ khảo sát những ứng dụng của dưới viphân xấp xỉ của các hàm là tổng chập cực tiểu với hàm toàn phương, hàm

fα, hàm khoảng cách và hàm Lipschitz

CHƯƠNG1 KHÔNG GIAN HILBERT

Trong chương này, tôi trình bày một số định nghĩa và định lý của giảitích hàm có liên quan đến luận văn Trình bày các kiến thức chuẩn bị, gồmkhái niệm không gian Hilbert, đặc điểm của chuẩn Euclide, điểm chiếu,hàm khoảng cách đến một tập đóng và ánh xạ chiếu lên một tập đóng.1.1 KHÔNG GIAN TIỀN HILBERT

Định nghĩa 1.1.1 (Tích vô hướng) Cho X là một không gian vectơ trêntrường số thực R Tích vô hướng trên X là một ánh xạ h·, ·i : X × X → R,

xác định như sau:

(x, y) ∈ X × X 7→ hx, yi ∈ R,

thỏa mãn các điều kiện sau đây:

1) Với mọi x ∈ X, ta có hx, xi ≥ 0 Ngoài ra, hx, xi = 0 ⇔ x = 0

2) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ X

3) hx + z, yi = hx, yi + hz, yi , ∀x, z, y ∈ X

Số thực hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y Cặp

(X, h., i) được gọi là không gian tiền Hilbert

đó là điều cần phải chứng minh.

Nếu X là không gian tiền Hilbert thì k · k xác định bởi

Mà theo (1.1) ta có hx, yi ≤ kxkkyk Vì vậy,

kx + yk2 ≤ kxk2 + 2kxkkyk + kyk2 = (kxk + kyk)2,

mà từ đó suy ra bất đẳng thức tam giác

Định lí 1.1.3 Cho (X, h·, ·i) là một không gian tiền Hilbert Khi đó

là một hàm liên tục trên X × X

Chứng minh Lấy các dãy {xn},{yn} trong X lần lượt hội tụ về x, y tức

|hxn, yn − yi| + |hxn− x, yi| ≤ kxnk kyn − yk + kxn− xk kyk

Cộng hai đẳng thức trên, vế theo vế, ta nhận được (1.2)

Hệ quả 1.1.5 (Đẳng thức Apollonius) Với mọi x, y, z ∈ X ta có đẳng

1.2 KHÔNG GIAN HILBERT VÀ PHÉP CHIẾU

Như đã nói ở trên, một không gian tiền Hilbert X cũng là không gianđịnh chuẩn, với chuẩn được xác định bởi (1.1) Với chuẩn này, không giantiền Hilbert là đầy đủ thì ta gọi X là không gian Hilbert Các không gian

Rn và l2 với tích vô hướng nói đến trong mục trước đều là các không gianđầy đủ, nên đều là không gian Hilbert Từ nay về sau ta luôn giả thiết X

là một không gian Hilbert trên trường số thực

Định nghĩa 1.2.1 Cho S là một tập con khác rỗng của X và x ∈ X.Khoảng cách dS(x) từ điểm x đến tập S được định nghĩa như sau:

Lúc đó, hình chiếuprojS(x)là tập hợp các điểm chiếu của một điểmx ∈ R2

lên S được xác định bởi:

{(0, min{1, x2})}, x2 ≥ 0 > x1,

Mệnh đề 1.2.3 Giả sử S và T là các tập khác rỗng trong X Lúc đó1) dS(x) = dS(x), ∀x ∈ X,

3) dS(x) = dT(x), ∀x ∈ X ⇔ S = T ,

4) |dS(x) − dS(y)| ≤ kx − yk , ∀x, y ∈ X

Chứng minh (1) Do S ⊂ S nên dS(x) ≤ dS(x) với mọi x ∈ X

Đặt α = dS(x), với mọi ε > 0, tồn tại y ∈ S sao cho

(3) (⇒) Giả sử dS(x) = dT(x)

Với mọi x ∈ S ⇔ dS(x) = 0 ⇔ dT(x) = 0 ⇔ x ∈ T vậy S = T

(⇐) Ngược lại S = T Lúc đó

Theo (1) đã chứng minh trên thì dS(x) = dS(x) và dT(x) = dT(x) nên

dS(x) = dT(x) từ đây ta suy ra,

dS(x) = dT(x)

Vậy dấu tương đương xảy ra

(4) Đặt α = dS(x), β = dS(y) ta có,

∀ε > 0, ∃s ∈ S : kx − sk < α + ε

Mệnh đề 1.2.4 Nếu S là tập lồi đóng khác rỗng trong X, thì với mọi

thể viết s = projS(x) Hơn nữa, điểm chiếu của x được đặc trưng bởi tínhchất sau:

Dãy(sk) như thế là bị chặn (vì dãy (x − sk) bị chặn mà kskk ≤ kxk +

kx − skk) nên tồn tại một dãy con (s0k) hội tụ về một điểm s ∈ S Lúc đódãy (kx − sk0k) đồng thời hội tụ vềkx − skvàdS(x), nênkx − sk = dS(x)

hay s ∈ projS(x)

Để chứng minh (1.5) trước hết ta nhận xét rằng, với mọi x ∈ X\S, ta

có projS(x) ⊂ ∂S vì vậy dấu "⊂" trong (1.5) là hiển nhiên Bây giờ lấy

một điểm s ∈ ∂S tùy ý Chọn (xk) ⊂ X\S là dãy hội tụ đến s và, với mỗi

S Mệnh đề dưới đây sẽ cho chúng ta một đặc trưng đầy đủ của điểm chiếulên tập đóng

Mệnh đề 1.3.1 ChoS ⊂ X, x ∈ X và s ∈ S Các điều sau tương đương:1) s ∈ projS(x),

2ks0− sk2, ∀ s0 ∈ S, ∀t ∈ [0, 1]

⇒ h(s + t(x − s)) − s, s0 − si ≤ 1

2ks0− sk2

CHƯƠNG2 NÓN PHÁP XẤP XỈ

2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ

Định nghĩa 2.1.1 Cho x ∈ X, s ∈ projS(x) Ta gọi các vectơ có dạng

ξ = t (x − s), t ≥ 0 là vectơ pháp tuyến xấp xỉ của S tại s Và tập

là nón xấp xỉ của S tại s

Từ định nghĩa này ta thấy NSP(s) thực sự là một nón chứa gốc và,

Hơn nữa, nếu s ∈ S không phải là điểm chiếu của bất kỳ một điểm x nào

nằm ngoài S thì NSP(s) = {0} Để tiện làm việc ta quy ước NSP(s) = ∅

khi s /∈ S

Ví dụ 2.1.2 Cho tập hợp

Tại các điểm (x, 0) với x < 0 ta thấy chỉ các vectơ dạng ξ = (0, β) với

NSP(x, 0) = {(0, β)|β ≤ 0}

Tương tự, tại điểm (0, y), y < 0 ta có

NSP(0, y) = {(α, 0)|α ≤ 0}

Đặc biệt không có điểm(x, y)nào ngoàiS nhận (0, 0)làm điểm chiếu lênS

nênNSP(0, 0) = {(0, 0)}.Cuối cùng, tại mọi điểm trongs = (x, y) (x > 0 và y > 0)

ta có NSP(x, y) = {(0, 0)}

Mệnh đề 2.1.3 Cho S ⊂ X, s ∈ S Khi đó

a) ξ ∈ NSP(s) khi và chỉ khi tồn tại σ(ξ, s) ≥ 0 sao cho

b) ξ ∈ NSP(x) khi và chỉ khi tồn tại δ > 0 và σ0(ξ, s) ≥ 0 sao cho

Vậy (2.3) thỏa mãn nên ξ ∈ NSP(s)

Từ Mệnh đề 2.1.3 ta thấy nón pháp xấp xỉ có tính chất địa phương.Nếu s ∈ S1∩ S2 thì hai nón pháp tuyến xấp xỉ NS1(s) và NS2(s) sẽ trùngnhau nếu hai tập S1 và S2 trúng nhau trong một lân cận của s Các bấtđẳng thức (2.3) và (2.4) được gọi là bất đẳng thức pháp tuyến xấp xỉ

Hệ quả 2.1.4 NSP(s) là nón lồi chứa gốc

Chứng minh Từ định nghĩa (hoặc từ (2.3)) ta thấy ngay NSP(s) là mộtnón chứa gốc Để chứng minh tính lồi chúng ta lấyξ1, ξ2 ∈ NP

S (s) và chứngminh ξ1 + ξ2 ∈ NP

S (s) Theo Mệnh đề 2.1.3, tồn tại σ1, σ2 ≥ 0 sao cho

2.2 TRƯỜNG HỢP TẬP LỒI

Mệnh đề 2.2.1 Cho S là tập lồi trong X Khi đó

a) ξ ∈ NSP(s) khi và chỉ khi hξ, s0 − si ≤ 0 với mọi s0 ∈ S Nói cáchkhác,

NSP(s) = NS(s)

b) Nếu X hữu hạn chiều thì NSP(s) 6= {0} với mọi s ∈ ∂S

Chứng minh a) Ta sẽ chứng minh điều kiện cần Lấy tùy ý ξ ∈ NSP(s).Theo Mệnh đề 2.1.3, (2.3) nghiệm đúng với một σ ≥ 0 nào đó Do S lồinên st = ts0 + (1 − t)s ∈ S với mọi s0 ∈ S và t ∈ (0, 1), vì vậy

hξ, st − si ≤ σkst − sk2, ∀t ∈ (0, 1),

hay

thξ, s0− si ≤ t2σks0 − sk2, ∀t ∈ (0, 1)

Chia hai vế cho t và cho t tiến về 0 ta nhận được hξ, s0 − si ≤ 0

b) Nếu int(S) = ∅ thì tồn tại siêu phẳng H ⊃ S Do H là siêu phẳngtồn tại 0 6= ξ ∈ X và α ∈ R sao cho

H = {x ∈ X|hξ, xi = α}

Vì hξ, s0− si = 0 với mọi s0 ∈ S, ta có ξ ∈ NS(s) Vậy NS(s) 6= {0} Nếu

thì tồn tạiξ 6= 0tách svàint(S), tức làhξ, s0− si ≤ 0 với mọiy0 ∈ int(S)

Từ đây suy ra hξ, s0− si ≤ 0 với mọi s0 ∈ S Nghĩa là ξ ∈ NS(s)

Chứng minh a) Lấy ξ ∈ NSP(s) Theo Mệnh đề 2.1.3, tồn tại σ > 0 saocho (2.3) thỏa mãn Khi đó s là nghiệm của bài toán

với I là ma trận đơn vị Do (2.6) nên ∇g(s) = 0 Mặt khác, nếu chọn σ

đủ lớn thì ∇2g(s) xác định dương, nên g sẽ nhận s làm điểm cực tiểu địaphương nghĩa là tồn tại δ > 0 sao cho

g(s) ≤ g(x); ∀x ∈ B(s, δ)

Suy ra

−hξ, si = g(s) ≤ g(s0) = −hξ, si + σks0 − sk2, ∀s0 ∈ B(s, ξ) ∩ S

Vậy (2.3) thỏa mãn, kéo theo ξ ∈ NSP(s)

Như vậy ta thấy rằng khái niệm pháp tuyến xấp xỉ cũng là một mở rộngcủa hướng pháp tuyến đối với C2−đa tạp trong hình học vi phân

CHƯƠNG3 DƯỚI GRADIENT XẤP XỈ

Ta có, f nửa liên tục trên tại x nếu −f là nửa liên tục dưới tại x

Nếu f là nửa liên tục dưới tại mọi điểm x trong tập mở U ⊂ X thì

f được gọi là nửa liên tục dưới trong U (tương tự cho f là nửa liên tụctrên hoặc liên tục) Trong chương này ta vẫn sử dụng các ký hiệu và địnhnghĩa sau:

Cho hàm f : X → R = [−∞, ∞], ta kí hiệu epif và domf lần lượt làtập trên đồ thị và miền hữu hiệu của hàm f Tức là

domf := {x ∈ X | f (x) < +∞},grf := {(x, f (x)) | x ∈ domf } ,epif := {(x, r) ∈ dom f ×R | r ≥ f (x)}

Cho S là tập con của X Hàm chỉ của S được ký hiệu là IS(.) được xácđịnh là:

Chú ý rằng:

• Hàm f là hàm lồi thì domf là tập lồi

h(x, r) , (x0, r0)i := hx, x0i + rr0

Trong mục này chúng ta sẽ đưa ra một khái niệm vi phân cho hàm nửaliên tục dưới dựa vào sự gợi ý của các kết quả sau trong giải tích lồi vàgiải tích Lipschitz

Mệnh đề 3.1.1 (Đối với hàm lồi) Cho f là hàm lồi trên X và x0 ∈ X

vi phân xấp xỉ của f tại x Vậy,

Đặt S=epif Bằng cách xét trực tiếp ta được NSP(0, 0) = {(0, 0)} Vì vậy,không tồn tại ξ để (ξ, −1) ∈ NSP(0, f (0)) Nghĩa là ∂Pf (0) = ∅ Tại x = 1

ta có f (1) = −1 Xét trực tiếp ta cóN (1, −1) = {(λ, λ) |λ ≤ 0} Do đó để

(ξ, −1) ∈ NSP(1, f (1))điều kiện cần và đủ làξ = −1 Vậy∂Pf (1) = {−1}.Tương tự tại x = −1 ta có f (−1) = −1 và NSP(−1, −1) = {(λ, −λ)|λ ≥0} Vì vậy ∂Pf (−1) = {1}

3.2 CÁC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM CỔ ĐIỂN

Đạo hàm theo hướng của f tại x ∈ domf theo hướng v ∈ X được xácđịnh bởi:

với vế phải là véc tơ 0 ∈ Y

Giả sử f, g : X → R có đạo hàm Fréchet tại x ∈ X Khi đó f ± g, f g

và f /g (với g(x) 6= 0) đều có đạo hàm Fréchet tại x và

(f ± g)0(x) = f0(x) ± g0(x) ,(f g)0(x) = f0(x) g (x) + f (x) g0(x) ,

fg

Giả sửf ∈ F (x) khả vi Gâteaux trên một tập mởU chứa đoạn[x, y] :=

z = tx + (1 − t)y, t ∈ (0, 1) sao cho

Giả sử U ⊆ X là mở và f : U → R là khả vi Fréchet trên U Nếu

thì f ∈ C1(U )

Giả sử f0 : U → X là ánh xạ khả vi Fréchet trên U thì đạo hàm của f0

tại x ∈ U ta kí hiệu là f00(x) ∈ L(X, X) Với mỗi x ∈ U, tồn tại lân cận

Bổ đề 3.3.1 Cho f ∈ F và x, y ∈ X Xét hàm g : [0, 1] → R xác định

bởi

g(t) := f (x + t (y − x)) , t ∈ [0, 1]

Lúc đó, nếu f khả vi Gâteaux thì g cũng có đạo hàm trên (0,1) và

g0(t0) = hy − x, f0G(x + t0(y − x))i, ∀t0 ∈ (0, 1) (3.3)Nếu f khả vi đến cấp hai thì g cũng vậy Hơn nữa,

g00(t0) = hy − x, f00(x + t0(y − x)(y − x))i, ∀t0 ∈ (0, 1) (3.4)Chứng minh Nếu f có đạo hàm Gâteaux thì

Hệ quả 3.3.2 Cho f ∈ F khả vi Gâteaux trên tập mở U ⊂ X Xét

x, y ∈ U, x 6= y sao cho [x, y] ⊂ U Khi đó có z ∈ (x, y) ⊂ U sao cho

Chứng minh Áp dụng Định lý Lagrange cho hàm g trên đoạn [0,1] tồn tại

t0 ∈ (0, 1) sao cho

g(1) − g(0) = g0(t0)

Hệ quả 3.3.3 Giả sử f khả vi liên tục đến cấp 2 trên tập mở U và

[x, y] ⊂ U với x 6= y Lúc đó tồn tại một điểm z ∈ (x, y) sao cho

f (y) = f (x) + hy − x, f0(x)i + 1