Toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục trong không gian hilbert và ứng dụng vào phương trình vi phân

--- Trương Thị Dung TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH HOÀN TOÀN LIÊN TỤC TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 64 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ

-

Trương Thị Dung

TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH HOÀN TOÀN LIÊN TỤC

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 64 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS LÊ HOÀN HOÁ

Thành phố Hồ Chí Minh − 2006

Trang Mở đầu: Kiến thức chuẩn bị 1

Chương 1: Toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục trong không gian Hilbert 7

Chương 2: Áp dụng toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục vào bài toán biên 21

Bài toán Sturm – Liouville 21

Bổ đề 2.1 (định lý Rayleigh – Ritz Minization) 25

Bài toán Mix Boundary 27

Bổ đề 2.2 30

Bổ đề 2.3 31

Bài toán Newmann 31

Bài toán Periodic 35

Bài toán Borh 38

Chương 3 : Độ khả vi của nghiệm của bài toán biên kỳ dị 41

Định lý 3.1 41

Định lý 3.2 44

Định lý 3.3 56

Kết luận 61

MỞ ĐẦU

Phương trình vi phân là lĩnh vực được nhiều nhà khoa học nghiên cứu và nhiều cuốn sách trình bày cả lý thuyết lẫn ứng dụng Nó có ứng dụng to lớn trong khoa học cũng như trong thực tiễn Trong luận văn này chúng tôi đề cập tới hai vấn đề chính:

Thứ nhất: Hệ thống lại lý thuyết về kết quả của toán tử tuyến tính

hoàn toàn liên tục, bị chặn A từ không gian D(A) vào không gian Hilbert

H, kết quả tốt nhất được trình bày ở định lý 1.9 và 1.10 Trong đó đã đưa ra

được tập các giá trị riêng trực giao λ ∈i(i ) của A và các không gian

riêng trực giao tương ứng λ

Tất cả các bài toán trên đều thoả mãn lý thuyết toán tử nên một

nghiệm bất kỳ của bài phương trình đều được tính qua các nghiệm trực

giao của nó dạng: [ ]

Thứ hai: Áp dụng giá trị riêng đầu tiên trong các bài toán trên vào việc đánh giá độ khả vi của nghiệm của bài toán biên kỳ dị:

trong đó f(t,y) là hàm liên tục từ [ ]0,1 ×(0,∞ →) (0,∞) với điều kiện

nhóm giả thiết thuần nhất : ( ) ( )

⎧⎪

⎪⎩

có khả vi cấp hai hay không?

Luận văn bao gồm:

¾ Mở đầu, giới thiệu chung về đề luận văn và các kiến thức chuẩn bị

¾ Chương 1, trình bày các kết quả của toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục A

¾ Chương 2, trình bày áp dụng của chương 1 vào các bài toán biên (S – L), (N), (B),

¾ Chương 3, trình bày độ khả vi của nghiệm của bài toán biên kỳ dị

¾ Phần kết luận nêu những kết quả và đặt vấn đề có thể mở rộng cho bài toán giá trị biên kỳ dị với điều kiện không thuần nhất, hay điều kiện (B)

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến PGS.TS Lê Hoàn Hoá, khoa Toán – Tin Trường ĐH Sư Phạm

Tp.HCM, người thầy đã giảng dạy và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô khoa Toán – Tin Trường ĐH

Sư Phạm Tp.HCM, các thầy cô khoa Toán – Tin Trường ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM đã tham gia giảng dạy tôi trong suốt khoá học này, các thầy cô ở phòng sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi, cũng như Anh Trần Văn Toàn và các anh chị cùng lớp đã giúp đỡ tôi trong quá trình đánh máy luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy Nguyễn Văn Tấn, TS Phan Dân, cùng các thầy cô, các bạn đồng nghiệp trường ĐH Giao thông Vận tải Tp.HCM đã động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này

CÁC KẾT QUẢ CƠ BẢN

1 Các khái niệm cơ bản:

1.1 Định nghĩa 1 Cho X Y, là các không gian Hilbert (X ⊂Y), cùng tích vô hướng ,

1.1.1 Toán tử liên tục A X: →Y được gọi là compact nếu A(X) chứa trong một tập compact của Y

1.1.2 Toán tử liên tục A X: → Y được gọi là hoàn toàn liên tục nếu ảnh của các tập bị chặn chứa trong một tập compact của Y

1.1 3 Toán tử tuyến tính A được gọi là đối xứng nếu

Lúc đó toán tử được xác định bởi P M (x) = x * được gọi là

∑ ∑ đúng với mọi họ{ (a b i, i);i=1,n} các

khoảng không giao nhau Ký hiệu: AC(a,b)

1.1.7 C 0,1( )={f : 0,1( )→ ,liên tục trên 0,1 ( ) }

C 0,1[ ]={f : 0,1[ ]→ ,liên tục trên 0,1 [ ] }

Nếu tại điểm x thì hệ hàm độc lập tuyến tính

Nếu thì hệ hàm phụ thuộc tuyến tính

= ∀ ∈

1.2.2 Hai hàm y1 (x), y 2 (x) độc lập tuyến tính, khả vi trên [0,1] hàm Green

được xác định như sau:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 Các định lý cơ bản:

2.1 Định lý Arzela - Ascoli

Cho X là không gian Mêtric compact, ta ký hiệu CK (X) là tập hợp các hàm

liên tục f: X →K K( = ; ) với chuẩn trong không gian CK (X) được xác

2.2 Bất đẳng thức Holder

2.2.1 Dạng tổng Với p > 1, q > 1thoả mãn 1 + =1 1thì:

2.3 Bất đẳng thức Schwartz

E là không gian Euclide, khi đó: ∀u v, ∈E u v, ≤ u v

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x,y phụ thuộc tuyến tính

2.4 Bất đẳng thức hình bình hành: E là không gian Euclide, khi đó:

∀u v∈E x − y ≤ +x y ≤ x − y

Chương 1: TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH HOÀN TOÀN LIÊN TỤC

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Trong chương này chúng tôi đề cập tới toán tử tuyến tính đối xứng, hoàn toàn liên tục A từ D(A) vào H, trong đó H là không gian Hilbert và

D(A) là không gian con trù mật trong H, Nghiên cứu giá trị riêng λ của A, véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ,và Hλ là không gian riêng tương ứng với giá trị riêng Tiếp sau đó lần lượt thêm các tính chất cho toán tử

A thì ta thu được một dãy các giá trị riêng

λ

( 1, 2, )

i i

λ = , tương ứng ta sẽ thu được tương ứng các không gian riêng H (i 1, 2, )

i

λ = Cuối cùng ta được hình ảnh của ( 1, 2, )

là một giá trị thực

Tất cả các giá trị riêng của là giá trị thực

ii/ Nếu A bị chặn trên và ∃ ∈u D A( ), với mỗi ( )

= là giá trị riêng nhỏ nhất

Thật vậy: *Nếu cho bất kỳ v0∈D A( ) và cho bất kỳ số ε∈ ta có:

Thật vậy từ R u v A u v u v

u v u v

+ ε + ε+ ε =

+ ε + ε

do tính đối xứng của v

do trù mật trong

là một giá trị riêng của và là một vectơ riêng tương ứng

ii/ Chứng minh hoàn toàn tương tự

Chú ý1.1 Nếu - A là toán tử tuyến tính đối xứng và bị chặn dưới

thì - UE(A) cũng là giá trị riêng bé nhất của - A

Nếu thì điều trên hiển nhiên đúng.

Như vậy kết hợp 1.1 là sup

tu , D A) là không gian con trù mật trong H

A

Thật vậy: Ta biết rằng bị chặn cho nên ảnh của

chứa trong một tập Compac trong Do đó tồn tại

có dãy con hội tụ

øo hội tụ

Điều này mâu t

vectơ ảnh không chứa một dãy con nahuẫn với 1.8 Vậy là toán tử bị chặn

k

Au

A

có toán tử thoả mãn giả thiết định lý 1.5 nên t

toàn liên tu

A

{ }

là dãy hội

Định lý 1.7 Giả sử A: D A( )→H là một toán tử tuyến tính đối xứng

hoàn toàn liên tục,D(A) là không gian con trù mật trong H thì một trong hai số A hoặc −A là giá trị riêng của A

Chứng minh: Ta đã biết A =max{UE A( );−LE A( )}

Do H là không gian Hilbert, D(A) trù mật trong H nên D(A) là không gian con đóng trong H Mỗi phần tử h H∈ thì có sự phân tích một cách duy nhất dạng: *

, trong đó và x* ⊥

Giả sử là một toán tử tuyến tính đối xứng, hoàn toàn liên tục,

tức là toán tử toàn ánh

và khi đó nếu u∈H thì phép chiếu vectơ ảnh qua phép chiếu

thì vì toán tử chiếu có tính đối xứng)

do đó với và là là toán tử đối xứng thì

Hơn nữa ta có: A = A I −Pλ ≤ A I −Pλ ≤ A

Giả định rằng A2 ≠0, khi đó ta áp dụng định lý 1.2 và định lý 1.7 cho toán tử A 2 thì ta có sự tồn tại một giá trị riêng λ2 lớn nhất thoả mãn

⇔ φ − λA1 1 1Pλ1φ = λ φ1 1 1 1.11( )

Giả sử μ ≠ θ = là một giá trị riêng của A2 và có vectơ riêng tương ứng

với giá trị riêng đó là φ , khi đó:

Bước 4: Lặp lại quá trình trên ta xây dựng được các toán tử tuyến tính ,

đối xứng, hoàn toàn liên tục, A A3, 4, ,A n sao cho:

Từ sự chứng minh trên cho ta đều là các giá trị riêng của

Có các không gian riêng phân biệt với các giá trị riêng là

cụ thể có các giá trị riêng:

1

các không gian riêng tương ứng:

có các giá trị riêng:

các không gian riêng tương ứng:

có giá trị riêng:

2

Theo chứng minh trên ta nhận thấy rằng:

i/ Với là một vectơ riêng của mà lại tương ứng với giá trị riêng của thì λ tức là phép chiếu của vectơ riêng lên k

ii/ và là một giá trị riêng của thì , theo định lý 1.1 thì không gian riêng H' trực giao với Với là một vectơ riêng của 1thì

Bây giờ với mỗi n = 1,2,3,

+/ Nếu A n = với mỗi n thì sự xác định ở công thức 1.13 luôn đúng

0+/ Nếu A n ≠ thì từ sự xác định ở công thức 1.13 là:

{ }

0,

Thật vậy: Giả sử ngược lại điều này không xẩy ra thì tồn tại với

n Gọi dãy là dãy gồm những véc tơ trực giao của không gian vectơ riêng tương ứng với trị riên

n

ε >

{ } ( )

g là dãy bị chặn và

A Mặt khác là toán tử hoàn toàn liên tục suy ra:

A và có dãy con hội tụ là:

n n

Giả sử là một toán tử tuyến tính đối xứng, hoàn toàn liên tục,

tức là toán tử toàn ánh cho thêm giả thiết là không gian Hilbert tách Do đó tập những gia

Ngoài ra tập tất cả các riêng của A, kể cả những vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng không, lập thành một cơ sở của không gian H Nhưng

A không có giá trị riêng bằng không nên tập tất cả các vectơ riêng tương

ứng với giá trị riêng khác không của A là một cơ sở của không gian H

Lấy tập hợp { }φi i là tập các vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λi của

A, ta cần phải chứng minh rằng bất kỳ hàm g∈R A( ) đều có một sự phân tích thành chuỗi Fourier giống như công thức (1.16)

Thật vậy: Ta chia thành hai trường hợp sau:

Trường hợp 1 Giả sử A i ≠ θ ∀ i = 1,n nhưng A n+1 = θ, với các giá trị riêng

i được

λ mô tả trong định lý 1.8 là λ ≥ λ ≥1 2 ≥ λ >n 0

Lấy = là không gian con tách trong và hàm

thì khi đó sao cho , theo định lý phép chiếu ta có:

n

n

i i i

Lấy = và lấy thì lúc đó cũng tồn tại sao cho theo định lý phép chiếu, ta có:

n n

i i i

( )

g∈R A

Bước 2: Cuối cùng ta chứng minh cho hàm g không cần thiết phải thuộc vào R(A) Lấy { }φi i là tập các vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng

{ }λi i của A (có thể giả sử có một giá trị riêng bằng không)

Theo định lý Rietz- Fisher, ta có:

hội tụ tới một phần tử nào đó trong giả sử là

Do vậy 1.16 cho ta và có cùng sự khai triển như nhau là:

Mặt khác f = h - g đồng nhất bằng không đối với toán tử A, do đó g có sự

Định lý 1.10 Lấy A: D A( )→H là một toán tử tuyến tính đối xứng hoàn toàn liên tục, với D(A) = H, trong đó H là không gian Hilbert tách, vô hạn chiều Bây giờ giả sử tồn tại toán tử tuyến tính B: D B( )→H với

D(B) H, và giả sử A:⊆ H →D B( ) và thoả mãn: BAu = u, ∀ ∈u H

và lúc đó A có một dãy các giá trị riêng hữu hạn Ngoài ra nếu là một vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng

R(A) Cuối cùng thì tập các vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng của A

lập thành một cơ sở của H

Trường hợp H là hữu hạn thì chính là kết quả của định lý 1.9 Bây giờ

ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp H là vô hạn chiều, tức là chứng minh A có một dãy vô hạn các giá trị riêng { }λi i=1,2,3,

Chứng minh: Giả sử A có hữu hạn giá trị riêng {λ λ1, 2, ,λn}, tương ứng sẽ có hữu hạn các vectơ riêng trực giao là {φ φ1, 2, ,φn} Vì vậy nếu

thì ta có sự biểu diễn ở dạng:

h∈H

1

,

n k k

=∑λ φ φ Mặt khác BAh = h, cùng với Aφ = λ φk k k cho ta:

Chương 2: ÁP DỤNG LÝ THUYẾT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH HOÀN

TOÀN LIÊN TỤC VÀO BÀI TOÁN BIÊN

Trong chương này chúng ta sẽ áp dụng các kết quả của chương một

cho các giá trị riêng đều và không đều Cụ thể là áp dụng vào phương

trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số là hàm số với các điều kiện biên

khác nhau là Sturm - Liouville (S-L), Newmann (N), tuần hoàn (Periodic),

hay là điều kiện Borh (B)

Ta thiết lập các giả thiết chung sau:

2.1 Bài toán Sturm – Liouville

Xét bài toán Sturm - Liouville sau:

:

1

2.51

2.6

trong đó

và

s h

a p u q u h u du p u q u h u du ds

p s A

−

ω

→

Bây giờ ta sẽ chứng minh L-1 là toán tử thoả mãn các giả thiết như toán tử

A nói trong chương 1 Trước hết ta chứng minh L -1 là toán tử hoàn toàn liên tục Thật vậy:

Khi đó từ (2.4) ta suy ra 1( )

L− Ω bị chặn Mặt khác với 0≤ ≤ ≤s t 1, áp dụng bất đẳng thức tích phân Holder cho (2.4) ta có:

Suy ra L-1 liên tục đều

* Bây giờ ta chứng minh 2 [ ] -1

0,

1

nếunếu

Suy ra L -1 là toán tử đối xứng

Theo kết quả định lý 1.10, ta có L có một giá trị riêng thực xác định λi

tương ứng với vectơ riêng φ ∈i D L( ), là một hàm số, thay vào bài toán

Do φ ∈i D L( ) là một vectơ riêng khác, vậy thì

Khi đó chúng ta hoàn toàn sắp xếp được các giá trị riêng của bài toán

λ < λ < Cũng từ định lý 1.10, tập các hàm giá trị riêng

{ }φi lập thành một cơ sở của 2[ ]

và f sẽ thoả mãn bất đẳng thức Parseval sau:

( )

1 1

2 2 2

1 0

Như vậy nếu ta xem L -1 là một toán tử tuyến tính đối xứng hoàn toàn

liên tục thì L -1 có tập các hàm giá trị riêng { }φi , và một nghiệm bất kỳ của

bài toán biên (2.2) luôn được biểu diễn dạng (2.8) và thoả mãn (2.9)

Giả sử có điều kiện (2.1), lấy μ là giá trị riêng đầu tiên của bài toán

Trong (2.10) ta lưu ý rằng:

i/ Nếu b = 0 thì số hạng ( ) 2

π ∫ ≤∫ (đây được gọi là bất đẳng thức Wirtinger)

Chứng minh Trước tiên ta biết rằng ∀ ∈u D L( ) thì:

Như vậy ta có đẳng thức xẩy ra: Lu u, = λ1 u

Bây giờ ta phải chứng minh L xác định trên D(L) mà bị chặn dưới, điều

này sẽ cung cấp cho ta một bất đẳng thức dạng (2.10) ngay cả khi điều kiện

∫ ds ∫ p s q s ds không thoả mãn

Để chứng minh L bị chặn dưới, ta xét hai trường hợp b = 0 và b > 0

Ta tiếp tục tách thành hai khả năng β =0 và β >0

°Nếu β =0 thì y 0( )=0 và cũng có bất đẳng thức:

Bài toán Mixed Boundary

Bây giờ ta xét bài toán biên sau:

2 0

φ ∈ Các giá trị riêng này thực và dương nên ta hoàn toàn có thể sắp xếp chúng như sau: λ < λ <1 2 Ta cũng có { }φi i là một cơ sở của 2 [ ], và khi đó bất kỳ hàm

0,1

f ∈L−ω ta luôn có sự biểu thị thành dạng chuỗi sau:

Bổ đề 2.2 Giả sử p, q là các hàm thoả (2.1) và (2.15), lấy μ là giá trị

riêng đầu tiên của bài toán biên (2.14), tức là μ = λ1 thì:

b không có mặt trong (2.19)

Chứng minh: Vấn đề cần chứng minh cũng giống như trong bổ đề 2.1 Điều ta cần chứng minh là toán tử L xác định trên D* (L) như trên là bị

chặn dưới, kết quả này có được từ bổ đề 2.3 sau Nhưng bây giờ ta chú ý

có một nghiệm duy nhất là y = 0

Vì nếu y là nghiệm bất kỳ khác không thì từ y(py')' = pqy2 cho ta:

Bây giờ ta lấy các toán tử như sau:

có nghiệm duy nhất

Thật vậy: * Trước hết ta giả sử y 1 , y 2 là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình: ( ) 1 2 1 2 [ ]

tuyến tính nên ta có: 2 1

lim ( ) '( )lim ( ) '( )

h t h

t

A p t y t B

2 1 0

Từ pw = const tức là p(s)w(s) = 0, và từ cách xác định A h , B h ở (2.31) ta có

ngay sự tồn tại hai số A, B (có thể còn phụ thuộc M ) sao cho:

,

A ≤ A B ≤B ∀ ∈Ωh , thay vào (2.30) ta có ngay J -1 ( )Ω là tập bị chặn

Mặt khác 0∀ ≤ ≤ ≤s t 1 và cũng từ (2.30) ta xét:

s

A y t y s B y t y s

y s M

y z y t y s y z p z q z h z dz

y s M

y z y t y s y z p z q z h z dz

Suy ra 1( )liên tục đều

J− Ω

Như vậy theo định lý Arzela - Ascoli thì 1

J− là toán tử hoàn toàn liên tục Xét ánh xạ nhúng 2[ ] 2[ ]0,1 xá

J− j Lω →D j ⊆Lω là toán tử hoàn toàn liên tục

Hơn nữa tương tự như bài toán Sturm - Liouville với u, v 2 [ thì: