Khung trong không gian Hilbert

Lý do chon đe tài Khung trong không gian Hilbert đưoc Duffin và Schaeffer [5] đưa ra chính thúc vào năm 1952 khi nghiên cúu m®t so bài toán ve chuoiFourier không đieu hòa.. Gan đây, khun

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i

2 dưói sn hưóng dan cna cô giáo - tien sĩ Nguyen Quỳnh Nga Tác giáxin bày tó lòng kính trong, lòng biet ơn sâu sac nhat đoi vói cô Cô đãdành nhieu thòi gian hưóng dan, chí báo cho tác giá nhung kien thúc vàkinh nghi¾m quí báu, luôn đ®ng viên đe tác giá vươn lên trong hoc t¾p

và vưot qua nhung khó khăn trong chuyên môn

Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u trưòng ĐHSP HàN®i 2, Phòng Sau đai hoc, Khoa Toán, To Giái tích, quý thay cô, đã taomoi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình caohoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p

Tác giá xin chân thành cám ơn Trưòng THPT Yên Lãng và

To Toán - Tin đã tao đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá hoc t¾p và hoànthành tot lu¾n văn

Tác giá xin chân thành cám ơn sn gúp đõ đ®ng viên cna gia đình,ban bè, các thành viên lóp cao hoc Toán Giái tích khóa 2010 -2012 đetác giá hoàn thành lu¾n văn

Hà N®i, tháng 12 năm 2012

Tác giá

Đo Thny Tiên

i

LèI CAM ĐOAN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Quỳnh Nga

M®t so ket quá đã đat đưoc trong lu¾n văn là mói và chưa tùngđưoc công bo trong bat kỳ công trình khoa hoc nào cna ai khác

Hà N®i, tháng 12 năm 2012

Tác giá

Đo Thny Tiên

ii

Mnc lnc

1.1 Toán tú tuyen tính b% ch¾n trên không gian Hilbert 4

1.2 Phép chieu trnc giao và phan bù trnc giao 7

1.3 Toán tú đang cn b® ph¾n 9

1.4 Tong trnc tiep cna các không gian Hilbert 11

2 CƠ Sé LÝ THUYET KHUNG 14 2.1 Khung trong không gian huu han chieu 15

2.2 Khung nhìn tù quan điem giãn nó 17

2.3 Khung đoi ngau luân phiên 33

2.3.1 Kh ung đoi ngau c hính tac 33

2.3.2 Khung đoi ngau luân phiên 36

3 KHUNG BÙ VÀ TÍNH RèI 42 3.1 Tính chat bù nhau và ròi nhau cna các khung 42

iii

3.2 Các đ¾c trưng cna tính tương đương, tính ròi nhau và tính

bù nhau 483.3 M®t vài ket quá khác ve khung đoi ngau luân phiên 58

iv

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Khung trong không gian Hilbert đưoc Duffin và Schaeffer [5] đưa

ra chính thúc vào năm 1952 khi nghiên cúu m®t so bài toán ve chuoiFourier không đieu hòa Tuy nhiên, ý tưóng cna Duffin và Schaefferdưòng như không tao nên sn quan tâm cho các nhà khoa hoc ngoài lĩnhvnc đó cho đen khi bài báo cna Daubechies, Grossmann và Meyer [4] rađòi vào năm 1986 Ke tù đó, lý thuyet khung nh¾n đưoc sn quan tâmr®ng rãi bói nhieu nhà Toán hoc, V¾t lý hoc, Sinh v¾t hoc, Ky sư, Khung thưòng đưoc sú dung trong xú lý tín hi¾u, xú lý ánh, nén duli¾u và trong lý thuyet mau Gan đây, khung còn đưoc sú dung trongcác lý thuyet quang hoc cũng như các nghiên cúu ve các không gianBesov, lý thuyet không gian Banach Ngưoc lai, các công cu manh tù

lý thuyet toán tú và lý thuyet không gian Banach lai đưoc sú dung đenghiên cúu trong lý thuyet khung [1]

Vói mong muon hieu biet sâu sac hơn ve lý thuyet khung trongkhông gian Hilbert, đưoc sn đong ý hưóng dan cna cô giáo - tien sĩNguyen Quỳnh Nga, tôi lna chon đe tài nghiên cúu “Khung trong không gian Hilbert” đe thnc hi¾n lu¾n văn tot nghi¾p

2 Mnc đích nghiên cNu

Nghiên cúu tong quan ve cơ só cna lý thuyet khung và các tínhchat bù nhau và ròi nhau cna các khung trong không gian Hilbert

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Làm rõ lý thuyet cơ bán cho khung;

Làm rõ tính bù và tính ròi cna khung và các tính chat có liên quan

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Đoi tưong nghiên cúu: Khung trong không gian Hilbert

Pham vi nghiên cúu: Các bài báo, tài li¾u trong và ngoài nưóc liên quan đen khung trong không gian Hilbert

5 Phương pháp nghiên cNu

Sú dung các kien thúc và phương pháp cna giái tích hàm đe tiepc¾n van đe

Thu th¾p và nghiên cúu các tài li¾u có liên quan, đ¾c bi¾t là cácbài báo mói trong và ngoài nưóc ve van đe mà lu¾n văn đe c¾p tói

6 Đóng góp mái

Lu¾n văn là m®t tài li¾u tong quan ve lý thuyet khung trong khônggian Hilbert

Chương 1

M®T SO KET QUÁ VÀ

Trong chương này, chúng tôi se nhac lai m®t vài ket quá cơ bán sedùng trong chương sau Các ket quá này đưoc tham kháo tù tài li¾u [6],[8]

Ký hi¾u B (H, K) là t¾p tat cá các toán tú tuyen tính b% ch¾n tù

Chuan cna T ∈ B (H, K) đưoc đ%nh nghĩa là hang so c nhó nhat

4

thóa mãn (1.1.1) Nói m®t cách tương đương,

"T " = sup {"T x" : x ∈ H, "x" ≤ 1}

= sup {"T x" : x ∈ H, "x" = 1}

M¾nh đe 1.1.1 Giá sú H, K, L là các không gian Hilbert Neu T ∈

B (H, K) thì ton tai duy nhat m®t phan tú T ∗ ∈ B (K, H) sao cho

tú T

Toán tú T ∗ ó M¾nh đe 1.1.1 đưoc goi là toán tú liên hop cna toán

M¾nh đe 1.1.2 Giá sú T ∈ B (H, K) và S ∈ B (K, L) Khi đó

Cho T ∈ B (H) T đưoc goi là toán tú tn liên hop neu T ∗ = T

,

là unita neu T ∗ T = T T ∗ = I T đưoc goi là chuan tac neu T ∗ T =

moi x ∈ H T, K ∈ B (H) , T ≥ K neu T − K ≥ 0.

Chú ý rang vói moi T ∈ B (H) thì (T ∗ T x, x) = (T x, T x) ≥ 0

vói

moi x ∈ H Do đó T ∗ T là dương.

M¾nh đe 1.1.3 Giá sú T ∈ B (H) Khi đó

i) T là tn liên hop neu và chs neu (T x, x) là thnc vói moi x ∈ H Đ¾c bi¾t, toán tú dương là tn liên hop.

ii) T là unita neu và chs neu T là ánh xa báo toàn chuan (hay tương đương là báo toàn tích vô hưóng) tù H lên H.

iii) T là chuan tac neu và chs neu "T x" = "T ∗ x" vói moi x ∈ H.

M¾nh đe 1.1.4 Giá sú T ∈ B (H) Khi đó các đieu sau đây là

tr (T ).

Vet cna toán tú T có các tính chat tương tn như vet cna ma tr¾n.

M¾nh đe 1.1.6 Giá sú T, S ∈ B (H) , α, β ∈ C.Khi đó

iii) Neu S và T là đong dang (túc là ton tai m®t toán tú khá ngh%ch

V ∈ B (H) sao cho T = V −1 SV ) thì tr (S) = tr (T ).

M¾nh đe 1.1.7 Giá sú M là m®t không gian con đóng cúa không gian

Hilbert H và P là phép chieu trnc giao tù H lên M Khi đó tr (P )

= dim (M ).

Giá sú H là m®t không gian Hilbert, u, v ∈ H và X, Y là các

t¾p con cna H Ta nói u trnc giao vói v neu (u, v) = 0 và u trnc giao

vói Y neu (u, y) = 0 vói moi y ∈ Y và X trnc giao vói Y neu (x, y)

= 0 vói moi x ∈ X, y ∈ Y Kí hi¾u Y ⊥ là t¾p tat cá các vectơ trong

H và trnc giao vói Y

M¾nh đe 1.2.1 Neu Y là m®t không gian con đóng cúa không gian

Hilbert H thì moi phan tú x ∈ H có the bieu dien đưoc dưói dang x

= y + z, trong đó y ∈ Y và z ∈ Y ⊥ Hơn nua, y là phan tú duy nhat trong Y , gan nhat vói x.

Ta viet H = Y ⊕ Y ⊥ và Y ⊥ đưoc goi là phan bù trnc giao cna

Y

trong H.

Phương trình P (y + z) = y, .y ∈ Y, z ∈ Y ⊥ xác đ%nh m®t toán

tú tuyen tính P : H → H P đưoc goi là phép chieu trnc giao tù

H lên Y Chú ý rang I − P là phép chieu trnc giao tù H lên Y ⊥ và

Do đó P là b% ch¾n vói "P " ≤ 1 và P là dương (do đó P là tn liên

hop) Do Py = y vói moi y ∈ Y, "P " = 1 trù trưòng hop Y = {0}

M¾nh đe 1.2.2 Giá sú T ∈ B (H) Khi đó

H = Ker (T ) ⊕ Ran (T ∗ ) = Ker (T ∗ ) ⊕ Ran (T ).

1.3 Toán tN đang cN b® ph¾n

U ∈ B (H, K) đưoc goi là m®t đang cn neu "Ux" = "x"

vói moi x ∈ H Đieu ki¾n can và đn đe U ∈ B (H, K) là m®t đang

đương Đieu ki¾n UU ∗ = I đưoc thóa mãn neu U ∗ là m®t đang cn

Trong trưòng hop này ta goi U là đoi đang cn.

Neu toán tú tuyen tính U là đang cn trên phan bù trnc giao cna hat nhân cna nó thì ta goi U là toán tú đang cn b® ph¾n Ví du các đang

cn, đoi đang cn và các phép chieu trnc giao là các toán tú đang cn b®ph¾n

Ta có the de dàng kiem tra rang neu U là toán tú đang cn b® ph¾n

và U ƒ= 0 thì "U" = 1.

M¾nh đe 1.3.1 M®t toán tú U là m®t toán tú đang cn b® ph¾n neu và

chs neu U ∗ U là m®t phép chieu trnc giao Đieu này cũng đúng neu

UU ∗ là phép chieu trnc giao trên không gian ranU Ta ký hi¾u supp

trnc giao lên supp (U ), lay x, y ∈ supp (U ) Khi đó

Tù y là m®t vectơ tùy ý trong supp (U ), đieu này chí ra rang Px =

U ∗ Ux vói moi x ∈ supp (U ) Neu v ∈ H thì v = x + z vói x ∈

Pv = Px = x = U ∗ Ux = U ∗ Uv.

Do v tùy ý trong H, nên P = U ∗ U Ta vùa chúng minh đưoc, neu U

là m®t đang cn thì U ∗ U là phép chieu trnc giao lên supp (U ).

Ngưoc lai, giá sú rang U : H → K là m®t toán tú tuyen tính vói tính chat U ∗ U là m®t phép chieu trnc giao Lay P = U ∗ U và E =

P H.

Khi đó vói x bat kỳ thu®c E, ta có Px = x và do v¾y

"x" = (x, x) = (P x, x) = (U

Như v¾y U là m®t đang cn b® ph¾n.

é phan thú hai, ta chí can chí ra rang neu m®t toán tú U là m®t đang cn b® ph¾n thì U ∗ cũng là m®t đang cn b® phân Th¾t

v¾y, giá sú rang U là m®t đang cn b® ph¾n Khi đó theo nhung gì

ta đã chúng minh, U ∗ U là m®t phép chieu trnc giao lên supp (U ) Chú

ý rang supp (U ∗ ) = (ker U ∗)⊥ = ran (U ) Vì v¾y, neu z ∈ supp (U ∗ ) thì z = Ux vói x ∈ supp (U ), và như v¾y "z" = "x", do U là đang cn trên supp (U ) Đieu này chí ra

"U ∗ z" = "U ∗ Ux" = "x" = "z"

2

"

2

Như v¾y, U ∗ là m®t đang cn b® ph¾n.

Khi H1, , H k là các không gian Hilbert và K là t¾p cna tat cá các b® k {x1, , x k } vói x j ∈ H j (j = 1, , k), ta có m®t cau trúc không gian Hilbert trên K, trong đó các toán tú đai so, tích trong và

chuan đưoc đ%nh nghĩa bói

a {x1, , x k } + b {y1, , y k } = {ax1 + by1, , ax k + by k } , ({x1, , x k } , {y1, , y k }) = (x1, y1) + + (x k , y k ) ,

bao gom nhung b® k có các thành

phan bang không ngoai trù v% trí thú j, là m®t không gian con đóng cna H1 ⊕ ⊕ H k Ánh xa Uj : Hj → H r , đ%nh nghĩa bói Uj x

tùng đôi m®t cna không gian Hilbert H,

và

S

j= 1

ánh xa H j vào H r và H vào K (= H1 ⊕ ⊕ H k), và là m®t unita do

"Ux"

=

Như v¾y, "T j " ≤ "T " , (j = 1, , k), do đó c ≤ "T " và vì v¾y "T "

Chương 2

CƠ Sé LÝ THUYET KHUNG

Trong nghiên cúu không gian vectơ m®t trong nhung khái ni¾mquan trong nhat là cơ só, cho phép moi phan tú ó trong không gian đưocviet như là m®t to hop tuyen tính cna các thành phan trong cơ só Tuynhiên, đieu ki¾n là cơ só rat han che - không có sn phu thu®c tuyen tínhgiua các thành phan là có the và đôi khi chúng ta th¾m chí muon cácthành phan trnc giao tương úng vói m®t tích trong Đieu này làm chokhó tìm ho¾c th¾m chí không the tìm thay cơ só đáp úng đieu ki¾n bosung và đây là lí do mà ngưòi ta mong muon tìm m®t công cu linh hoathơn

Khung là công cu như v¾y M®t khung cho m®t không gian vectơđưoc trang b% m®t tích trong cũng cho phép moi phan tú trong khônggian đưoc viet như là m®t to hop tuyen tính cna các phan tú trongkhung, nhưng tính đ®c l¾p tuyen tính giua các phan tú khung là khôngcan thiet Ve trnc giác, ta có the nghĩ m®t khung như là m®t cơ só đưoccho thêm vào m®t so phan tú

Các ket quá cna chương này có the tham kháo trong [2], [3], [7]

14

Cho V là m®t không gian vectơ huu han chieu, đưoc trang b% m®t

tích trong (·, ·) Nhó lai rang m®t dãy {e j m trong V là m®t cơ só cna

V neu hai đieu ki¾n sau đây đưoc thóa mãn

Như m®t h¾ quá cna đ%nh nghĩa này, moi f ∈ V có m®t bieu dien

duy nhat theo các thành phan trong cơ só, túc là, ton tai các h¾ so vôhưóng duy nhat {c j m sao cho

Bây giò ta giói thi¾u ve khung; ta se chúng minh rang m®t khung

{f j } j=1 cũng cho ta m®t bieu dien như (2.1.1)

Đ%nh nghĩa 2.1.1 M®t ho đem đưoc cúa các vectơ {f j } j∈J trong V đưoc

A "f" ≤ |(f, f j )| ≤ B"f" , ∀f ∈ V. (2.1.3)

j∈J Các so A, B đưoc goi là các c¾n khung Chúng không là duy

nhat C¾n khung dưói toi ưu là supremum trên tat cá các c¾n khungdưói, và c¾n khung trên toi ưu là infimum trên tat cá các c¾n khungtrên Chú ý rang các c¾n khung toi ưu là các c¾n khung thnc sn.Khung là chuan

hóa, neu "f j " = 1, .vói moi j ∈ J.

Trong m®t không gian vectơ huu han chieu se là không tn nhiên(m¾c dù có the) khi xét các ho {f j } j∈J có vô han các phan tú Trongphan này chúng ta chí xem xét các ho huu han {f j m , m ∈ N Vói han

che này, bat đang thúc Cauchy – Schwarz chí ra rang

Đe cho đieu ki¾n dưói trong (2.1.3) thóa mãn, can thiet rang

cho bao tuyen tính cna nó

không Như v¾y ta thay, đieu ki¾n khung trên là thóa mãn vói B =

Bây giò lay W : = span {f j } m

và xem xét ánh xa liên tuc

H¾ quá 2.1.3 [2] M®t ho các phan tú {f j k trong V là m®t

H¾ quá 2.1.3 chí ra m®t khung có the có so phan tú nhieu hơn sophan tú can thiet đe làm cơ só Đ¾c bi¾t, neu {f j k là m®t khung cna

Cho H là không gian Hilbert phúc khá li Ký hi¾u B (H) là đai so cna tat cá các toán tú tuyen tính b% ch¾n trên H N là t¾p các

so tn

nhiên, Z là t¾p các so nguyên Ta dùng J chung cho các t¾p đem đưoc như N, Z, Z2, N ∪ N, .

M®t dãy {x j : j ∈ N} cna không gian vectơ H đưoc goi là m®t khung neu có các hang so A, B > 0 sao cho

A"x"2 ≤ |(x,

x j )|

j vói moi x ∈ H Các hang so toi ưu (toi đa cho A và toi thieu cho B)

đưoc goi là các c¾n khung toi ưu Khung {x j } đưoc goi là m®t khung

ch¾t neu A = B và đưoc goi là Parseval neu A = B = 1 M®t dãy

{x j } đưoc goi là m®t cơ só Riesz neu nó là m®t khung và cũng là

m®t cơ só cho H theo nghĩa: vói moi x ∈ H, ton tai duy nhat m®t dãy {α j } trong C sao cho x = α j x j vói sn h®i tu trong chuan

Lưu ý rang m®t cơ só Riesz đôi khi đưoc đ%nh nghĩa là m®t cơ sóđưoc lay tù m®t cơ só trnc chuan bang cách áp dung m®t toán tú tuyentính khá ngh%ch b% ch¾n Đieu này là tương đương vói đ%nh nghĩa cnachúng ta (xem M¾nh đe 2.2.5) Rõ ràng tù tong tuy¾t đoi trong (2.2.1),các khái ni¾m ve khung (và cơ só Riesz) có ý nghĩa vói bat kỳ t¾p hop

con đem đưoc cna H và không phu thu®c vào thú tn dãy Do đó se không

có sn nham lan trong khi nói ve m®t khung ho¾c cơ só Riesz vói t¾p chí

vói moi x ∈ H Hien nhiên m®t cơ só trnc chuan là m®t khung Parseval.

Hơn nua, neu {x j } là m®t khung Parseval, thì (2.2.2) suy ra "x j " ≤ 1

2

2

vói moi j Ngoài ra, neu x k là m®t vectơ đơn v% thì (2.2.2) cho thay nó

phái trnc giao vói tat cá các vectơ x j khác ó trong khung Vì v¾y m®tkhung Parseval cna các vectơ đơn v% là m®t cơ só trnc chuan M¾tkhác, m®t so các vectơ trong m®t khung ch¾t có the là vectơ - không

Neu H là không gian Hilbert không, thì m®t t¾p chí so đem đưoc bat

kỳ cna

các vectơ không đáp úng đ%nh nghĩa cna m®t khung Parseval (mien là ta

quy ưóc A = B = 1 trong trưòng hop này) Giá sú {x j : j ∈ J} là m®t khung Parseval cho H Giá sú rang {x i : i ∈ Λ} ⊂ {x j : j ∈ J}

m®t dãy các vectơ không trên không gian Hilbert không thì ta goi {x n }

là m®t khung thnc sn

Ta nói các khung {x j : j ∈ J} và {y j : j ∈ J} trên các không gian Hilbert H, K tương úng là tương đương unita neu có m®t toán tú unita

U : H → K thóa mãn Ux j = y j vói moi j ∈ J Ta nói chúng đong

dang (hay đang cau) neu có m®t toán tú tuyen tính b% ch¾n khá ngh%ch

T : H → K sao cho T x j = y j vói moi j ∈ J.

Đieu quan trong can lưu ý là hai khái ni¾m trên (tương đươngunita và đang cau) phan nào han che và thnc te là han che hơn kháini¾m tương đương cna các khung mà m®t so nhà lý thuyet muon

2

)|

2

Đ¾c bi¾t, đang cau cna các khung không phái là bat bien theo hoán v

% Ví du , neu

{e1, e2} là m®t cơ só trnc chuan cna không gian Hilbert hai chieu H2 thì

{e1, e2, 0, 0} và {0, 0, e1, e2} là các khung Parseval cho H2 vói chí sothu®c J = {1, 2, 3, 4} Nhưng chúng không đang cau vì không ton tai toán tú khá ngh%ch T : H2 → H2 sao cho T e1 = 0, T e2 = 0, T 0 =

e1, T 0 = e2

Đe giái thích ý nghĩa hình hoc và có đưoc súc manh cna các đ%nh lý thì

ta can phân bi¾t giua các lóp tương đương cna các khung như v¾y Hơnnua, vì lý do tương tn nên chúng ta không đ%nh nghĩa moi liên h¾ tươngđương giua hai khung vói hai t¾p chí so khác nhau

Giá sú rang {x n } là m®t dãy trong H sao cho

x = (x, x n ) x n ,

n vói moi x ∈ H (h®i tu có the là h®i tu yeu ho¾c theo nghĩa h®i tu

chuan) Khi đó {x n } là m®t khung Parseval cho H Th¾t v¾y vói moi

2

2

Tù x = Px và xj = P ej ta có (x, e j ) = (x, x j ), (2.2.3) tró thành

(2.2.2)

vào hai ve cúa (2.2.4) ta có

j

vói moi x ∈ H Công thúc (2.2.5) đưoc goi là công thúc khôi phnc cho {x j }.

Ví dn 2.2.2 Giá sú {e1, e2, e3} là m®t cơ só trnc chuan cúa không

sinh bói hai vectơ e1, e2).

Ví dn 2.2.3 Cho K = L2 (T) trong đó T là đưòng tròn đơn v% vói đ®

đo Lebesgue chuan hóa Khi đó .e ins : n ∈ Z là m®t cơ só trnc chuan tiêu

chuan cho L2 (T) Neu E ⊆ T là t¾p đo đưoc bat kỳ thì .e ins. : n ∈ Z.

dnng

tat cá lũy thùa nguyên cúa toán tú nhân M e is lên vectơ χ E Vói moi E

{e1, e2, e3} là m®t khung ch¾t vói c¾n khung là 3 Th¾t v¾y, vói x

=

2

x2

2 3

.31

22

là m®t cơ só trnc chuan cho C3.

Ví du 2.2.1 là mô hình mau cho khung Parseval bat kỳ

M¾nh đe 2.2.1 Cho J là m®t t¾p đem đưoc Giá sú rang {x n : n ∈ J}

là m®t khung Parseval cho H Khi đó ton tai m®t không gian Hilbert

K ⊇ H và m®t cơ só trnc chuan {e n : n ∈ J} cho K thóa mãn x n =

P e n vói P là phép chieu trnc giao tù K lên H.

K bói sn đong nhat H vói θ (H) Lay P là phép chieu tù K lên θ (H).

Ký hi¾u cơ só trnc chuan tiêu chuan cho K bói {e j : j ∈ J} Nghĩa là

vói

moi j ∈ J, e j đưoc đ%nh nghĩa là vectơ trong l2 (J), bang 1 tai v% trí j và bang 0 tai các v% trí còn lai Ta chí ra P en = θ (xn) Vói moi m ∈ J,

H¾ quá 2.2.2 i) Giá sú {e n : n ∈ J} là m®t cơ só trnc chuan cho H,

V là toán tú đang cn b® ph¾n trong B (H) Khi đó {V e n } là m®t khung Parseval cho mien giá tr% cúa V

ii) Giá sú {x n } là m®t khung Parseval cho không gian Hilbert H và {e n }

là m®t cơ só trnc chuan cho không gian Hilbert K Neu T là m®t đang cn đưoc đ%nh nghĩa bói Tx = (x, x n ) e n , thì T ∗ e n = xn và T x n =

P e n ,

n∈J

vói moi n ∈ J, vói P là m®t phép chieu trnc giao tù K lên mien giá tr% cúa T Hơn the, neu {x n } là m®t khung tong quát cho H, thì T đưoc đ%nh nghĩa như trên là toán tú tuyen tính b% ch¾n và T ∗ e n = x n , vói moi n ∈ J.

i) Lay x ∈ H bat kỳ Khi đó x = y + z, trong đó y ∈ (KerV ) ⊥ , z

n∈J

|(V V x, e n )|

=

vói moi x ∈ H V¾y {V e n } là m®t khung

ii) Khi {x n } là m®t Parseval thì T x n = P en đưoc suy ra tù phanchúng minh cna M¾nh đe 2.2.1 Neu {x n } là khung tong quát vói c¾n

khung trên là B thì

"T x"

=

iii) Theo M¾nh đe 2.2.1, ton tai m®t không gian Hilbert K và

m®t cơ só trnc chuan {e n } cna K sao cho K ⊇ H và P e n = x n, ó

đó P là

phép chieu trnc giao tù K lên H Như v¾y

n∈J

"x n "

=

M®t so h¾ quá sơ cap khác cna M¾nh đe 2.2.1 mà chúng minh cnachúng đưoc cho trong Chương 3 vì chúng đưoc sú dung ó đó m¾c dùchúng có the đưa ra ó đây, là các M¾nh đe 3.2.1, H¾ quá 3.2.2, Bo đe3.3.1 Đ¾c bi¾t hai khung là đong dang khi và chí khi toán tú giái tíchcna chúng có cùng mien giá tr% Do đó, có m®t tương úng 1-1 giua các

không gian con tuyen tính đóng cna l2 (J) và các lóp đong dang cna cáckhung có t¾p chí so J

H¾ quá 2.2.3 Cho J là m®t t¾p đem đưoc M®t t¾p {xn : n ∈ J} là

m®t khung Parseval cúa không gian Hilbert H khi và chs khi ton tai m®t không gian Hilbert M và m®t khung Parseval {y n : n ∈ J} cho M

sao cho

{x n ⊕ y n : n ∈ J} (2.2.8)

Chúng minh.

Theo M¾nh đe 2.2.1 có m®t không gian Hilbert K ⊇ H và m®t cơ

só trnc chuan {e n } cna K sao cho x n = P en, vói P là phép chieu

trnc

2

giao tù K lên H Lay M = (I − P ) và yn = (I − P ) en , n ∈ J.

M¾nh đe 2.2.4 Sn mó r®ng cúa m®t khung ch¾t lên m®t cơ só trnc

chuan đưoc mô tá trong H¾ quá 2.2.3 là duy nhat vói sai khác m®t tương đương unita Nghĩa là, neu N là m®t không gian Hilbert khác và {z n }

chuan cho H ⊕ N, thì ton tai m®t bien đoi unita U ánh xa M lên N

Chúng minh.

∼ Giá sú e n = x n ⊕ y n và f n = x n ⊕ z n Giá sú U : H ⊕ M → H

phép

bien đoi unita trong B (M, N ).

tong trnc tiep như trong M¾nh đe 2.2.4 là m®t khung bù manh (ho¾c

phan bù manh) vói {x j } Đieu này cho thay tat cá các khung Parseval

đeu có

m®t phan bù manh duy nhat vói sai khác m®t tương đương unita Hơnnua, neu {y j } là khung tong quát, ta goi m®t khung {w j } bat kỳ sao

cho {y j ⊕ w j } là m®t cơ só Riesz cho không gian tong trnc tiep là

m®t

khung bù (phan bù) vói {x j } Moi khung đeu có m®t khung Parseval là

phan bù (xem M¾nh đe 2.2.6), nhưng không duy nhat như trưòng hopkhung bù manh (xem Ví du 2.2.5) Đieu này và các ket quá liên quanđưoc trình bày trong Chương 3

Ta xét ky thu¾t trong phan chúng minh cna M¾nh đe 2.2.1 chotrưòng hop m®t khung tong quát {x n } cho H vói các c¾n khung A,

B như trong (2.2.1) Giá sú K = l2 (J) và θ : H → K, θ (x) = ((x,

x n )) là

toán tú giái tích cho {x n } Tù (2.2.1) ta thay θ b% ch¾n dưói và có mien

giá tr% đóng Ký hi¾u mien giá tr% cna θ bói ∼ Giá sú {e , n ∈ J} là cơ

só trnc chuan tiêu chuan cho l2 (J) và lay P là phép chieu trnc giao cna

K lên ∼ Khi đó vói moi n, l ∈ J,

Tù t¾p {P e n : n ∈ J} là m®t khung Parseval suy ra m®t khung tùy

ý là đong dang vói m®t khung Parseval Trong trưòng hop đ¾c bi¾t khi

cơ só

H

H

n

Riesz là đong dang vói m®t cơ só trnc chuan Th¾t v¾y, neu θ (H) ƒ=

K

túc là P ƒ= I thì ton tai y ƒ= 0 trong (I − P ) K Viet y =

α n e n

n vói αn = (y, en ) Khi đó α n x n = α n θ ∗ P e n

α n ƒ= 0 V¾y {x n } không the là cơ só Riesz.

Neu T là m®t toán tú khá ngh%ch b% ch¾n và {f n } là m®t khung

Parseval trong H, thì neu ta đ¾t xn = T fn và lay u ∈ H tùy ý, ta có

T −1 −1 "u" ≤ "T ∗ u" ≤ "T ∗ " "u" ≤ "T " "u" ,

{x n } là m®t khung cùng vói các c¾n khung A ≥ T −1 − và B ≤ "T 2