Không gian hilbert và chuỗi fourier

lý thuyết không gian Hilbert trong phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là công thức hóa bài toánDirichlet.Trong khóa luận này em sẽ trình bày sơ lược về không gian Hilbert và mối liên h

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến

sĩ Lương Quốc Tuyển- người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Đạihọc Sư Phạm- Đại học Đà Nẵng đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em,

cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2017Sinh viên

Nguyễn Đình Vũ

Mục lục

1.1 Không gian véc-tơ 4

1.2 Không gian metric 5

1.3 Không gian định chuẩn 8

1.4 Cơ sở giải tích 9

2 Không gian Hilbert 11 2.1 Tích vô hướng và không gian Hilbert 11

2.2 Tính trực giao 13

2.3 Tập trực chuẩn 16

2.4 Định lý biểu diễn Riesz 20

3 Chuỗi Fourier 23 3.1 Chuỗi Fourier với hệ thức lượng giác chu kì 2π 23

3.2 Tích phân Dirichlet 26

3.3 Sự hội tụ theo điểm 27

3.4 Sự hội tụ đều 34

3.5 Sự hội tụ trong L2[−π, π] 36

lý thuyết không gian Hilbert trong phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là công thức hóa bài toánDirichlet.

Trong khóa luận này em sẽ trình bày sơ lược về không gian Hilbert và mối liên hệ cơ bản của nóđối với giải tích Fourier

Bố cục của khóa luận bao gồm 3 chương:

• Chương 1 của khóa luận hệ thống lại các khái niệm, kiến thức cơ bản nhất về không gianvéc-tơ, không gian metric, không gian định chuẩn và những lý thuyết cơ bản của giải tích cơ

sở nhằm thuận tiện cho việc trình bày Chương 2 và Chương 3

• Chương 2 của khóa luận tập trung trình bày về không gian Hilbert, về khái niệm tích vô hướng

và định nghĩa không gian Hilbert, sau đó là các tính chất về tính trực giao, tập trực chuẩn vàĐịnh lý biểu diễn Riesz

• Chương 3 trình bày sơ lược về chuỗi Fourier với hệ thức lượng giác chu kì 2π Các lý thuyết

cơ bản của tích phân Dirichlet sẽ được trình bày nhằm nghiên cứu một số tính chất về sự hội

tụ theo điểm và hội tụ đều của hàm tuần hoàn chu kì 2π với khai triển Fourier của nó, phầncuối cùng của chương là sự hội tụ trong không gian L2[−π, π] Tuy nhiên, ở đây tập trung làm

rõ mối liên hệ giữa không gian Hilbert và chuỗi Fourier nên chỉ nói sơ lược hệ hàm trực giao

và trực chuẩn trên đoạn đóng nhưng không định nghĩa chuỗi Fourier qua hệ hàm trực giao.Trong chương này, một số tính chất của chuỗi Fourier sẽ được áp dụng để tính các công thứcEuler quen thuộc ở giải tích cơ sở

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm khóa luậnkhông tránh khỏi những hạn chế và sai sót Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phảnbiện của quý thầy cô và bạn đọc Xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

Cơ sở lý thuyết

Chương này trình bày một số lý thuyết cơ bản về giải tích cơ sở và giải tích hiện đại để phục vụcho việc chứng minh ở Chương 2 và Chương 3 Tuy nhiên, có một số định lý khá phức tạp liên quanđến hội tụ đều và khả tích Lebesque, tôi xin được phép bỏ qua vì nó đã được trình bày chi tiết ởcác giáo trình hiện hành

Định nghĩa 1.1.1 Cho K là một trường (thực hay phức) và X 6= ∅ Khi đó X cùng với phép cộngvéc-tơ X × X → X và phép nhân vô hướng K × X → X được gọi là không gian véc-tơ trên trường

K nếu với mọi x, y, z ∈ X và α, β ∈ K, các điều kiện sau đây thỏa mãn

(i) (x + y) + z = x + (y + z)

(ii) x + y = y + x

(iii) Tồn tại véc-tơ không, có tính chất 0 + x = x + 0

(iv) Tồn tại véc-tơ −x, gọi là véc-tơ đối của x, sao cho

X được gọi là không gian con của không gian véc-tơ X nếu

(i) Với mọi x, y ∈ X0 thì x + y ∈ X0

(ii) Với mọi x ∈ X0, α ∈ K thì αx ∈ X0

Định nghĩa 1.1.3 Hệ n véc-tơ {x1, x2, , xn} của không gian véc-tơ X trên trường K được gọi là

hệ độc lập tuyến tính nếu từ đẳng thức

α1x1+ α2x2+ + αnxn = 0kéo theo α1= α2= = αn = 0

Định nghĩa 1.1.4 Hệ n véc-tơ {x1, x2, , xn} của không gian véc-tơ X trên trường K được gọi là

hệ phụ thuộc tuyến tính nếu chúng không độc lập tuyến tính, tức là tồn tại ít nhất αi6= 0 sao cho

α1x1+ α2x2+ + αnxn = 0

Định nghĩa 1.1.5 Nếu không gian véc-tơ X trên trường K chứa n véc-tơ độc lập tuyến tính vàmọi n + 1 véc-tơ đều phụ thuộc tuyến tính thì ta nói rằng X có số chiều n Kí hiệu dimX = n.Nếu dimX 6= n với mọi n ∈ N∗ thì ta nói X vô hạn chiều

Mệnh đề 1.1.1 Cho X là không gian véc-tơ trên trường K, giả sử rằng dimX = n và {x1, x2, , xn}

là hệ độc lập tuyến tính Khi đó với mọi y ∈ X, y được biểu diễn duy nhất dưới dạng y =Pn

i=1αixi.Chứng minh Với mọi y ∈ X, do dimX = n nên khi bổ sung y vào hệ {x1, x2, , xn} thì hệ{x1, x2, , xn, y} phụ thuộc tuyến tính Do đó tồn tại βi6= 0 sao cho

Định nghĩa 1.1.6 Cho X, Y là hai không gian véc-tơ trên trường K, ánh xạ f : X → Y gọi là ánh

xạ tuyến tính nếu thỏa mãn hai điều kiện sau đây

(i) Với mọi x, y ∈ X, f (x + y) = f (x) + f (y)

(ii)Với mọi x ∈ X và α ∈ K, f (αx) = αf (x)

Nhận xét 1.1.1 Qua ánh xạ tuyến tính f , véc-tơ không của X biến thành véc-tơ không của Y ,tức là f (0x) = 0y

Định nghĩa 1.2.1 Không gian metric là một cặp (X, d), trong đó X là một tập hợp, d : X ×X → R

là một hàm số trên X × X thỏa mãn các điều kiện sau

(i) d(x, y) ≥ 0 với mỗi x, y ∈ X.

d(x, y) = 0 ⇔ x = y

(ii) d(x, y) = d(y, x) với mỗi x, y ∈ X

(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mỗi x, y, z ∈ X

Khi đó d gọi là metric trên X, mỗi phần tử của d gọi là một điểm của X, d(x, y) gọi là khoảngcách giữa hai điểm x và y

Định nghĩa 1.2.2 Ta nói dãy {xn} những phần tử của không gian metric (X, d) hội tụ đến phần

tử x0nếu lim

n→∞d(xn, x0) = 0 Khi đó ta viết

lim

n→∞xn= x0hoặc xn→ x0khi n → ∞

Nhận xét 1.2.1 Cho (X, d) là không gian metric Khi đó

(a) Dãy hội tụ trong (X, d) có giới hạn duy nhất

d(a, b) − d(xn, yn) ≤ d(a, xn) + d(yn, b)

Tương tự cách làm như trên ta có

d(xn, yn) − d(a, b) ≤ d(a, xn) + d(yn, b)

Từ hai bất đẳng thức trên, ta suy ra rằng

|d(xn, yn) − d(a, b)| ≤ d(a, xn) + d(yn, b) với mỗi n ∈ N∗

Như vậy, dựa vào tính hội tụ của hai dãy số đã cho, dễ dàng thấy rằng lim

n→∞d(xn, yn) = d(a, b).Định nghĩa 1.2.3 Cho không gian metric (X, d), x0∈ X, r > 0 Khi đó

(i) B(x0, r) = {x ∈ X/d(x, x0) < r} gọi là hình cầu mở tâm x0, bán kính r

(ii)B0(x0, r) = {x ∈ X/d(x, x0) ≤ r} gọi là hình cầu đóng tâm x0, bán kính r

(iii)Tập hợp G ⊂ X gọi là mở nếu ∀x0∈ G, ∃r > 0 sao cho B(x0, r) ⊂ G

(iv) Tập hợp F ⊂ X được gọi là đóng nếu Fc= X \ F là một tập mở

Định lý 1.2.1 (a) Hợp của một họ bất kì các tập mở là một tập mở.

(b) Giao của một số hữu hạn các tập mở là một tập mở

Chứng minh (a) Giả sử {Gn} là họ một tập mở trong không gian metric X Ta chứng minh

U = ∪∞n=1Gn là một tập mở Thật vậy, nếu x ∈ U thì x thuộc Gn0 nào đó Vì Gn0 mở nên tồn tạihình cầu B(x, r) tâm x chứa trong Gn0, do đó B(x, r) chứa trong U Vậy U là một tập mở.(b) Giả sử G1, G2, , Gn là những tập mở Ta chứng minh V = ∩ni=1Gn là một tập mở Thậtvậy, nếu x ∈ V thì x ∈ Gi với mọi i = 1, 2, , n Vì mỗi Gi mở nên tồn tại một số dương ri saocho B(x, ri) ⊂ Gi, i = 1, , n Đặt r = min {r1, r2, , rn} Khi đó hiển nhiên B(x, r) ⊂ Gi, với

Rõ ràng một tập A trù mật trong không gian metric X khi và chỉ khi với mỗi x ∈ X, với mỗi

 > 0, đều tồn tại a ∈ A sao cho d(a, x) < 

Định lý 1.2.3 Cho (X, d) là một không gian metric, F ⊂ X Khi đó, F đóng khi và chỉ khi vớimỗi {xn} ⊂ F mà lim

n→∞xn= x0 thì x0∈ F

Chứng minh Giả sử F đóng, {xn} ⊂ F, xn → x0 và x0 ∈ F Điều này suy ra rằng X \ F mở và/

x0∈ X \ F , nên tồn tại r > 0 sao cho B(x0, r) ⊂ X \ F Sử dụng lim

n→∞d(xn, x0) = 0, ta chọn n đủlớn sao cho xn ∈ B(x0, r) Do đó xn∈ X \ F với n đủ lớn, mâu thuẫn với giả thiết Vì vậy x0∈ F.Ngược lại, giả sử mọi dãy {xn} ⊂ F mà lim

n→∞xn= x0ta đều có x0∈ F Ta chứng minh rằng Fđóng Thật vậy, giả sử ngược lại F không đóng, suy ra X \ F không mở Do đó tồn tại x0∈ X \ Fsao cho với mỗi r > 0 thì B(x0, r) * X \ F , kéo theo B(x0, r) ∩ F 6= ∅, với mọi r dương Do đó vớimọi n ∈ N∗, tồn tại xn ∈ B(x0,1n) ∩ F Như vậy ta tìm được {xn} ⊂ F, xn→ x0 và x0 ∈ F , mâu/thuẫn với giả thiết Vì vậy F đóng

Định nghĩa 1.2.5 Cho (X, d), (Y, ρ) là hai không gian metric Ánh xạ f : X → Y gọi là liên tụctại điểm x0 nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi x ∈ X mà d(x, x0) < δ, ta đều cóρ(f (x), f (x0)) < ε

Ánh xạ f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mỗi điểm x ∈ X

Nhận xét 1.2.2 Cho (X, d), (Y, ρ) là hai không gian metric, ánh xạ f : X → Y Khi đó, f liên tụctại x0 khi và chỉ khi với mỗi {xn} ⊂ X mà lim

n→∞d(xn, x0) = 0 thì lim

n→∞ρ(f (xn), f (x0)) = 0

Chứng minh Cho x0∈ X, {xn} ⊂ X, lim

n→∞d(xn, x0) = 0 và f liên tục tại x0 Ta cần chứng minh rằnglim

n→∞ρ(f (xn), f (x0)) = 0 Thật vậy, với mỗi  > 0, do lim

n→∞d(xn, x0) = 0 nên tồn tại n0 ∈ N∗ saocho với mỗi n > n0thì d(xn, x0) <  Dựa vào tính liên tục của f tại x0, suy ra ρ(f (xn), f (x0)) < ,với mỗi n > n0 Do đó lim

n→∞ρ(f (xn), f (x0)) = 0

Ngược lại, giả sử mọi dãy {xn}, nếu lim

n→∞d(xn, x0) = 0 thì lim

n→∞ρ(f (xn), f (x0)) = 0 Điều nàysuy ra rằng f liên tục tại x0 Thật vậy, nếu f không liên tục tại x0, do đó tồn tại  > 0 sao cho vớimỗi δ > 0, tồn tại x ∈ X mà d(x, x0) < δ và ρ(f (xn), f (x0)) ≥  Do đó với mỗi n ∈ N∗, tồn tại

Định lý 1.2.4 Mọi dãy hội tụ trong không gian metric (X, d) đều là dãy Cauchy

Chứng minh Cho {xn} ⊂ X, x ∈ X và xn → x Do đó, với mỗi  > 0, tồn tại n0∈ N∗ sao cho vớimỗi n > n0, d(xn, x) < 

2 Điều này suy ra rằngd(xn, xm) ≤ d(xn, x) + d(xm, x) < 

2+



2 =  với mỗi n, m > n0.Như vậy {xn} là dãy Cauchy trong X

Định nghĩa 1.3.1 Cho X là không gian véc-tơ trên trường K và ánh xạ k.k : X → R thỏa mãncác điều kiện sau

(i) kxk ≥ 0 với mỗi x ∈ X

kxk = 0 ⇔ x = 0

(ii)kαxk = |α| kxk với mỗi x ∈ X, α ∈ K

(iii) kx + yk ≤ kxk + kyk với mỗi x, y ∈ X

Khi đó k.k được gọi là chuẩn trên X và (X, k.k) gọi là không gian định chuẩn

Mệnh đề 1.3.1 Cho (X, k.k) là không gian định chuẩn Khi đó d(x, y) = kx − yk là một metrictrên X.

Chứng minh Dễ dàng kiểm tra dựa vào định nghĩa chuẩn và metric

Nhận xét 1.3.1 Cho (X, k.k) là không gian định chuẩn Khi đó theo Mệnh đề 1.3.1, ta suy ra X

là không gian metric Do vậy, mọi tính chất của không gian metric đều đúng với không gian địnhchuẩn

Định nghĩa 1.3.2 Cho (X, k.k) là không gian định chuẩn, {xn} ⊂ X Ta gọi chuỗi vô hạn là biểuthức có dạng x1+ x2+ + xn+ (1.3.2)

Chuỗi (1.3.2) thường được viết là

Nếu tồn tại S ∈ X mà Sn→ S hay kSn− Sk → 0 thì chuỗi (1.3.2) được gọi là chuỗi hội tụ và S gọi

là tổng của chuỗi và ta viết S =

f2(x)dx

Khi đó L2[a, b] là không gian định chuẩn đầy đủ (không gian Banach)

Định lý 1.3.2 Họ tất cả các hàm liên tục trên đoạn [a, b] trù mật trong không gian L2[a, b]

f (x),

nhưng f (x−0) 6= f (x+0) Giá trị f (x+0) − f (x−0) được gọi là bước nhảy của f tại x0

Có thể xảy ra trường hợp một hàm có giới hạn hai phía bằng nhau tại một điểm nhưng khôngxác định tại điểm đó Một điểm có tính chất như vậy gọi là gián đoạn tránh được Ta luôn giả thiếtrằng sự gián đoạn tránh được là tránh được bằng cách đặt f (x0) = f (x−0) = f (x+0)

Định nghĩa 1.4.2 Một hàm được gọi là liên tục từng khúc trên (a, b) nếu nó chỉ có một số hữuhạn điểm gián đoạn nhảy trên (a, b) và giới hạn trái tại b cũng như giới hạn phải tại a tồn tại Mộthàm được gọi là trơn từng khúc trên (a, b) nếu nó và đạo hàm của nó liên tục từng khúc trên (a, b)

Nhận xét 1.4.1 Tích phân của hàm liên tục từng khúc được biểu diễn theo từng khúc Để thấyđiều này ta giả sử

x1< x2< < xn

là các điểm gián đoạn nhảy của f trên (a, b) và giả sử x0= a còn xn = b Khi đó theo định nghĩa

f (xj−1) = f (x+j−1) và f (xj) = f (x−j), hàm f trở thành hàm liên tục trên mỗi đoạn [xj−1, xj] với

j = 1, 2, , n Khi đó tích phân của f trên đoạn [a, b] được biểu diễn qua tổng các tích phân trênmỗi đoạn đã xây dựng

Định lý 1.4.1 Nếu f và g là các hàm liên tục từng khúc, còn c và d là các hằng số, thì cf + dg vàf.g cũng liên tục từng khúc

Nhận xét 1.4.2 Từ Nhận xét 1.4.1 và Định lý 1.4.1, ta suy ra rằng cả hai hàm f + g và f.g khảtích trên [a, b] nếu f và g liên tục từng khúc trên (a, b)

Định nghĩa 1.4.3 (Sự hội tụ theo từng điểm) Một chuỗi vô hạn các hàm số

∞

X

n=1

fn được gọi là hội

tụ tại điểm x0nếu chuỗi số

kì thì ta nói chuỗi đã cho phân kì tại x0

Định nghĩa 1.4.4 (Hội tụ đều) Chuỗi các hàm liên tục

∞

X

n=1

fn được gọi là hội tụ đều trên tập

X ⊂ R nếu các điều kiện sau được thỏa mãn

(i) Với mỗi x ∈ X, chuỗi đã cho hội tụ tới tổng S(x) nào đó

(ii) Với mọi số  > 0, tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho với mọi n ≥ n0 thì tổng riêng Sn =

n

X

k=1

fk thỏamãn bất đẳng thức

|S(x) − Sn(x)| <  với mọi x ∈ X

Định lý 1.4.2 ( Tiêu chuẩn Weierstrass) Nếu có số tự nhiên n0 sao cho với mọi n ≥ n0, ta có

|fn(x)| ≤ An với mọi x ∈ X và thêm vào đó, chuỗi dương

hội tụ đều trên X

Định lý 1.4.3 (Weierstrass) Với mỗi hàm số f (x) liên tục trên toàn đường thẳng và tuần hoàntheo chu kì 2π và với mỗi  > 0 cho trước đều có một đa thức lượng giác

|f (x) − Sn(x)| <  với mỗi x ∈ R

Chương 2

Không gian Hilbert

Không gian Hilbert là dạng tổng quát hóa của không gian Euclide mà không bị giới hạn về vấn

đề hữu hạn chiều Chúng cung cấp một khung để hệ thống hóa và tổng quát hóa khái niệm chuỗiFourier theo một hệ bất kì các hàm số trực giao và phép biến đổi Fourier, là những khái niệm trungtâm của giải tích hàm

Định nghĩa 2.1.1 Cho không gian véc-tơ X trên trường K và ánh xạ h·, ·i : X × X → K thỏamãn các tính chất sau

(i) hx, xi ≥ 0 với mỗi x ∈ X

hx, xi = 0 ⇔ x = 0

(ii) hx, yi = hy, xi với mỗi x, y ∈ X

(iii) hαx, yi = α hx, yi với mỗi x, y ∈ X, α ∈ K

(iv) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mỗi x, y, z ∈ X

Khi đó h·, ·i được gọi là một tích vô hướng trên K và số hx, yi được gọi là tích vô hướng của hainhân tử x và y

Nhận xét 2.1.1 Cho không gian véc-tơ X trên trường K, h·, ·i là tích vô hướng trên X Khi đóvới mỗi x, y, z ∈ X và α, β ∈ K ta có

(a) hαx + βy, zi = α hx, zi + β hy, zi

(b) hx, αyi = ¯α hx, yi

(c) hx, αy + βzi = ¯α hx, yi + ¯β hx, zi

Định lý 2.1.1 (Bất đẳng thức Cauchy) Cho h·, ·i là tích vô hướng trên X Khi đó với mỗi x, y ∈ X

ta có

Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại α, β ∈ K và không đồng thời bằng 0 sao cho βx + αy = 0.Chứng minh Với mỗi x, y ∈ X, nếu x = 0 hoặc y = 0 thì (2.1) hiển nhiên đúng Do đó không giảmtổng quát giả sử x 6= 0 và y 6= 0 Như vậy, bằng cách đặt u = x

phx, xi và v =

yphy, yi, ta suy ra

hu, ui = hv, vi = 1

Hơn nữa vì

0 ≤ hu − hu, vi v, u − hu, vi vi = 1 − hu, vi hu, vi = 1 − |hu, vi|2nên |hu, vi|2≤ 1, điều này tương đương với |hx, yi|2≤ hx, xi hy, yi

Đẳng thức (2.1) xảy ra nếu hu − hu, vi v, u − hu, vi vi = 0 Do đó u = hu, vi v hay hy, yi x =

hx, yi y Như vậy, chỉ cần đặt α = − hx, yi và β = hy, yi, ta sẽ suy ra α, β ∈ K, không đồng thời bằng

0 và βx + αy = 0

Định lý 2.1.2 (Bất đẳng thức Minkowski) Cho X là không gian véc-tơ trên trường K Khi đó vớimỗi x, y ∈ X ta có

Chứng minh Bình phương hai vế của (2.2) và thu gọn, đưa đến bất đẳng thức sau

Điều này hiển nhiên đúng, vì theo (2.1) ta có

Rehx, yi ≤ |hx, yi| ≤phx, xi hy, yi

Hệ quả 2.1.1 Cho X là không gian véc-tơ trên trường K Với mỗi x ∈ X, đặt kxk =phx, xi, thìk.k là một chuẩn trên X Như vậy X là không gian định chuẩn

Chứng minh Dựa vào định nghĩa tích vô hướng và hệ thức (2.2), dễ dàng thấy rằng k.k thỏa mãn

3 tiên đề của định nghĩa chuẩn

Định lý 2.1.3 Nếu trong không gian tích vô hướng mà xn→ x0và yn→ y0thì hxn, yni → hx0, y0i.Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

|hxn, yni − hx0, y0i| = |hxn, yn− y0i + hxn− x0, y0i|

≤ |hxn, yn− y0i| + |hxn− x0, y0i|

≤ kxnk kyn− y0k + kxn− x0k ky0k

Do đó hxn, yni → hx0, y0i khi n → ∞

Định nghĩa 2.1.2 (Không gian Hilbert) Không gian véc-tơ H trên trường K được gọi là khônggian Hilbert nếu thỏa mãn các điều kiện sau

(i) H được trang bị một tích vô hướng h·, ·i

(ii) H là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ với chuẩn

kxk =phx, xi, x ∈ H

Ví dụ 2.1.1 Không gian Euclide Rn

Không gian Rn là không gian Hilbert với tích vô hướngđược xác định bởi

Ví dụ 2.1.3 Trong không gian L2[a, b] các hàm bình phương khả tích trên đoạn [a, b], ta địnhnghĩa tích vô hướng của hai hàm f, g ∈ L2[a, b] bởi công thức

hf, gi =

Z b a

n = 1, (2.4) hiển nhiên đúng Trong trường hợp n = 2, vì hx1, x2i = 0 nên

kx1+ x2k2 = hx1+ x2, x1+ x2i

= hx1, x1i + hx1, x2i + hx2, x1i + hx2, x2i

= hx1, x1i + hx2, x2i

= kx1k2+ kx2k2

Giả sử (2.4) đúng cho đến n, lúc này cho n + 1 phần tử x1, x2, , xn+1 và trực giao từng đôi một.

Định nghĩa 2.2.3 Cho X là không gian véc-tơ trên trường K và A ⊂ X Ta nói A là tập lồi nếuvới mỗi x, y ∈ A và t ∈ [0, 1] thì (1 − t)x + ty ∈ A

Bổ đề 2.2.1 (Đẳng thức hình bình hành) Cho H là không gian Hilbert và x, y ∈ H Khi đó

kx + yk2+ kx − yk2= 2(kxk2+ kyk2)

Chứng minh Dễ dàng kiểm tra dựa vào định nghĩa

Bổ đề 2.2.2 Cho H là không gian Hilbert, ∅ 6= A ⊂ H là tập lồi, đóng và x ∈ H Khi đó tồn tạiduy nhất a0∈ A sao cho kx − a0k = d(x, A)

Chứng minh Điểm a0 ở trên tồn tại Thật vậy, đặt d = d(x, A) = inf

a∈Akx − ak, theo tính chất cậndưới đúng, tồn tại {an} ⊂ A sao cho lim

n→∞kx − ank = d Theo đẳng thức hình bình hành, với mỗi

Bổ đề 2.2.3 Cho H là không gian Hilbert, A ⊂ H Kí hiệu A = {x ∈ H/x ⊥ A} Khi đó A làkhông gian tuyến tính con đóng của H và A ∩ A⊥ = {0}.

Chứng minh Đầu tiên, hiển nhiên A⊥ là không gian tuyến tính con của H, do nó thỏa mãn hai tiên

đề của không gian con Hơn nữa, A⊥ đóng Thật vậy, lấy dãy {xn} ⊂ A⊥ và x0∈ H mà xn → x0

Do đó, với mỗi n ∈ N∗ thì hxn, ai = 0, với mỗi a ∈ A Mặt khác, do xn→ x0nên theo Định lý 2.1.3suy ra hxn, ai → hx0, ai Điều này dẫn đến hx0, ai = 0, với mỗi a ∈ A Do vậy x0∈ A⊥

Cuối cùng, lấy phần tử a sao cho a ∈ A và a ∈ A⊥, do đó ha, ai = 0 hay a = 0 Như vậy

Giả sử x còn được biểu diễn dưới dạng x = y1 + z1 với y1 ∈ A, z1 ∈ A⊥ Khi đó y − y1 ∈

A, z − z1∈ A⊥ và y − y1+ z − z1= 0 Áp dụng Định lý Pythagore cho y − y1 và z − z1 ta có

ky − y1k2+ kz − z1k2= ky − y1+ z − z1k2= 0

Do đó y = y1, z = z1 Bởi thế biểu diễn (2.6) là duy nhất

Định nghĩa 2.2.4 Cho H là không gian Hilbert, A là không gian con đóng của H Theo Định lý2.2.2, ta lập được ánh xạ P : H → A xác định bởi P (x) = y, với x ∈ H

Ta nói rằng P là phép chiếu trực giao từ H lên A

Nhận xét 2.2.2 Ánh xạ P ở trên thỏa mãn các tính chất sau

(a) P là ánh xạ tuyến tính

(b) kP (x)k ≤ kxk, với mỗi x ∈ H

(c) P0P = P

Chứng minh (a) P là ánh xạ tuyến tính Thật vậy, lấy x, x ∈ H và α ∈ K Do đó, x và x đượcbiểu diễn duy nhất dưới dạng x = y + z; x0 = y0+ z0 với y, y0 ∈ A và z, z0 ∈ A⊥ Từ đó ta được

x + x0 = (y + y0) + (z + z0) với y + y0 ∈ A và z + z0 ∈ A⊥ Giả sử ta còn có biểu diễn x + x0= a + a0với a ∈ A và a0 ∈ A⊥ Sử dụng A ∩ A⊥= {0}, suy ra y + y0 = a và z + z0= a0, hay biểu diễn trên

là duy nhất Do đó dựa vào định nghĩa ánh xạ P , ta có P (x + x0) = y + y0= P (x) + P (x0).Tương tự cách chứng minh ở trên, ta cũng suy ra rằng P (αx) = αP (x) Như vậy, ánh xạ P đã cho

là ánh xạ tuyến tính

(b) Với mỗi x ∈ H, x = y + z với y ∈ A, z ∈ A⊥ Do đó

kP (x)k2= kyk2≤ kyk2+ kzk2= ky + zk2= kxk2.Điều này suy ra rằng kP (x)k ≤ kxk, với mỗi x ∈ H

(c) Lấy x ∈ H được biểu diễn như trên, ta thấy rằng

(P0P )(x) = P (P (x)) = P (y) = P (x)

Do đó P0P = P

Định lý 2.2.3 Cho L : H → K là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert H Khi

đó tồn tại duy nhất y ∈ H sao cho L(x) = hx, yi, với mỗi x ∈ H

Chứng minh Nếu L(x) = 0, với mỗi x ∈ H Chỉ cần chọn y = 0 thì L(x) = hx, yi, với mỗi x ∈ H.Ngược lại, tức là L 6= 0, đặt A = {x ∈ H/L(x) = 0} Dễ dàng thấy rằng A là không gian con đóngcủa H Hơn nữa A⊥ 6= {0} Thật vậy, giả sử A⊥ = {0}, vì L 6= 0 nên ta chọn x ∈ H mà L(x) 6= 0.Theo Định lý 2.2.2, x được biểu diễn duy nhất dưới dạng x = y + z, với y ∈ A, z ∈ A⊥ Mặt khác, vì

A⊥= {0} nên z = 0, kéo theo x = y Hơn nữa, do y ∈ A nên L(x) = L(y) = 0, điều này mâu thuẫnvới L(x) 6= 0 Cho nên ta được A⊥6= {0}, chọn z0∈ A⊥ sao cho z06= 0 Đặt z = z

Kéo theo L(x) = L(z) hx, zi Như vậy, chỉ cần đặt y = αz với α = L(z), thì L(x) = α hx, zi =

hx, αzi = hx, yi Vậy ta tìm được y ∈ H sao cho L(x) = hx, yi, với mỗi x ∈ H

Cuối cùng, y ở đây là duy nhất Thật vậy, cho y và y0 ∈ H sao cho L(x) = hx, yi = hx, y0i, vớimỗi x ∈ H Suy ra hx, y − y0i = 0, với mỗi x ∈ H Chọn x = y − y0, suy ra hy − y0, y − y0i = 0 hay

y = y0

Định nghĩa 2.3.1 Cho H là không gian Hilbert và C ⊂ H Khi đó C được gọi là tập trực chuẩntrên H nếu thỏa mãn các điều kiện sau

(i) Với mỗi e ∈ C, kek = 1.

(ii) Với mỗi e, e0 ∈ C mà e 6= e0 thì he, e0i = 0

Bổ đề 2.3.1 Cho H là không gian Hilbert, {e1, e2, , en} là tập trực chuẩn trên H Khi đó{e1, e2, , en} độc lập tuyến tính

Chứng minh Dựa vào định nghĩa tập trực chuẩn

Định lý 2.3.1 (Quá trình trực giao hóa Gram- Schmidt) Cho H là không gian Hilbert, {xn} ⊂ H

là tập các véc-tơ độc lập tuyến tính Khi đó có thể biến tập đã cho thành một tập trực chuẩn.Chứng minh Do {xn} là độc lập tuyến tính nên xn 6= 0, với mỗi n ∈ N∗ Do đó, đặt e1 = x1

kx1k,suy ra ke1k = 1 Đặt y2= x2− hx2, e1i e1, suy ra

hy2, e1i = hx2, e1i − hx2, e1i he1, e1i = hx2, e1i − hx2, e1i = 0

Giả sử y2 = 0, kéo theo x2− hx2, e1i e1 = 0 hay x2− hx2, e1i x1

kx1k = 0, mâu thuẫn giả thiết x1, x2độc lập tuyến tính Do đó y2 6= 0, đặt e2 = y2

ky2k, ta được he2, e1i = 0 và ke2k = 1 Tiếp tục quátrình này với cách đặt như trên ta xây dựng được k phần tử e1, e2, , ek mà keik = 1 và hei, eji = 0nếu i 6= j, ở đây i, j ∈ {1, 2, , k} Đặt yk+1= xk+1−

Tương tự cách chứng minh ở trên, suy ra yk+16= 0 Đặt ek+1= yk+1

kyk+1k, kéo theo hek+1, eji = 0 vớimỗi j = 1, k và hek+1, ek+1i = 1

Như vậy, tiếp tục quá trình này ta xây dựng được {en} là tập trực chuẩn cần tìm

Định nghĩa 2.3.2 Tập trực chuẩn C trên không gian Hilbert H được gọi là cơ sở nếu mọi điểmthuộc H trực giao với C chỉ gồm các véc-tơ 0

Định lý 2.3.2 (Bất đẳng thức Bessel) Cho H là không gian Hilbert và {en} là một tập trực chuẩn.Khi đó với mỗi x ∈ H,

X

n=1

αnen hội tụ, tức là tồn tại S ∈ H sao cho

Sn → S Do đó {Sn} là dãy Cauchy trong H, kéo theo {δn} là dãy Cauchy trong R Vì R đầy đủnên tồn tại δ ∈ R sao cho δn→ δ, tức là chuỗi

x = 0 Như vậy, {en} là cơ sở trên H.

(b) ⇒ (e) Nếu có (b) thì với mọi x ∈ H, x =