Nghiên cứu phương pháp ổn định tính giá trị của toán tử không bị chặn trong không gian hilbert

Toán tử tuyến tính không bị chặn và toán tử liên hợp trong không gian Hilbert của chúng.. Chọn tham số điều chỉnh theo nguyên lí sai số Morozov để tính ổn định giá trị của toán tử đóng c

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Văn Kính

5 TS Lê Xuân Đại

Xác nhận của hội đồng đánh giá luận văn và trưởng khoa quản lý chuyênngành sau khi luận văn đã chỉnh sửa (nếu có)

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên: Vũ Thị Phượng

Ngày sinh: 04/09/1987

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

MSHV: 13241379Nơi sinh: Hải Phòng

MN: 60 46 01 12

1 TÊN ĐỀ TÀI

NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP ỔN ĐỊNH TÍNH GIÁ TRỊ CỦATOÁN TỬ KHÔNG BỊ CHẶN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

2 NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

• Tìm hiểu về bài toán đặt không chỉnh, nguyên lý sai số Morozov

và một số kiến thức cơ sở liên quan

• Nghiên cứu phương pháp điều chỉnh Morozov để tính ổn định giátrị của toán tử đóng có miền xác định trù mật trong không gianHilbert

• Ứng dụng giải một số toán cụ thể, chạy trên phần mềm Matlab

3 NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 16/01/2017

4 NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 26/06/2017

5 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS NGUYỄN VĂN KÍNH

TRƯỞNG KHOA

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc của mình tới thầyhướng dẫn PGS TS Nguyễn Văn Kính, Trưởng khoa Khoa học cơ bản,Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm thành phố Hồ Chí Minh Thầy

đã khuyến khích, động viên, quan tâm giúp đỡ, truyền đạt kiến thức vàtạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tập thể Thầy, Cô giáo bộmôn Toán Ứng dụng - Khoa Khoa học ứng dụng, phòng Đào tạo sau đạihọc - Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh,

đã tham gia giảng dạy, truyền đạt kiến thức và tạo điều kiện thuận lợicho tôi trong suốt khóa học

Tôi xin gửi lời cám ơn tới các bạn học viên lớp Toán ứng dụng Khóa

2014, các bạn đồng nghiệp, những người thân trong gia đình đã đồnghành, chia sẻ những khó khăn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình họctập và làm luận văn

TP Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2017

Tác giả

Vũ Thị Phượng

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS TS Nguyễn Văn Kính

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học, tiếp thu kiến thức của thầy hướng dẫn với sự trântrọng và biết ơn

TP Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2017

Tác giả

Vũ Thị Phượng

Mục lục

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Mục lục iii

Bảng kí hiệu v

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức cơ sở 3

1.1 Một số vấn đề về toán tử tuyến tính liên tục 3

1.1.1 Toán tử liên hợp 3

1.1.2 Toán tử tuyến tính không bị chặn và toán tử liên hợp trong không gian Hilbert của chúng 5

1.2 Toán tử chiếu 7

1.3 Phổ của toán tử tự liên hợp 7

1.3.1 Các khái niệm 7

1.4 Toán tử compact 9

1.4.1 Phổ của toán tử compact 11

1.5 Đạo hàm Fréchet 18

1.6 Bài toán đặt chỉnh, bài toán đặt không chỉnh 20

1.6.1 Khái niệm 20

1.7 Toán tử ngược Moore-Penrose 22

1.8 Phương pháp điều chỉnh tổng quát 24

Chương 2 Chọn tham số điều chỉnh theo nguyên lí sai số Morozov để tính ổn định giá trị của toán tử đóng có miền xác định trù mật trong không gian Hilbert 29

2.1 Chiến lược chọn tham số điều chỉnh 29

2.2 Sự hội tụ 32

2.3 Tính tối ưu 36

2.4 Nguyên lý sai số 38

2.5 Nguyên lý sai số tối ưu 41

Chương 3 Ví dụ minh họa 46

Kết luận 50

Tài liệu tham khảo 51

LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 53

Bảng kí hiệu

C[a,b] Không gian các hàm liên tục trên [a, b]

C[a,b]1 Không gian các hàm khả vi liên tục trên [a, b]

L2[a,b] Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b]

N (F )⊥ Không gian trực giao của N (F )

R(F )⊥ Không gian trực giao của R (F )

Lời nói đầu

Trong khoa học kỹ thuật, nhiều vấn đề lý thuyết và ứng dụng dẫn đếnviệc tính giá trị gần đúng của toán tử F tại một điểm x0 cho trước thuộc

tập con D(F ) của không gian Hilbert H1, với F : D(F ) ⊆ H1 → H2 làmột toán tử tác động từ tập con D(F ) của không gian Hilbert H1 vàokhông gian Hilbert H2 , khi dữ liệu ban đầu x0 chỉ biết gần đúng

Bài toán trên thường là đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard Khi

đó, nếu có sự thay đổi nhỏ dữ kiện chính xác x0 có thể dẫn đến sự thayđổi lớn giá trị gần đúng của toán tử F tại điểm x0 Vấn đề đặt ra là

cần nghiên cứu phương pháp ổn định để tính giá trị gần đúng của F tạiđiểm x0 ∈ D(F ) khi chỉ biết gần đúng xδ của x0 thỏa mãn điều kiện

yαδ = F zαδ
, trong đó zδ

α là cực tiểu của phiếm hàm điều chỉnh

Φδα(z) =k z − xδk2 + α k F (z) k2, z ∈ D(F ), α > 0

Trong luận văn này, tôi chứng minh kết quả về bậc hội tụ của dãygiá trị gần đúng yδ

α đến y0 và chỉ ra rằng bậc hội tụ này là tốt nhất.Ngoài ra, ứng dụng phần mềm Matlab để giải một ví dụ cụ thể

Ngoài lời nói đầu, mục lục, kết luận và tài liệu tham khảo, luận vănđược chia thành 3 chương

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở liên quan đến nội dungnghiên cứu của luận văn như: toán tử liên hợp trong không gian Hilbert,phổ của toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert, phân tíchphổ, các khái niệm về bài toán đặt chỉnh và bài toán đặt không chỉnh.Chương 2: CHỌN THAM SỐ ĐIỀU CHỈNH MOROZOV THEO NGUYÊN

LÝ SAI SỐ ĐỂ TÍNH ỔN ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA TOÁN TỬ ĐÓNG CÓMIỀN XÁC ĐỊNH TRÙ MẬT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chương này trình bày nguyên lý sai số Morozov, chứng minh các kếtquả về bậc hội tụ của yδ

α và trình bày nguyên lý sai số tối ưu để tínhgiá trị gần đúng của toán tử đóng có miền xác định trù mật

Chương 3: ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỤ THỂ

Trình bày một ví dụ cụ thể sử dụng phương pháp nói trên Giải sốbằng phần mềm Matlab

Luận văn được thực hiện với sự nỗ lực hết sức của tác giả, nhưng dothời gian và trình độ có hạn nên khó tránh khỏi những thiếu sót Tácgiả mong muốn nhận được sự thông cảm, đóng góp ý kiến của quý thầy

cô, bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Chương 1

Kiến thức cơ sở

1.1 Một số vấn đề về toán tử tuyến tính liên tục

Trong suốt luận văn này, nếu không có giả thiết gì thêm về X, Y thì

X, Y là các không gian Hilbert

1.1.1 Toán tử liên hợp

Định nghĩa 1.1.1 [3] Một toán tử tuyến tính F : X → Y được gọi là

bị chặn (liên tục) nếu tồn tại M thỏa mãn

liên tục từ Y vào X, xác định bởi công thức

Bổ đề 1.1.1 [1] Giả sử F : X → Y là một toán tử tuyến tính liên tục.Khi đó, ta có

Nhận xét 1.1.1 [1] Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ

X vào Y , kí hiệu là L (X, Y ) Khi đó L (X, Y ) là một không gian địnhchuẩn với chuẩn là chuẩn của toán tử tuyến tính liên tục

Nếu X ≡ Y thì người ta kí hiệu L (X, Y ) bởi L (X)

Định lý 1.1.1 [1] Nếu F là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert

X thì

kF k = sup {|hF x, xi| : kxk ≤ 1} = sup {|hF x, xi| : kxk = 1}

Định lý 1.1.2 [1] Giả sử X là không gian Hilbert phức và F là toán

tử tuyến tính liên tục trong X Điều kiện cần và đủ để F tự liên hợp là

hF x, xi là số thực với mọi x ∈ X

1.1.2 Toán tử tuyến tính không bị chặn và toán tử liên hợp

trong không gian Hilbert của chúng

Định nghĩa 1.1.5 [3] Một toán tử tuyến tính F : D (F ) ⊆ X → Yđược gọi là không bị chặn nếu có một dãy vectơ đơn vị {un} ⊆ D (F )

mà k F (un) k→ ∞

Ví dụ 1.1.1 Ví dụ về toán tử tuyến tính không bị chặn

Trên hai không gian C[0,1] và C[0,1]1 với cùng chuẩn kxk = max

t∈[0,1]

|x (t)| Xét toán tử đạo hàm

kF (xn(t))k = M ax

t∈[0,1]knπ cos nπtk = nπ → +∞ khi n → ∞

Một toán tử tuyến tính không bị chặn có nhiều tính chất khác toán

tử tuyến tính bị chặn Một kết quả nổi tiếng (Định lý 1.1.3) dưới đây

đã gợi ý rằng miền xác định của toán tử và bài toán mở rộng toán tử sẽđóng vai trò đặc biệt Thực tế ta sẽ thấy rằng khá nhiều tính chất của

một toán tử phụ thuộc vào miền xác định và có thể thay đổi qua sự mởrộng hay hạn chế.

Khi định lý đó được khám phá bởi E Hellinger và O.Toeplitz (1910),

nó gây ra sự bối rối vì định lý thiết lập mối quan hệ giữu hai tính chất,

đó là tính chất xác định khắp nơi và tính chất bị chặn

Định lý 1.1.3 (Định lý Hellinger - Toeplitz) [9] Nếu toán tử tuyếntính F : D (F ) → H xác định trên toàn bộ không gian Hilbert phức H

và thỏa mãn hF x, yi = hx, F yi với mọi x, y ∈ H, thì F bị chặn

Trong lý thuyết của toán tử bị chặn, toán tử liên hợp F∗ của toán tử

F trong không gian Hilbert đóng một vai trò cơ bản Vì vậy chúng takhái quát khái niệm quan trọng này đối với toán tử không bị chặn.Định nghĩa 1.1.6 [6, 9] Cho F : D (F ) ⊂ X → Y là toán tử tuyếntính có miền xác định D (F ) trù mật (có thể không bị chặn) Khi đótoán tử liên hợp của toán tử F là F∗ : D (F∗) ⊆ Y → X được xác định

như sau: Miền xác định D (F∗) của F∗ là không gian con chứa tất cảcác vectơ y ∈ Y thỏa mãn

hF x, yi = hx, y∗i ,

với vectơ y∗ ∈ X và mọi x ∈ D (F ) Với mỗi y ∈ D (F∗) như vậy toán

tử liên hợp F∗ trong không gian Hilbert khi đó được xác định bởi các sốhạng của nó là

F∗y = y∗

1.2 Toán tử chiếu

Định nghĩa 1.2.1 [1] Cho X là không gian Hilbert, M là không giancon đóng của X Khi đó, với x ∈ X, tồn tại duy nhất u ∈ M , v ∈ M⊥sao cho

x = u + v, u ∈ M, v ∈ M⊥

Đặt

P : X → M

x 7→ P (x) = uToán tử P được gọi là phép chiếu trực giao của không gian X lên khônggian con đóng M

Định lý 1.2.1 [1] Cho X là không gian Hilbert và P ∈ L (X) Điềukiện cần và đủ để P là toán tử chiếu là

1 P∗ = P ,

2 P2 = P

Khi đó P là toán tử chiếu lên không gian con đóng M = R (P )

1.3 Phổ của toán tử tự liên hợp

không có toán tử ngược liên tục.

Tập hợp tất cả các giá trị phổ của F được goi là tập phổ của F , kí hiệu

σ (F )

2)Nếu λ /∈ σ (F ) thì λ được gọi là giá trị chính quy của F

Tập hợp các giá trị chính quy của F gọi là tập gải của F , kí hiệu ρ (F )Định lý 1.3.1 [1] Giả sử X là một không gian Banach (thực hay phức)

và F là một toán tử tuyến tính bị chặn trong X Nếu số λ thỏa mãn

|λ| > lim

n→∞

n

pkFnkthì λ ∈ ρ (F ) và toán tử R (λ, F ) = (F − λI)−1 được xác định bởi côngthức

Hệ quả 1.3.2 [1] Nếu F ∈ L (X) (X là một không gian Banach) và

kF k ≤ 1 thì tồn tại toán tử ngược bị chặn (I + F )−1 và

1) Nếu λ là một giá trị riêng của F thì λ ∈ σ (F ).Điều ngược lại nóichung không đúng.

Đặc biệt, nếu X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều thì phổ của

F là tập hợp tất cả các giá trị riêng của F

2) σ (F ) ∪ ρ (F ) = K; σ (F ) ∩ ρ (F ) = ∅

3) Mọi giá trị riêng của toán tử tự liên hợp F đều là số thực

4) Nếu F ∈ L (X) thì |σ (F )| ≤k F k Hơn nữa, nếu F là toán tử tự liênhợp thì |σ (F )| =k F k

5) Nếu F là một toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert X thì

Nhận xét 1.4.1 [1]

1) Toán tử compact F ánh xạ mọi tập hợp bị chặn trong X thành một

tập hợp compact tương đối trong Y

2) Toán tử compact là liên tục Như vậy tính compact của một toán tửtuyến tính là mạnh hơn tính liên tục, do đó người ta còn gọi một toán

tử compact là một toán tử hoàn toàn liên tục

Định lý 1.4.1 [1] Nếu F : X → Y là một toán tử compact của khônggian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y thì F ánh xạ mọi dãyhội tụ yếu trong X thành một dãy hội tụ mạnh trong Y

Định lý 1.4.2 [1] Giả sử X là một không gian Banach phản xạ và Y làmột không gian định chuẩn tùy ý Nếu toán tử tuyến tính F : X → Yánh xạ mọi dãy hội tụ yếu trong X thành một dãy hội tụ (mạnh) trong

Hệ quả 1.4.1 [1] Giả sử X là một không gian định chuẩn, F ∈ L (X)

là một toán tử compact Với mọi G ∈ L (X), các toán tử F G và GF đều

Định lý 1.4.5 [1] Giả sử X là không gian định chuẩn tùy ý và Y làkhông gian Banach Nếu Fn ∈ L (X, Y ) (n = 1, 2, ) là một dãy toán tửcompact, hội tụ trong L (X, Y ) đến toán tử F ∈ L (X, Y ), tức là

lim

n→∞kFn− F k = 0thì F là một toán tử compact

1.4.1 Phổ của toán tử compact

Định lý 1.4.6 [1] Nếu không gian Banach X có số chiều vô hạn và nếu

F là một toán tử compact trong X, thì 0 ∈ σ (F )

Định lý 1.4.7 [1] Giả sử F là một toán tử compact trong X và λ 6= 0.Khi đó không gian vectơ con đóng

Nλ = {x ∈ X : (F − λI) x = 0} = (F − λI)−1(0) = {x ∈ X : F x = λx}

có số chiều hữu hạn

Bổ đề 1.4.1 [1] Nếu F là một toán tử compact và λ là một số khác 0thì miền giá trị R (F − λI) của F − λI là một không gian con đóng củaX

Bổ đề 1.4.2 [1] Nếu λ 6= 0 không phải là một giá trị riêng của toán tửcompact F thì λ /∈ σ (F∗)

Nhận xét 1.4.2 [1] Toán tử compact trong không gian Banach thì tậpphổ trùng với tập các giá trị riêng của nó

Định lý 1.4.8 [1] Nếu toán tử F là compact và nếu số λ 6= 0 thuộc phổ

σ (F ) thì λ là một giá trị riêng của F

Nói cách khác, ngoài giá trị 0, phổ của toán tử compact F chỉ gồm toàncác giá trị riêng.

Hơn nữa , ta có các kết quả sau đây

Định lý 1.4.9 [1] Phổ σ (F ) của một toán tử compact F chỉ gồm cómột số hữu hạn hay đếm được những giá trị khác nhau Trong trườnghơp thứ hai, các giá trị λn ∈ σ (F ) , λn 6= 0 (n = 1, 2, ) phải dần đếnkhông

Chứng minh Ta cần chứng minh rằng với mọi số r ≥ 0 cho trước, chỉ

có một số hữu hạn những giá trị λ ∈ σ (F ) với |λ| ≥ r Thật vậy, trongtrường hợp trái lại, ta lấy một dãy λn ∈ σ (F ) , |λn| ≥ r, n = 1, 2, và

λn 6= λm khi n 6= m Theo Định lý 1.4.8, mỗi λn là một giá trị riêng củatoán tử compact F , do đó tồn tại xn ∈ X với kxnk = 1 và

F xn = λnxn

Vì các xn là các vectơ riêng của F ứng với những giá trị riêng λn khác

nhau, nên chúng là độc lập tuyến tính

Gọi Ln là không gian con của X sinh bởi {x1, x2, , xn} Khi đó, các Lnđều đóng và khác nhau vì chúng có số chiều hữu hạn, ngoài ra

L1 ⊂ L2 ⊂ ⊂ Ln ⊂ Ln+1 ⊂

Theo định lý Hahn - Banach, tồn tại vectơ yn+1 ∈ Ln+1 sao cho

kyn+1k = 1, kyn+1− xk > 1

2,với mọi x ∈ Ln Vì yn+1 ∈ Ln+1 nên

yn+1 = α1x1 + α2x2 + + αnxn+ αn+1xn+1

Nhưng yn là một dãy bị chặn và F là compact, nên dãy {F (yn)} phảichứa một dãy con hội tụ Suy ra, có sự mâu thuẫn.

Vậy chứng tỏ không thể có vô số giá trị λ ∈ σ (F ) với |λ| ≥ r

Định lý 1.4.10 [1] Giả sử X là không gian Hilbert, F ∈ L (X) là toán

tử compact tự liên hợp trên X và {λn} là dãy các trị riêng khác 0 của F ,mỗi giá trị riêng được kể một số lần bằng số chiều của không gian conriêng Khi đó tồn tại một hệ trực chuẩn {en, n = 1, 2, } đầy đủ trong

X, với en là vecto riêng tương ứng với trị riêng λn sao cho

Ta có định nghĩa hàm của toán tử compact tự liên hợp sau đây.Định nghĩa 1.4.2 [1] Giả sử F là toán tử compact tự liên hợp từ khônggian Hilbert X vào X và f là một hàm số thực liên tục xác định trênmột đoạn chứa σ (F ), ta định nghĩa

Định lý 1.4.12 [1] Nếu F là toán tử compact tự liên hợp thì

1) f (F ) , (F∗F )ν là các toán tử compact tự liên hợp,

Định nghĩa 1.4.4 [1] Cho F ∈ L (X) là toán tử tự liên hợp Họ phổ sinhbởi F là họ các toán tử chiếu {Eλ, λ ∈ σ (F )}, trong đó Eλ = PN(F+

λ)

Ví dụ 1.4.1 [1] Nếu F là toán tử compact tự liên hợp với các giá trịriêng phân biệt λ1, λ2, thì N Fλ+
là không gian con sinh bởi tất cảcác vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng λn với λn ≤ λ Do đó

R(Fλ+)⊥.Định lý sau đây cho ta biểu diễn phổ của toán tử tự liên hợp

Định lý 1.4.13 [1] Nếu F ∈ L (X) là toán tử tự liên hợp thì có một họ{Eλ, λ ∈ σ (F )} các toán tử chiếu trên X sao cho

trong đó λn là các trị riêng khác không và khác nhau của F ứng vớivectơ riêng en , Pn là phép chiếu chính tắc từ X lên không gian con

riêng N (F − λnI) Hơn nữa, biểu diễn của F+ chỉ chứa các số hạng

λnPn, trong đó λn > 0 và biểu diễn phổ của F− chỉ chứa các số hạng

Như vậy, biểu diễn của F+ chỉ chứa các số hạng λnPn, trong đó λn > 0

và biểu diễn phổ của F− chỉ chứa các số hạng λnPn, trong đó λn < 0

Ta có định nghĩa khái niệm hàm của toán tử tự liên hợp F

Định nghĩa 1.4.5 [1] Giả sử F ∈ L (X) là tự liên hợp Cho trước

f ∈ C [a, b], trong đó a < mF và MF ≤ b, toán tử f (F ) được định nghĩabởi

f (F ) = lim

n pn(F ) , F ∈ L (X) ,trong đó {pn} là dãy bất kì các đa thức thực hội tụ đều đến f trên C[a,b]

Định lý 1.4.15 [3] Nếu F ∈ L (X) là tự liên hợp, a < mF và MF ≤ bthì

→ 0 khi n → ∞.Theo định nghĩa thì kf (F ) − pn(F )k → 0 khi n → ∞.

1.5 Đạo hàm Fréchet

Định nghĩa 1.5.1 [3] Cho X, Y là các không gian định chuẩn trêncùng trường số K, D là tập mở khác rỗng trong X và f : D → Y là mộttoán tử (có thể không là toán tử tuyến tính)

i) f được gọi là khả vi Fréchet tại x0 ∈ D nếu tồn tại một toán tử tuyếntính liên tục A ∈ L (X, Y ) (phụ thuộc vào x0) sao cho

lim

h→0

k f (x0 + h) − f (x0) − Ah k

Khi đó, ta gọi A là đạo hàm Fréchet của f tại x0 , ký hiệu là

i) Đạo hàm Fréchet của f tại x0 nếu có thì duy nhất

ii) Nếu X là không gian Hilbert và f : X → K khả vi Fréchet tại x0 ∈ Xthì f0(x0) là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X Do đó theo định lý

Riez, tồn tại duy nhất vectơ ∇f (x0) ∈ X, gọi là gradient của f tại x0,thỏa mãn

f0(x0) h = hh, ∇f (x0)i, với mọi h ∈ X

Bổ đề 1.5.1 [3] Nếu X, Y là hai không gian Hilbert phức thì

3 Nếu T (x) =k F x−yk2+α k xk2 thì T0(x) (v) = 2 hF∗F u − F∗y + αx, vi

Bổ đề 1.5.2 [3] Nếu F : X → Y là toán tử khả vi Fréchet sao cho

k A k6 1, A := F0()thì với mọi k ∈ N, k 6= 0 ta có :

Định nghĩa 1.6.1 [8] Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn và

F : X → Y là một toán tử (tuyến tính hoặc phi tuyến) Bài toán tìmnghiệm của phương trình

F (x) = y,được gọi là đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard nếu cả ba điều kiện sau đâyđược thỏa mãn:

i) Với mỗi y ∈ Y tồn tại x ∈ X sao cho F (x) = y,

ii) Với mỗi y ∈ Y , có duy nhất x ∈ X sao cho F (x) = y,

iii) Bài toán tìm nghiệm này là ổn định , tức là toán tử F tồn tại toán

tử ngược F−1 : Y → X liên tục trên Y

Ngược lại, nếu có ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãnthì bài toán tìm nghiệm của phương trình trên được gọi là đặt khôngchỉnh (theo nghĩa Hadamard).

Đặc biệt, nếu chỉ có điều kiện (iii) không thỏa mãn thì ta nói bài toántìm nghiệm của phương trình trên là không ổn định

Ví dụ 1.6.1 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh

Ta đã biết phép lấy đạo hàm và tích phân là hai bài toán ngược nhau

Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng bài toán ngược của phép lấy tích phân làđặt không chỉnh Thật vậy, gọi C0[0,1]1 là không gian định chuẩn của cáchàm khả vi liên tục y (t) trên [0, 1] thỏa mãn điều kiện y (0) = 0 Xéttoán tử

với chuẩn k x k= max

06t61 |x (t)| cho trong C[0,1] Khi đó nghiệm của bàitoán ngược, tức là nghiệm của phương trình F x = y chính là x = y0(t).Hiển nhiên F là song ánh tuyến tính liên tục

Toán tử ngược F−1 được xác định bởi công thức

F−1y
(t) = d

dty (t) = x (t) , y (t) ∈ C

1 0[0,1]

Bây giờ giả sử rằng dữ kiện nhiễu yδ ∈ C[0,1] thỏa mãn

k yδ − y k6 δ, δ ∈ (0, 1)

1.7 Toán tử ngược Moore-Penrose