Bây giờ ta chuyển sang nghiên cứu bài toán, khi nào hệ Gabor{EmbTnag}m,n∈Z
là khung cho L2(R). Một trong những kết quả cơ bản nhất nói rằng tích ab quyết định khả năng để hệ Gabor {EmbTnag}m,n∈Z có tạo nên một khung cho L2(R) đối với một hàm g nào đó thuộc L2(R) hay không.
Trước khi phát biểu một định lý quan trọng về điều kiện cần cho hệ Gabor là khung, ta cần đến khái niệm cơ sở Riesz sau.
Định nghĩa 3.4. Một cơ sở Riesz cho không gian Hilbert H là một họ có dạng {U ek}∞k=1, ở đây {ek}∞k=1 là một cơ sở trực chuẩn của H và U : H −→ H là một toán tử tuyến tính liên tục hai chiều.
Ta có định lý quan trọng sau đây.
Định lý 3.4. Giả sử g ∈ L2(R) và a, b >0 cho trước. Khi đó (a) Nếu ab > 1 thì {EmbTnag}m,n∈Z không là khung của L2(R).
(b) Nếu {EmbTnag}m,n∈Z là khung của L2(R) thì ab = 1 khi và chỉ khi {EmbTnag}m,n∈Z là một cơ sở Riesz.
Để tránh cho việc Luận văn quá dày khi ta muốn đưa đầy đủ các ý tưởng chính vào đây, ta bỏ qua chứng minh định lý này. Tuy nhiên, ta có thể tìm thấy chứng minh đó trong quyển sách thú vị của O.Christensen [5], trang 301. Ta sẽ thấy rằng Bổ đề 3.3 dưới đây cho kết quả mạnh hơn phát biểu trong Định lý 3.4(a) nói trên: Nếu ab > 1 thì hệ Gabor {EmbTnag}m,n∈Z thậm chí là không đủ trongL2(R), tứcspan{EmbTnag}m,n∈Z 6= L2(R), nói riêng, hệ {EmbTnag}m,n∈Z không là khung của L2(R).
Định lý 3.4 còn chỉ ra rằng, hệ Gabor {EmbTnag}m,n∈Z chỉ có khả năng là khung nếu ab ≤ 1. Hơn nữa, khi {EmbTnag}m,n∈Z là khung, thì nó là quá đủ khi và chỉ khi ab < 1. Bây giờ ta phát biểu Bổ đề 3.3.
Bổ đề 3.3. Giả sử g ∈ L2(R) và a, b > 0 cho trước. Khi đó ta có các khẳng định sau
(a) Nếu ab < 1 và {EmbTnag}m,n∈Z là một khung cho L2(R),
thì {EmbTnag}m,n∈Z có dư thừa vô hạn: có vô số phần tử có thể xóa đi trong khi phần còn lại vẫn là một khung cho L2(R).
(b) Nếu ab > 1 thì {EmbTnag}m,n∈Z có sự thiếu hụt là vô hạn, nghĩa là dim(span{EmbTnag}⊥m,n∈Z}) =∞.
Bổ đề 3.3(a) nói về sự dư thừa số phần tử của khung trong số
{EmbTnag}m,n∈Z, thế thì ta sẽ chính xác hóa khái niệm này trong định nghĩa dưới đây.
Định nghĩa 3.5. Khi cho trước một khung Gabor {EmbTnag}m,n∈Z thì đại lượng (ab)−1 được gọi là số dư thừa.
Như vậy, với định nghĩa này thì một cơ sở Gabor theo Định lý3.4(a)có độ dư thừa là 1, và khung Gabor {EmTn/2χ[0,1]}m,n∈Z có thể bao gồm một hợp của hai cơ sở trực chuẩn {EmTnχ[0,1]}m,n∈Z và{EmT1/2χ[0,1]}m,n∈Z có số dư thừa là 2.
Chú ý rằng giả thiếtab ≤1không phải là điều kiện đủ để{EmbTnag}m,n∈Z
là một khung, ngay cả nếu g 6= 0. Chẳng hạn như, nếu a ∈ [1/2,1] thì các hàm{EmTnaχ[0,1]}m,n∈Z là không đầy đủ trong L2(R) và do đó không thể tạo thành một khung.
Mệnh đề dưới đây cho một điều kiện cần để {EmbTnag}m,n∈Z là một khung của L2(R). Nó phụ thuộc vào sự tác động lẫn nhau giữa hàm g và tham số dịch chuyển a và sự biểu diễn theo thuật ngữ hàm G(x) được cho như sau
G(x) = X
n∈Z
|g(x−na)|2. (3.28) Mệnh đề 3.4. Giả sử g ∈ L2(R) còn a, b > 0 cho trước và giả sử rằng {EmbTnag}m,n∈Z là một khung với các biên A, B. Khi đó
bA ≤ X
n∈Z
|g(x−na)|2≤ bB với hầu hết mọi x ∈ (R). (3.29) Nói một cách chính xác hơn, nếu cận trên trong (3.29) bị vi phạm, thì {EmbTnag}m,n∈Z không thỏa mãn điều kiện biên trên với biên B; nếu cận dưới trong (3.29) bị vi phạm thì {EmbTnag}m,n∈Z không thỏa mãn điều kiện biên dưới với biên A.
Chứng minh. Giả sử rằng điều kiện cận trên trong (3.29) vi phạm, khi đó tồn tại một tập đo được ∆ ⊂R có độ đo dương sau cho
G(x) =X
n∈Z
|g(x−na)|2> bB trên ∆.
Ta có thể giả thiết rằng ∆ được chứa trong một khoảng có độ dài 1/b.
Khi đặt
∆0 = {x ∈ ∆ : G(x) ≥ 1 +bB} và
∆k = {x ∈ ∆ : (k + 1)−1 + bB ≤G(x) < k−1 +bB}, k ∈ N,
Ta nhận được một phân hoạch của∆thành các tập đo được rời nhau. Rõ ràng trong các tập đó có ít nhất một, chẳng hạng ∆k′, có độ đo dương.
Ta hãy xét hàm f = χ∆k′, và chú ý rằng kfk2 = |∆k′|. Với n ∈ N, hàm f Tnag có giá nằm trong ∆k′. Do ∆k′ được chứa trong một khoảng có độ dài 1/b và do các hàm {√
bEmb}m∈Z lập nên một cơ sở trực chuẩn của L2(I) với mọi khảng I có độ dài 1/b, nên theo công thức (3.4) ta có
X
m∈Z
|hf, EmbTnai|2 = X
m∈Z
|hf Tnag, Embi|2
= 1 b
Z ∞
−∞|f(x)|2|g(x−na)|2dx.
Như vậy X
m,n∈Z
|hf, EmbTnai|2 = 1 b
X
n∈Z
Z ∞
−∞|f(x)|2|g(x−na)|2dx
= 1 b
X
n∈Z
Z
∆k′
G(x)dx
≥ 1 b( 1
k′ + 1 +bB)kfk2
=
B + 1
b(k′ + 1)
kfk2,
điều này có nghĩa là, B không thể là một biên trên cho {EmbTnag}m,n∈Z.
Một chứng minh tương tự chỉ ra rằng, nếu điều kiện biên dưới của (3.29) không thỏa mãn, thìAcũng không là biên khung dưới của{EmbTnag}m,n∈Z.
Từ Mệnh đề3.4suy ra rằng hàmg sinh ra khung Gabor{EmbTnag}m,n∈Z
nhất thiết phải bị chặn. Chú ý rằng Mệnh đề 3.4 cho ta mối liên hệ giữa các biên khung với các biên trên và dưới của hàm G cho trong (3.28).