Trong mục này ta nghiên cứu các tính chất khung của dãy lập thành từ các dịch chuyển của một hàmφ ∈ L2(R). Một câu hỏi mang tính chất then chốt được đặt ra: với điều kiện nào thì một dãy các số thực {λk}k∈Z
và một hàm φ ∈ L2(R) lập nên một khung {Tλkφ}k∈Z trong L2(R)?.
Để Lý thuyết về khung dịch chuyển có một sự phát triển một cách đầy đủ thì còn là chuyện quá xa vời. Với dãy {λk}k∈Z và một hàm φ ∈ L2(R)
cho trước, thật khó xác định liệu {Tλkφ}k∈Z có là một khung hay không.
Mối quan hệ giữa {λk}k∈Z và hàm φ ∈ L2(R) rất phức tạp: tính trù mật của{λk}k∈Z là một điều kiện cần để {Tλkφ}k∈Z là một khung, nhưng câu trả lời cuối cùng vẫn phụ thuộc vào cách chọn hàm φ.
Ta bắt đầu bằng trường hợp đặc biệt khi λk = kb với b > 0 nào đó.
Vì các điểm {kb}k ∈ Z là phân phối đều, nên khung {Tkbφ}k∈Z đôi khi được gọi là một khung chính quy các chuyển dịch để đối lập với khung không chính quy {Tλkφ}k∈Z.
Giả sử φ ∈ L2(R). Một kết quả của Benedetto và Li ([5]) nói rằng tính chất khung trong trường hợp chính quy {Tλkbφ}k∈Z có thể được mô tả đầy đủ theo thuật ngữ hàm Φ : R −→R cho bởi
Φ(γ) = X
k∈Z
|φ(b γ +k
b )|2, (3.9)
chú ý rằng φb= Fφ là biến đổi Fourier của hàm φ cho bởi công thức Fφ(γ) =φ(γ) =b
Z ∞
−∞
φ(x)e−2πixγdx.
Vậy thì
Fφ(γ +k
b ) = φ(b γ +k b ) =
Z ∞
−∞
φ(x)e−2πix(γ+kb )dx.
Do đó công thức (3.9) viết lại là Φ(γ) =X
k∈Z
| Z ∞
−∞
φ(x)e−2πix(γ+kb )dx|2. (3.10) Định nghĩa 3.2. Khung Gabor là một khung của không gian L2(R) có dạng
{EmbTnag}m,n∈N, (3.11)
ở đây a, b > 0 là các số thực dương cho trước và g ∈ L2(R) là một hàm cố định. Ta cũng gọi {EmbTnag}m,n∈N là một hệ Gabor. Một hệ Gabor là một cơ sở trong L2(R) được gọi là một cơ sở Gabor.
Các khung có dạng này cũng được gọi làkhung Weyl - Heisenberg, còn hàm g được gọi là hàm của sổ (window) hoặc phần tử sinh (generator).
Biểu thức (3.11) được viết dưới dạng hiện là
EmbTnag(x) = e2πimbxg(x−na), x ∈ R.
Chú ý rằng để cho gọn, điều sau thường ẩn trong định nghĩa khi nói về khung Gabor, ta phải luôn hiểu rằng đó là môt khung mà tất cả các hàm đều giả thiết thuộc L2(R).
Như vậy, theo định nghĩa khung trong L2(R) với khung Gabor cho ở công thức (3.11) tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho
Akfk2≤ X
m,n∈Z
|hf, EmbTnag(x)i|2≤ Bkfk2,∀f ∈ L2(R). (3.12) Bất đẳng thức trên được viết dưới dạng hiện như sau
Akfk2≤ X
m,n∈Z
| Z ∞
−∞
f(x)e2πimbxg(x−na)dx|2≤Bkfk2,∀f ∈ L2(R).
Hay là
Akfk2≤ X
m,n∈Z
| Z ∞
−∞
f(x)e−2πimbxg(x−na)dx|2≤ Bkfk2,∀f ∈ L2(R).
(3.13) Các biên khung tối ưu dưới và trên của khung G theo [1] lần lượt được tính theo các công thức sau
Glow = inf
kfk=1{ X
m,n∈Z
| Z ∞
−∞
f(x)e−2πimbxg(x−na)dx|2} (3.14)
và
Gup = sup
kfk=1{ X
m,n∈Z
| Z ∞
−∞
e−2πimbxf(x)g(x−na)dx|2}. (3.15) Hệ thống Gabor {EmbTnag(x)}m,n∈Z chỉ chứa đựng hai phép toán là các chuyển dịch là các tham số na, n,(n ∈ Z, a ∈ R) và hàm e lũy thừa với tham số mb, m,(m ∈ Z, b ∈ R). Các điểm {(na, mb)m,n∈Z} lập nên một dàn trong R2 và vì lí do này người ta thường gọi {EmbTnag(x)}m,n∈Z là khung Gabor chính quy. Nhớ rằng còn có một loại khung nữa tổng quát hơn, đó là tập hợp các dịch chuyển tần suất-thời gian. Cụ thể ta giả sử {(àn, λn)}n∈I ( ở đõy, I ⊂ N là tập chỉ số), là một tập con tựy ý đếm được của R2 và nghiên cứu tính chất khung của tập các hàm có dạng
{e2πiλnxg(x−àn)}m,n∈Z, x ∈ R. (3.16) Để phân biệt với trường hợp khung cho bởi công thức (3.12), ta gọi khung có dạng (3.16) là khung Gabor không chính quy. Trong Chương này ta chỉ giới hạn trong khung Gabor chính quy.
Định lý 3.2. Hệ Gabor {EmbTnag}m,n∈Z là một khung trong L2(R) khi và chỉ khi giao hoán của nó {TnaEmbg}m,n∈Z cũng là một khung trong không gian này.
Chứng minh. Ta có đẳng thức giao hoán sau đây
EmbTnag(x) =e2πimnabTnaEmbg(x). (3.17)
Thật vậy
EmbTnag(x) = Embg(x−na) = e2πimbxg(x−na)
= e2πimnabe−2πimnabe2πimbxg(x−na)
= e2πimnabe2πimb(x−na)g(x−na)
= e2πimnabTnaEmbg(x).
Đẳng thức (3.17) cho thấy rằngEmbTnag(x) vàTnaEmbg(x) chỉ khác nhau một nhân tử có mô đun bằng 1 cho nên theo định nghĩa khung ta có ngay khẳng định nêu trên.
Nhờ kết quả của định lý trên, thì ta cũng gọi {TnaEmbg}m,n∈Z là khung Gabor. Ngoài ra ta cần đến toán tử tỉ lệ được định nghĩa như sau.
Giả sử a 6= 0. Xét ánh xạ Da : L2(R) −→ L2(R) được cho bởi (Daf)(x) = 1
|a|1/2f(x
a),(x ∈ R). (3.18) Mệnh đề 3.1. Với a > 0, ánh xạ Da : L2(R) −→ L2(R) cho trong (3.18) là một toán tử tuyến tính liên tục.
Chứng minh. Giả sử f, g ∈ L2(R), α, β ∈ C, với mọi x ∈ R ta có [Da(αf +βg)](x) = 1
a1/2[αf +βg](x
a) = 1
a1/2[αf(x
a) +βg(x a)]
= α 1 a1/2f(x
a) +β 1 a1/2g(x
a) = α(Daf)(x) +β(Dag)(x).
Vậy Da là toán tử tuyến tính. Ta chỉ ra nó liên tục. Vì Da tuyến tính nên chỉ cần chứng minh nó liên tục tại 0. Giả sử f ∈ L2(R) và f → 0 trong L2(R). Với ǫ > 0 cho trước, vì f → 0 trong L2(R) nên ta có thể
giả thiết kfkL2(R) < ǫ. Ta có kDafkL2(R) =
Z ∞
−∞| 1 a1/2f(x
a)|2dx 1/2
= 1 a1/2
Z ∞
−∞|f(x a)|2dx
1/2
=
Z ∞
−∞|f(y)|2dy 1/2
=kfkL2(R) < ǫ.
Vậy Da với a > 0 là toán tử tuyến tính liên tục.
Thật ra chứng minh trên còn chỉ ra rằng Da là một toán tử đẳng cự.
Định nghĩa 3.3. Toán tử Da : L2(R) → L2(R)(a 6= 0), cho trong công thức (3.18) được gọi là toán tử tỉ lệ.
Ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 3.2. Toán tử tỉ lệ Da : L2(R) →L2(R),(a > 0) là unitar.
Chứng minh. Trước hết ta nhận thấy rằng toán tử D∗a :L2(R) →L2(R) được cho bởi
D∗af(x) = a1/2f(ax), x ∈ R
là toán tử liên hợp của toán tử Da. Thật vậy với f, g ∈ L2(R) ta có hDag, fi =
Z ∞
−∞
1 a1/2g(x
a)f(x)dx.
Khi thay y = x/a tức x = ay, ta được hDag, fi =
Z ∞
−∞
g(y)a1/2f(ay)dy = hg, Da∗fi,
tức toán tử D∗a cho bởi (Da∗f)(x) = a1/2f(ax)(x ∈ R) là liên hợp của toán tử Da. Tiếp theo ta chỉ ra rằng
DaD∗a = Da∗Da = I,
ở đây I : L2(R) → L2(R) là toán tử đồng nhất trong L2(R). Với mọi f ∈ H ta có
(DaD∗af)(x) = (Da)(a1/2f(ax)) = 1
a1/2a1/2f(x) =f(x) = (If)(x), tức
DaDa∗ = I. (3.19)
Mặt khác với mọi f ∈ H ta cũng có (DaD∗af)(x) = (D∗a)( 1
a1/2f(x/a)) = 1
a1/2a1/2f(x) =f(x) = (If)(x), tức
Da∗Da = I. (3.20)
Từ (3.19) và (3.20) ta có DaD∗a = D∗aDa = I. Vậy Da∗ : L2(R) → L2(R) được cho theo công thức trên là liên hợp của toán tử Da .
Bổ đề 3.1. Giả sử a, b, c > 0 và m, n ∈ Z. Thế thì dãy đẳng thức sau đây là đúng
DcEmbTna = Emb/cDcTna = Emb/cTnacDc. (3.21) Chứng minh. Ta tính trực tiếp lần lượt các đại lượng trên rồi so sánh kết quả thu được. Giả sử g ∈ L2(R), Ta có
DcEmbTnag(x) =DcEmbg(x−na) =Dce2πimbxg(x−na)
= 1
c1/2e2πimcbxg(x/c−na). (3.22) Tiếp theo
Emb/cDcTnag(x) = Emb/cDcg(x−na) = Emb/c 1
c1/2g(x−na)
= 1
c1/2e2πimbcxg(x/c−na). (3.23)
Cuối cùng
Emb/cTnacDcg(x) = Emb/cTnac
1
c1/2g(x/c) = Emb/c
1
c1/2g(x/c−na)
= 1
c1/2e2πimbcxg(x/c−na). (3.24) Đối chiếu các đẳng thức từ (3.22)−(3.24) ta thu được đẳng thức (3.21) nói trên.
Sau này với g ∈ L2(R) và c > 0 ta thường dùng đến kí hiệu gc(x) = Dcg(x) = 1
c1/2g(x/c). (3.25)
Định lý 3.3. Giả sử g ∈ L2(R) và a, b, c > 0. Khi đó nếu hệ Gabor {EmbTnag}m,n∈N là một khung thì hệ Gabor {Emb/cTnacgc}m,n∈N cũng là một khung và có các biên như hệ {EmbTnag}m,n∈N.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 3.1, toán tửDc là unitar cho nên theo Định lý 1.7 ( Chương 1), nếu{EmbTnag}m,n∈Nlà một khung thì{DcEmbTnag}m,n∈N
cũng là một khung với các biên như khung{EmbTnag}m,n∈N. Nhưng theo Bổ đề 3.1 ta có {DcEmbTnag}m,n∈N = {Emb/cTnacg}m,n∈N. Vậy
{Emb/cTnacgc}m,n∈Ncũng là một khung với biên khung như{EmbTnag}m,n∈N. Ta chứng minh một mệnh đề liên quan đến chuẩn của các toán tử Emb,(m ∈ N), Tna,(n∈ N) và EmbTna,(m, n ∈ N) với a, b > 0.
Mệnh đề 3.3. Giả sử a, b > 0, m, n ∈ N. Khi đó kEmbk= kTnak= kEmbTnak= 1.
Chứng minh. Ta có kEmbk = sup
kgk=1kEmbgkL2(R)=
Z ∞
−∞|e2πimbg(x)|2dx 1/2
= sup
kgk=1
Z ∞
−∞|g(x)|2dx 1/2
= sup
kgk=1kgk= 1.
Tiếp theo
kTnak = sup
kgk=1kTnagkL2(R)=
Z ∞
−∞|g(x−na)|2dx 1/2
= sup
kgk=1
Z ∞
−∞|g(x−na)|2dx 1/2
= sup
kgk=1kgk= 1.
và cuối cùng
kEmbTnak = sup
kgk=1kEmb(Tnag)kL2(R)=
Z ∞
−∞|e2πimbg(x−na)|2dx 1/2
= sup
kgk=1
Z ∞
−∞|g(x−na)|2dx 1/2
= sup
kgk=1kgk= 1.
Vậy mệnh đề đã được chứng minh.
Bổ đề sau đây chứa đựng những yếu tố kỹ thuật sẽ nhiều lần được dùng đến.
Bổ đề 3.2. Giả sử f, g ∈ L2(R) và a, b > 0 cho trước. Khi đó với mọi n∈ N ta có các điều sau
(a) Các chuỗi X
k∈Z
f(x−k/b)g(x−na−k/b), x ∈ R hội tụ tuyệt đối với hầu hết x ∈ R. (3.26) (b) Ánh xạ x P
k∈Zf(x −k/b)g(x−na−k/b) thuộc L1(0,1/b).
(c) Hàm Fn ∈ L1(0,1/b) tuần hoàn chu kỳ 1/b được xác định bởi Fn(x) = X
k∈Z
f(x−k/b)g(x−na−k/b), x ∈ R (3.27)
các hệ số Fourier
cm = bhf, EmbTnagi, m ∈ Z.
Chứng minh. Ta thấy rằng f, Tnag ∈ L2(R) nên f Tnag ∈ L1(R) với mọi n∈ Z. Thật vậy, theo bất đẳng thức Holder dạng tích phân ta có
Z ∞
−∞|f(x)Tnag(x)|dx ≤
Z ∞
−∞|f(x)|2dx
1/2Z ∞
−∞|Tnag(x)|dx 1/2
≤ ∞, tức f Tnag ∈ L1(R). Khi tính tích phân
I = Z 1/b
0
X
k∈Z
|f(x−k/b)g(x−na−k/b)|dx bằng cách đổi biếny = x−k/b, và chú ý rằngR∞
−∞|f(x)g(x−na)|dx < ∞ do f Tnag ∈ L1(R), ta sẽ được
I = Z ∞
−∞
X
k∈Z
|f(x)g(x−na)|dx < ∞.
Điều này đã chứng minh (b) và nó cũng kéo theo chuỗi tuyệt đối X
k∈Z
|f(x−k/b)g(x−na−k/b)|
hội tụ hầu khắp nơi với x ∈ [0,1/b]. Lại do tuần hoàn, nên nó hội tụ với hầu hết x ∈ R, tức ta có (a). Xem như một hệ quả, ta thấy rằng chuỗi (3.26) hội tụ với hầu hết x ∈ R xác định một hàm chu kỳ 1/b.
Đối với kết luận (c) liên quan đến các hệ số Fourier của Fn, ta chú
rằng
hf, EmbTnagi = Z ∞
−∞
f(x)g(x−na)e−2πimbxdx
= X
k∈Z
Z 1/b 0
f(x−k/b)g(x−na−k/b)e−2πimbxdx
= Z 1/b
0
X
k∈Z
f(x−k/b)g(x−na−k/b)
!
e−2πimbxdx
= Z 1/b
0
Fn(x)e−2πimbxdx.
Mặt khác theo công thức tính hệ số cm cho ở (3.4) với m ∈ Z cm = b
Z 1/b 0
Fn(x)e−2πimbxdx, cho nên
cm = bhf, EmbTnagi, m ∈ Z.