Một vài cơ sở và khung trong không gian hilbert

Mặt khác để ứng dụng có hiệu quả không gian L2R trong việc thực hiện các phép toán, ta cần xấp xỉ L2R bởi không gian khác có nhiều tính "tốt" hơn, như liên tục, có giá compact, có thể đạ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

VÕ THỊ NGA

MỘT VÀI CƠ SỞ VÀ KHUNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Nhụy

Đà Nẵng - Năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu,kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất

kì công trình nào khác

Đà Nẵng, tháng 06 năm 2018

Tác giả

Võ Thị Nga

Lời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáohướng dẫn PGS.TS Nguyễn Nhụy đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quátrình thực hiện để tác giả có thể hoàn thành được luận văn này.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô giáo

đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt thời gian học tập của khóa học

Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị em trong lớpToán giải tích K32-Đà Nẵng đã nhiệt tình giúp đỡ tác giả trong quá trình họctập tại lớp

Tác giả

Võ Thị Nga

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 MỘT VÀI KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 XẤP XỈ CÁC HÀM THỰC TRÊN MỘT ĐOẠN BỞI ĐA THỨC 3

1.2 DÀN CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHÔNG GIAN COMPACT 6

1.3 ĐẠI SỐ CÁC HÀM LIÊN TỤC 9

1.4 ĐỊNH LÝ STONE-WEIERSTRASS PHỨC 11

1.5 XẤP XỈ TRONG KHÔNG GIAN LP[a, b](−∞ < a < b < +∞) 13

1.6 XẤP XỈ HÀM TRONG L p (R) BỞI CÁC HÀM LIÊN TỤC CÓ GIÁ COMPACT 16

1.7 MỘT ĐẶC TRƯNG VỀ CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT18 CHƯƠNG 2 CƠ SỞ HAAR VÀ CƠ SỞ GABOR CỦA L2(R) 21

2.1 BIẾN ĐỔI FOURIER 21

2.2 WAVELETS TRỰC CHUẨN VÀ BIẾN ĐỔI WAVELETS TRỰC CHUẨN 23

2.3 KHOẢNG NHỊ PHÂN VÀ HỆ TRỰC CHUẨN HAAR 24

2.4 CƠ SỞ TRỰC CHUẨN HAAR CỦA KHÔNG GIAN L2(R) 26

2.5 CƠ SỞ TRỰC CHUẨN GABOR CỦA KHÔNG GIAN L 2 (R) 32

CHƯƠNG 3 KHUNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 36

3.1 KIẾN THỨC CHUNG 36

3.2 KHUNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT HỮU HẠN CHIỀU 38

3.2.1 Mối liên hệ giữa bao tuyến tính của một khung và toàn bộ không gian 38

KẾT LUẬN 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây Lý thuyết các sóng nhỏ (Theory of Wavelets)

đã phát triển mạnh mẽ, nó trở thành nền tảng cho việc xây dựng Lý thuyết truyềntin và các lí thuyết cũng như ứng dụng khác Không gian cơ sở mà Lý thuyếtnày xây dựng là L2(R), không gian các hàm bình phương khả tích trên R Docác phần tử thuộc L2(R), có thể biểu diễn qua cơ sở của nó nên người ta phảiquan tâm đến cơ sở của không gian này Trong số các cơ sở của L2(R) có mộtloại cơ sở đặc biệt là cơ sở wavelets trực chuẩn Luận văn chúng tôi giới thiệu

2 loại cơ sở wavelets trực chuẩn thường được dùng đến là cơ sở Gabor và cơ sởHaar, đây chính là hai cơ sở cho nhiều ứng dụng

Tuy nhiên do sự phát triển của lí thuyết và đòi hỏi của thực tiễn áp dụngngười ta dần thấy rằng đòi hỏi của khái niệm cơ sở trực chuẩn trong L2(R) là quáchặt chẽ nên đã tìm cách mở rộng thành khái niệm Khung (Frame) cho khônggian Hilbert tổng quát Bởi những lý do như trên cùng với sự định hướng củathầy giáo PGS.TS Nguyễn Nhụy, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài: "MỘTVÀI CƠ SỞ VÀ KHUNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT" làm đề tài luậnvăn thạc sĩ cho mình

2 Mục đích nghiên cứu

Do không gian các hàm bình phương khả tích L2(R) là nền tảng để xâydựng cơ sở wavelets Haar và cơ sở truyền tin Gabor, nên L2(R) cần được nghiêncứu một cách chi tiết với tư cách là không gian Hilbert Mặt khác để ứng dụng

có hiệu quả không gian L2(R) trong việc thực hiện các phép toán, ta cần xấp xỉ

L2(R) bởi không gian khác có nhiều tính "tốt" hơn, như liên tục, có giá compact,

có thể đạo hàm, Ta cần xấp xỉ không gian này bằng không gian các hàm liêntục có giá compact, hoặc các đa thức Từ đó các hàm trong L2(R) có đạo hàmmọi cấp theo nghĩa suy rộng, nhờ đó ta có thể lấy đạo hàm chúng (theo nghĩasuy rộng) và có thể thực hiện các phép tính về đạo hàm Từ đó ta có thể xâydựng được các hàm sinh ra cơ sở trực chuẩn Gabor và Haar Hai cơ sở này đóng

vai trò hết sức quan trọng trong Lí thuyết sóng nhỏ và đặc biệt là trong Lí thuyếttruyền tin Khi có cơ sở ta sẽ tổng quát hóa lên xây dựng khái niệm Khung vàcác tính chất của Khung trong không gian Hilbert hữu hạn chiều và không gianHilbert tổng quát.

3 Đối tượng nghiên cứu

Các hàm thực liên tục, tập các hàm thực liên tục, dãy các hàm số thực, đathức thực, đa thức hệ số phức, các hàm phức, các phép toán trên tập các hàmphức liên tục Dàn các hàm thực liên tục, vectơ và mối liên hệ giữa các vectơ,các phép toán trong không gian Hilbert

4 Phạm vi nghiên cứu

Dàn các hàm thực trên không gian compact, không gian Metric compact,phép toán và mối tương quan giữa các phần tử trong không gian Hilbert hữuhạn chiều Họ các hàm từ không gian Metric compact vào không gian các hàmphức bình phương khả tích trên R Không gian các hàm phức p tuyệt đối khảtích

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập các tài liệu sưu tầm được, các bài báo cáo khoa học, các sách vở

có liên quan đến đề tài làm luận văn, tìm hiểu chúng và tóm tắt các kết quả thuđược theo hiểu biết một cách ngắn gọn, hệ thống khoa học về các chứng minhchi tiết và đưa ra các kết quả phù hợp nhất, đúng đắn nhất cho bài luận văn củamình Thường xuyên trao đổi thảo luận với người hướng dẫn về bài làm

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài có giá trị về mặt lí thuyết có thể dùng tham khảo cho sinh viên vàhọc viên khoa Toán trong quá trình nghiên cứu và học tập

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo thì luận văn được chialàm 3 chương Chương 1 là một vài kiến thức chuẩn bị với mục đích tạo các dữliệu cần thiết cho các chương sau Kết quả mong muốn thu được ở chương 1 làmột hàm bình phương khả tích trên R có thể được xấp xỉ bởi một hàm liên tục

có giá compact Chương 2 giới thiệu 2 cơ sở trực chuẩn wavelets trong L2(R)

Đó là cơ sở Haar và cơ sở Gabor Chương 3 dành cho việc xây dựng Khung vàcác tính chất của Khung trong không gian Hilbert hữu hạn chiều

CHƯƠNG1 MỘT VÀI KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Mục đích chính của chương này là tạo các dữ liệu cần thiết cho các chươngsau đặc biệt là cho chương 2 Kết quả ta mong muốn thu được trước hết trong

chương này là một hàm bình phương khả tích R có thể được xấp xỉ bởi một hàm liên tục có giá compact (Định lý 1.6.1) Hơn nữa, Định lý Stone-Weierstrassphức (1.4.1) cho ta khả năng xây dựng cơ sở Gabor cho L2(R) Sự chuẩn bị nàynhằm hướng tới đích đó Tuy nhiên để việc trình bày có hệ thống, một số kháiniệm và kết quả khác cũng được đưa vào mà tự nó cũng mang đến những thú vịnhất định Các khái niệm và kiến thức trong chương này có nguồn gốc từ [1]

1.1 XẤP XỈ CÁC HÀM THỰC TRÊN MỘT ĐOẠN BỞI ĐA THỨC

Kết quả chính của đoạn này là Định lý Weierstrass nói rằng, mỗi hàmthực liên tục trên một đoạn hữu hạn đều có thể xấp xỉ được bởi một đa thức

Bổ đề 1.1.1 Với mỗi số nguyên dương n và mỗi số thực x

n

∑

k=0

 nk

(nx − k)2xk(1 − x)n−k = nx(1 − x).

ở đây

 nk



tk.Lặp lại quá trình này rồi rút gọn biểu thức, ta đi đến



tk

Khi thay t bởi 1−xx và đồng thời nhân với (1 − x)n trong cả ba đồng nhất thức

xk(1 − x)n−k = nx(1 − x + nx) (3)Tiếp theo, khi nhân cả hai vế (1) với n2x2, (2) với −2nx và cộng các kết quả nàytheo từng vế vào (3), ta được

Định lý sau đây là bước chuẩn bị cho Định lý Weierstrass

Định lý 1.1.2 Giả sử f là hàm thực liên tục trên [0, 1] và ε > 0 là số cho trước.

Khi đó có một đa thức thực p sao cho

sup

0≤x≤1

| f (x) − p(x)| < ε.

Chứng minh. Do f liên tục trên đoạn [0, 1] nên nó liên tục đều trên đoạn này

Do đó tồn tại số ε > 0 sao cho

f(x) − f (nk)

 nk

(x−k/n)2(x−k/n)2xk(1 − x)n−k

≤ 2M

δ2 ∑

(2)

 nk

(x − k/n)2xk(1 − x)n−k

(x − k/n)2xk(1 − x)n−k

= 2M

δ2

x(1−x) n

Đinh lý Weierstrass quan trọng sau đây là một hệ quả của định lý nói trên

Định lý 1.1.3 (Định lý Weierstrass) Nếu f là một hàm thực hiện liên tục trên

đoạn [a,b] và ε > 0 là số cho trước thì tồn tại một đa thức thực p sao cho

f(x) = g x−ab−a
= g(y) (0 ≤ y ≤ 1, a ≤ x ≤ b).

Khi đó do g ∈ CR[0, 1] nên theo Định lý 1.1.1 có một đa thức thực q sao cho

(nói rõ hơn f , g ánh xạ từ tập X vào tập số thực mở rộng R = R ∪ {−∞} ∪

{+∞}) Ta định nghĩa f ∨ g và f ∧ g (theo thứ tự đọc là f hợp g và f giao g) là

các hàm được cho bởi

( f ∨ g)(x) = max { f (x), g(x)} , ( f ∧ g)(x) = min { f (x), g(x)}

Một họL các hàm thực trên một tập X nào đó được gọi là dàn nếu nó đóng đối

với các phép toán hợp (∨) và (∧) hai hàm thuộc nó, điều này có nghĩa là, nếu

f, g ∈L thì f ∨ g ∈L và f ∧ g ∈L

Chẳng hạn, nếu X là một không gian Metric compact thì tập CR(X ) các hàmthực liên tục trên X là một dàn Ta dễ dàng nhận ra điều này vì nếu f , g là cáchàm thực trên cùng một tập xác định thì

n=1 trên một tập hợp X được gọi

là hội tụ đều đến hàm f trên X và khi đó hàm f được gọi là giới hạn đều của

dãy hàm {gn} nếu

sup

x∈X

| f (x) − gn(x)| → 0 khi n → ∞

Định lý 1.2.1 (Định lý Stone) Giả sử X là một không gian metric compact và

L là một tập con của CR(X ) thỏa mãn các điều kiện sau

(a) L là một dàn.

(b) Giả sử a, b ∈ R và nếu x, y là hai điểm phân biệt của X, thì tồn tại một hàm

f ∈L sao cho f (x) = a, f (y) = b.

Khi đó L trù mật đều trong CR(X ), nghĩa là, nếu g ∈ CR(X ) và ε > 0 là số cho trước, thì tồn tại một hàm h ∈L sao cho

hx= fxy1∨ fxy2∨ ∨ fxynthì hx ∈ L do L là một dàn Theo cách đặt hàm fxy ta có hx(x) = g(x) và do{V (yi)}nj=1 phủ X nên nếu z ∈ X thì z ∈ V (yj) nào đó Ta có

phủ X Nếu ta đặt

h= hx1∧ hx2∧ ∧ hxm,thì h ∈L và nếu một phần tử z ∈ X thì z ∈ U (xi) nào đó Ta có

Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh

Hệ quả 1.2.2 Mọi hàm thực liên tục f liên tục trên một tập compact X ⊂ R đều

có thể được xấp xỉ đều bởi một đa thức thực trên X có hệ số hữu tỉ.

Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra được tập P các đa thức thực trên X là một dàn.Hơn nữa, nếu a, b ∈ R và giả sử u, v là hai điểm phân biệt của X Xét đa thức

p∈ P cho bởi

p(x) = a +bưavưu(x ư u)

Khi đó ta có p(u) = a, p(v) = b Theo Định lý Stone nói trên, với mỗi hàm thựcliên tục f trên X và với mỗi ε > 0, tồn tại đa thức p sao cho

max

x∈X | f (x) ư p(x)| ≤ ε

2.Lấy đa thức q có hệ số hữu tỉ sao cho

max

x∈X |p(x) ư q(x)| ≤ ε

2.Khi đó theo bất đẳng thức tam giác ta có

max

x∈X | f (x) ư q(x)| ≤ ε

Do tập CR(X ) các hàm thực liên tục trên một tập compact X ⊂ R là không gianBanach và họ các đa thức hệ số hữu tỉ trên tập compact X là đếm được, nên tacó

Hệ quả 1.2.3 Tập CR(X ) các hàm thực liên tục trên một tập compact X ⊂ R là không gian Banach khả li.

Chú ý rằng, nếu f ∈ CR(X ) thì k f k = max

x∈X | f (x)|

1.3 ĐẠI SỐ CÁC HÀM LIÊN TỤC

Định nghĩa 1.3.1 Ta nói một họ các hàmA = {f : X → C} từ tập X vào tập số

phức C, gọi tắt là hàm phức trên tập X, là một đại số thực (phức) trên X nếu với

mọi f , g ∈A và mọi số thực (phức) α ta luôn có các hàm f + g, α f và f g thuộc

A, ở đây các phép toán giữa hai hàm và phép nhân với một vô hướng được địnhnghĩa:

Với x ∈ X thì ( f + g)(x) = f (x) + g(x), (α f )(x) = α f (x), ( f g)(x) = f (x)g(x).Nếu A là một đại số các hàm trên tập X và B ⊂ A cũng là một đại số, thì B

được gọi là đại số con của đại số A Chẳng hạn CR[a, b], không gian các hàmthực liên tục trên đoạn [a, b], là một đại số thực các hàm trên đoạn [a, b] HọPcác đa thức thực cũng là một đại số thực các hàm trên [a, b], nó là một đại sốcon của CR[a, b] Định lý Weierstrass sau này sẽ cho thấy, bao đóng đều củaP

trong CR[a, b] là toàn bộ CR[a, b] Thật ra, kết luận ta sẽ đưa ra dưới đây còntổng quát hơn khẳng định trên và Định lý Weierstrass là một hệ quả của kết luậnnày

Cho X là một không gian metric compact, kí hiệu C(X ) là họ tất cả các hàmphức liên tục trên X Khi đó C(X ) là một đại số phức các hàm trên X Do X làcompact nên với f ∈ C(X ) ta có định nghĩa

k f k = sup

x∈X

| f (x)|

Dễ thấy rằng k.k là một chuẩn trên C(X ), nó còn được gọi là chuẩn đều và

(C(X ), k.k) là một không gian Banach Lý do chuẩn này được gọi là chuẩnđều vì sự hội tụ của một dãy hàm trên không gian này là sự hội tụ đều Giả

sử CR(X ) là một tập con của C(X ) gồm các hàm thực liên tục trên X Khi đó

CR(X ) là một đại số thực các hàm trên X và là đại số con của C(X )

Mệnh đề 1.3.1 Cho X là một không gian metric compact,A là một đại số con của CR(X ) và ngoài ra giả sửA trù mật đều trong CR(X ) Khi đó:

(a) A phân biệt các điểm của X , nghĩa là nếu các điểm x1, x2 ∈ X, x1 6= x2, thì tồn tại một hàm f ∈A sao cho f (x1) 6= f (x2).

(b) Không tồn tại điểm nào của X mà tại đó mọi hàm thuộcA đều triệt tiêu Chứng minh. Giả sử có hai điểm phân biệt x1, x2 ∈ X sao cho f (x1) = f (x2) vớimọi f ∈ A thì do CR(X ) là bao đóng đều của A nên g(x1) = g(x2) với mọi

g∈ CR(X ) Nhưng điều này không thể xảy ra được vì chẳng hạn như ta có hàmh(x) = d(x1, x) ∈ CR(X ) với d là metric trên X và h(x1) = 0 6= h(x2) Tiếp nữa,nếu có điểm x0 ∈ X sao cho f (x0) = 0 với mọi f ∈ A thì g(x0) = 0 với mọi

g ∈ CR(X ) Điều này cũng không thể, vì hàm hằng khác 0 (luôn bằng một sốthực không đổi khác 0) thuộc vào CR(X )

Thật ra hai điều kiện (a) và (b) trong mệnh đề 1.3.1 cũng là điều kiện đủ để

đảm bảo một đại số conA của CR(X ) là trù mật đều trong CR(X ) như được chỉ

ra trong Định lý Stone-Weierstrass dưới đây và từ đây ta nhận được một hệ quảquan trọng về sự trù mật đều của đại số các đa thức thựcP trong CR(X )

Định lý 1.3.2 (Định lý Stone-Weierstrass thực) Cho X là một không gian metric

compact vàA là một đại số con của CR(X ) với các tính chất sau đây

(a) A phân biệt các điểm của X

(b) Không có điểm nào của X mà tại đó mọi hàm của A triệt tiêu.

Khi đóA trù mật đều trong CR(X ).

Chứng minh. Gọi B là bao đóng đều củaA Ta sẽ chỉ ra rằng:

2 Tiếp theo lấy q = p − p(0) thì với mỗi y ∈ [ − M, M] ta có

||y| − q(y)| ≤ ||y| − p(y)| + |p(y) − q(y)| < ε

(ii) Giả sử x, y là các điểm phân biệt của X và a, b ∈ R Trước hết ta để ý rằngtồn tại một hàm u ∈A sao cho

Thật vậy, theo giả thiết tồn tại hai hàm ϕ và ψ trongA sao cho

ϕ(x) 6= ϕ(y) và ψ(x) 6= 0

Từ đây ta suy ra ϕ(x) và ϕ(y) không thể cùng bằng 0 Nếu ϕ(x) 6= 0, ta có thểlấy u = ϕ Nếu ϕ(x) = 0 thì ϕ(y) 6= 0 và ta có thể lấy u = ϕ + λψ, ở đây λ là sốthực tùy ý khác 0 sao cho λψ(x) 6= ϕ(y) + λψ(y) Như vậy với cách đặt u này tathấy (6) được thỏa mãn

Ta đặt

α = u(x)[u(x) − u(y)]

Khi đó do (6) α 6= 0 và với g = α−1(u2− u(y)u) thì g ∈A, g(x) = 1 và g(y) = 0.Tương tự, tồn tại một hàm h ∈A sao cho h(x) = 0 và h(y) = 1 Từ đây ta thuđược hàm f = ag + bh có tính chất mong muốn

f ∈A, f (x) = a và f (y) = b

Chú ý 1.1 Trong chứng minh ở trên ta chưa sử dụng hết hiệu lực của

Định lý Weierstrass Thật ra ta mới sử dụng sự kiện rằng |y| có thể được xấp xỉđều trên đoạn [ − M, M] bởi một đa thức thực theo biến y

1.4 ĐỊNH LÝ STONE-WEIERSTRASS PHỨC

Nếu X là một không gian metric compact và C(X ) là đại số phức các hàmphức liên tục trên X , thì một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là, liệu một định lýtương tự với Định lý 1.3.2 nói trên có còn đúng cho đại số conA của C(X ) haykhông? Câu trả lời là ta phải bổ sung thêm giả thiết đại số con A tự liên hợp như sẽ thấy trong Định lý Stone-Weierstrass dưới đây.

Định lý 1.4.1 (Định lý Stone-Weiertrass phức) Cho X là một không gian

metric compact vàA là một đại số con của C(X ) với các tính chất sau đây (a) A phân biệt các điểm của X

(b) Không có điểm nào của X mà tại đó mọi hàm của A triệt tiêu.

(c) Đại số conA tự liên hợp, nghĩa là, nếu f ∈A thì f ∈A.

Khi đó,A trù mật đều trong C(X ).

Chứng minh. Ta gọi tập các hàm giá trị thực thuộcA là AR Khi đóAR là mộtđại số con của CR(X ) Trước hết ta chỉ ra rằng AR chứa các phần thực và phần

ảo của các hàm thuộcA Thật vậy, nếu f =Re f +iIm f ∈A thì các hàm Re f ,Im f

có giá trị thực và doA tự liên hợp, nên

Re f = 12( f + f ) ∈A và Im f = 12i( f − f ) ∈A.Vậy Re f , Im f ∈AR Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng AR thỏa mãn giả thiết của Định

lý 1.3.2

Giả sử x, y là các điểm phân biệt của X Khi đó vì A phân biệt các điểm của X ,nên tồn tại hàm f ∈A sao cho f (x) 6= f (y), nghĩa là

Re f(x) 6= Re f (y) hoặc Im f (x) 6= Im f (y)

Do Re f và Im f cả hai đều thuộc AR, nên ta suy ra AR phân biệt các điểm của

X Theo (b), tồn tại một hàm g ∈A sao cho g(x) 6= 0, nghĩa là

Reg(x) 6= 0 hoặc Img(x) 6= 0

Do Reg và Img ∈AR nên không có điểm nào của X mà tại đó mọi hàm trong

AR triệt tiêu Vậy từ định lý 1.3.2 ta suy ra rằng AR trù mật đều trong CR(X ).Giả sử

1.5 XẤP XỈ TRONG KHÔNG GIAN LP[a, b](−∞ < a < b < +∞)

Ta gọi LP[a, b](−∞ < a < b < ∞) là tập tất cả các hàm f : [a, b] → C tuyệtđối khả tích Riemann cấp p trên đoạn hữu hạn [a, b], tức

là tập con của đường thẳng thực R Gọi χA là hàm đặc trưng của tập A, tức hàm

x∈ [a, b] Hơn nữa

lim

n→∞|χI(x) − gn(x)|p = 0với hầu hết mọi x ∈ [a, b] Do đó, theo Định lý hội tụ bị chặn ta có

n→∞kχI− gnkpp = 0 Điều này đồng nghĩa là với ε > 0 cho trước, sẽ tồn tại

n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0, ta có kχI− gnkpp < εp Khi lấy g = gn0, ta được

kχI− gkp < ε

Định nghĩa 1.5.1 Ta nói một phân hoạch của tập A ⊂ R là một họ các tập

không rỗng rời nhau sao cho hợp của chúng bằng A Nói cụ thể hơn, đó là họ{Iλ}λ∈A sao cho Iλ∩ Iγ = /0 nếu λ 6= γ và ∪

λ∈A

Iλ= A

Một hàm số thực f được gọi là đơn giản trên [a, b] nếu nó hữu hạn, đo được và

tồn tại một phân hoạch hữu hạn các tập đo được {Ii}ri=1của đoạn [a, b] cùng các

số thực {αi}ri=1 sao cho

f(x) =

(

αi nếu x ∈ Ii và

0 nếu x /∈ [a, b]

Như vậy hàm đơn giản chỉ lấy một số hữu hạn giá trị và nói rõ hơn, nếu gọi

αi(i = 1, 2, , r) là các giá trị khác nhau của nó còn Ii= {x : f (x) = αi} thì cáctập Ii đo được, rời nhau và ta có

Tóm lại, hàm f là đơn giản khi và chỉ khi có dạng (7)

Bổ đề 1.5.2 Nếu f là một hàm đơn giản trên [a, b] thì với mọi ε > 0, tồn tại

hàm liên tục g sao cho

k f − gkp < ε

Chứng minh. Giả sử {Ii: i = 1, , r} là một phân hoạch của [a, b] gồm các tập

con của [a, b] sao cho f (x) = αi, Khi đó do các Ii đo được và

Chú ý: Thật ra để áp dụng được kết quả của Bổ đề 1.5.1 thì đòi hỏi các

Ii(i = 1, 2, , r) phải là các khoảng mở Nhưng do mỗi Ii đo được, nên với mỗi

ε > 0, tồn tại khoảng mở Ui ⊃ Ii sao cho µ(Ui\Ii) < ε Vậy theo Bổ đề 1.5.1 vớimỗi i = 1, 2, , r, tồn tại hàm gUi liên tục trên [a, b] sao cho gUi xấp xỉ χUi Khi

đó lần lượt gọi gi và χIi là thu hẹp của gUi và χUi trên Ii

gi = gUi/Ii, χIi = χUi/Iithì với mỗi i ∈ {1, , r}, gi là xấp xỉ của χIi trên [a, b]

Để ý rằng các hàm trong các Bổ đề 1.5.1 và 1.5.2 đều là các hàm thực Từ đây

ta có định lý sau

Định lý 1.5.3 Nếu f là một hàm thực thuộc LP[a, b] thì với mỗi ε > 0, tồn tại hàm thực liên tục g sao cho k f − gkp< ε Nói khác đi, không gian CR[a, b] các hàm thực liên tục trên [a, b] trù mật trong không gian các hàm thực p− khả tích

LP[a, b].

Chứng minh. Theo định nghĩa tích phân Lebesgue, tồn tại hàm đơn giản h trên[a, b] sao cho k f − hkp < ε/2 Thế thì theo Bổ đề 1.5.1 tồn tại hàm liên tục gsao cho kh − gkp < ε/2 Do đó

k f − gkp ≤ k f − hkp+ kh − gkp< ε/2 + ε/2 = ε

Nếu f = f1+ i f2 là một hàm phức với f1, f2 là các hàm thực thì từ Định

lý 1.5.3 ta có ngay

Định lý 1.5.4 Với mỗi hàm phức f ∈ LP[a, b] và với mỗi ε > 0, đều tồn tại hàm phức liên tục g sao cho

Hệ quả 1.5.5 Mọi hàm phức f ∈ LP[a, b] đều có thể được xấp xỉ đều bởi một

đa thức hệ số phức với phần thực và phần ảo hữu tỉ.

Chứng minh. Giả sử f ∈ Lp[a, b] và ε> 0 là số cho trước Định lý 1.5.3 tồn tạihàm phức liên tục g ∈ C[a, b] sao cho k f − gkp < ε/2 Lại từ Định lý Stone-Weierstrass phức (Định lý 1.4.1) tồn tại đa thức phức q(x) với hệ số có các phầnthực và phần ảo hữu tỉ sao cho

max

a≤x≤b|g(x) − q(x)| < ε/2(b − a)1/p.Vậy thì

gian L1(R) ∩ L2(R) trù mật trong L2(R) và cũng từ đây suy ra được mỗi hàm

f ∈ L2

(R) có thể xấp xỉ đều bởi một đa thức phức Các kết quả này khá quantrọng và được áp dụng cho nhiều trường hợp về sau

Định lý 1.6.1 Tập các hàm phức liên tục có giá compact xác định trên R là trù

mật trong Lp(R), nghĩa là, nếu f ∈ Lp(R) và với ε > 0 cho trước, tồn tại các hàm giá trị phức g, h liên tục trên R sao cho f = g + h, ở đây g là hàm liên tục

có giá compact trên đoạn [−K, K] nào đó, còn h ∈ Lp(R) với khkp < ε.

Chứng minh. Với f ∈ Lp(R) và với ε > 0 cho trước, tồn tại K > 0 sao cho

f χ{x∈R:|x|>K} p < ε/3

Theo Định lý 1.5.3 tập các hàm liên tục trù mật trong Lp[−K, K] Vậy thì do

f χ[−K,K]∈ Lp[−K, K] nên tồn tại hàm liên tục g1 trên [−K, K] sao cho

f χ[−K,K]− g1 p < ε/3

Ta có hàm liên tục g1 nhưng khi thác triển bằng 0 ra ngoài đoạn [−K, K] thìhàm thác triển thu được theo cách này nói chung không liên tục Để khắc phụcđiều đó, ta đặt

Hệ quả 1.6.2 Giao L1(R) ∩ L2(R) trù mật trong L2(R).

Chứng minh. Nếu f ∈ L2(R) thì theo định lý 1.5.4 tồn tại hàm liên tục g có giácompact trên R sao cho

Hơn nữa ta có thể giả thiết đa thức q có hệ số hữu tỉ.

1.7 MỘT ĐẶC TRƯNG VỀ CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Trong mục này ta trình bày định lý về đặc trưng của một cơ sở trực chuẩntrong không gian Hilbert phức tổng quát, rồi trong chương 2 kế tiếp, ta sẽ ápdụng cho trường hợp riêng là không gian L2(R)

Giả sử X là một không gian Hilbert với tích trong h., i, Hai vectơ x, y ∈ X được

gọi là trực giao nếu hx, yi = 0 Một hệ các vectơ {ei}i∈Z trong X được gọi là

trực chuẩnnếu hei, eji = δij, ở đây δij là kí hiệu Kronecker, nghĩa là

δij =

(

1 nếu i = j,

0 nếu i 6= j

Một hệ trực chuẩn các vectơ {ei}i∈Ztrong không gian Hilbert X được gọi là đầy

đủnếu một vectơ x ∈ X mà x⊥ei với mọi i ∈ Z thì x = 0

Nếu x ∈ X thì ta gọi ξi = hx, eii là hệ số Fourier của x đối với hệ trực chuẩn

{ei}i∈Z Theo bất đẳng thức Bessel, chuỗi ∑

i ∈Z

ξiei hội tụ và ta gọi ∑

i ∈Z

ξiei là

chuỗi Fourier hay khai triển Fourier của x theo hệ trực chuẩn {ei}i∈Z

Giả sử M là một tập con của không gian Hilbert X Kí hiệu M⊥ là tập tất cả cácvectơ thuộc X trực giao với M Dễ thấy M⊥ là môt không gian con của khônggian Hilbert X Để chứng minh Đinh lý 1.7.3 quan trọng trong đoạn này về đặctrưng của một hệ trực chuẩn đầy đủ, ta cần đến hai bổ đề sau Các khái niệm vàkiến thức trong đoạn này có thể được tìm thấy ở [1]

Vậy kxk2= 0, tức x = 0 Do x ∈ M⊥ tùy ý nên M⊥ = {0}

Bổ đề 1.7.2 Nếu {ei}i∈Z là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert X và

x∈ X thì (x − ∑

i∈Z

ξiei)⊥ej với mọi j ∈ Z.

Chứng minh. Giả sử j ∈ Z Ta có thể giả thiết j ≥ 0, còn đối với j < 0 ta chứngminh tương tự Khi đó với mọi k ≥ j, ta có

(x − ∑k

ξiei)⊥ejvới mọi j ∈ Z Bây giờ ta phát biểu và chứng minh định

lý quan trọng sau đã đực nhắc tới trong các phát biểu trên

Định lý 1.7.3 Giả sử {ei}i∈Z là một hệ trực chuẩn, còn {ξi= hx, eii}i∈Z và

{ηi= hy, eii}i∈Z tương ứng là các hệ số Fourier của các vectơ x và y thuộc X đối với hệ trực chuẩn này Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương (a) {ei}i∈Z là hệ trực chuẩn đầy đủ;

Chứng minh (a) ⇒ (b) Theo Bổ đề 1.7.2 ta có (x − ∑

i ∈Z

ξiei)⊥ej với mọi j ∈ Z,nên nếu hệ trực chuẩn {ei}i∈Z đầy đủ thì ta phải có

kxk2 = hx, xi = ∑

i ∈Z

|ξi|2.(c) ⇒ (a) Nếu x⊥ei với mọi i ∈ Z thì ξi = 0 với mọi i ∈ Z Vậy

(e) ⇒ (a) Giả sử có (e) và nếu x⊥ei với mọi i ∈ Z thì x⊥span {ei : i ∈ Z} Dox⊥span {ei: i ∈ Z} trù mật trong X, nên theo Bổ đề 1.7.1 ta có x = 0

Nội dung chính của chương này là việc giới thiệu hai cơ sở trực chuẩntrong L2(R), chúng là nền tảng cho việc nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng đangphát triển mạnh mẽ hiện nay Đó là cơ sở Wavelets Haar được sử dụng để nghiêncứu Lý thuyết Wavelets và cơ sở Gabor để nghiên cứu Lý thuyết truyền tin Cơ

sở Wavelets Haar bắt đầu từ một hàm đơn giản Haar cho trên (−∞, ∞) và đượchình thành qua việc tính toán các khoảng nhị phân Trong khi đó, cơ sở Gaborđược xây dựng từ các hàm mũ phức Ta sẽ xây dựng chi tiết hai hệ hàm trựcgiao này và lần lượt chứng minh chúng là cơ sở trong L2(R) Trước hết, ta cầnmột vài khái niệm Các khái niệm và kiến thức trong chương này có nguồn gốctrong các tài liệu [2] và [5]

2.1 BIẾN ĐỔI FOURIER

Trong đoạn này ta sẽ giới thiệu khái niệm biến đổi Fourier, một trong

những công cụ hữu dụng nhất của toán ứng dụng Ta gọi biến đổi Fourier của

một hàm f ∈ L1(R) (tức hàm f tuyệt đối khả tích trên R) là hàm

∧

f được xácđịnh bởi

∧

f(t)

∧

f(t)

... hữu tỉ.

1.7 MỘT ĐẶC TRƯNG VỀ CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT< /b>

Trong mục ta trình bày định lý đặc trưng sở trực chuẩntrong không gian Hilbert phức tổng quát, chương... {ei}i∈Z

Giả sử M tập không gian Hilbert X Kí hiệu M⊥ tập tất cácvectơ thuộc X trực giao với M Dễ thấy M⊥ môt không gian khônggian Hilbert X Để chứng minh Đinh... chứng minh chúng sở L2(R) Trước hết, ta cầnmột vài khái niệm Các khái niệm kiến thức chương có nguồn gốctrong tài liệu [2] [5]

2.1 BIẾN ĐỔI FOURIER

Trong đoạn ta