Khung trong không gian Hilbert

Mục đích nghiên cứuNghiên cứu tổng quan về cơ sở của lý thuyết khung và các tínhchất bù nhau và rời nhau của các khung trong không gian Hilbert.. CƠ SỞ LÝ THUYẾT KHUNGTrong nghiên cứu kh

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội

2 dưới sự hướng dẫn của cô giáo - tiến sĩ Nguyễn Quỳnh Nga Tác giảxin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với cô Cô đãdành nhiều thời gian hướng dẫn, chỉ bảo cho tác giả những kiến thức vàkinh nghiệm quí báu, luôn động viên để tác giả vươn lên trong học tập

và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP HàNội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, Tổ Giải tích, quý thầy cô, đã tạomọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình caohọc và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin chân thành cảm ơn Trường THPT Yên Lãng và TổToán - Tin đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả học tập và hoàn thànhtốt luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn sự gúp đỡ động viên của gia đình,bạn bè, các thành viên lớp cao học Toán Giải tích khóa 2010 -2012 đểtác giả hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Tác giả

Đỗ Thủy Tiên

i

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Quỳnh Nga.

Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từngđược công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Tác giả

Đỗ Thủy Tiên

ii

Mở đầu 1

1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert 4

1.2 Phép chiếu trực giao và phần bù trực giao 7

1.3 Toán tử đẳng cự bộ phận 9

1.4 Tổng trực tiếp của các không gian Hilbert 11

2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT KHUNG 14 2.1 Khung trong không gian hữu hạn chiều 15

2.2 Khung nhìn từ quan điểm giãn nở 17

2.3 Khung đối ngẫu luân phiên 33

2.3.1 Khung đối ngẫu chính tắc 33

2.3.2 Khung đối ngẫu luân phiên 36

3 KHUNG BÙ VÀ TÍNH RỜI 42 3.1 Tính chất bù nhau và rời nhau của các khung 42

iii

bù nhau 483.3 Một vài kết quả khác về khung đối ngẫu luân phiên 58

iv

1 Lý do chọn đề tài

Khung trong không gian Hilbert được Duffin và Schaeffer [5] đưa

ra chính thức vào năm 1952 khi nghiên cứu một số bài toán về chuỗiFourier không điều hòa Tuy nhiên, ý tưởng của Duffin và Schaefferdường như không tạo nên sự quan tâm cho các nhà khoa học ngoài lĩnhvực đó cho đến khi bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer [4] rađời vào năm 1986 Kể từ đó, lý thuyết khung nhận được sự quan tâmrộng rãi bởi nhiều nhà Toán học, Vật lý học, Sinh vật học, Kỹ sư, .Khung thường được sử dụng trong xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, nén dữ liệu

và trong lý thuyết mẫu Gần đây, khung còn được sử dụng trong các lýthuyết quang học cũng như các nghiên cứu về các không gian Besov, lýthuyết không gian Banach Ngược lại, các công cụ mạnh từ lý thuyếttoán tử và lý thuyết không gian Banach lại được sử dụng để nghiên cứutrong lý thuyết khung [1]

Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về lý thuyết khung trongkhông gian Hilbert, được sự đồng ý hướng dẫn của cô giáo - tiến sĩNguyễn Quỳnh Nga, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu “Khung trongkhông gian Hilbert” để thực hiện luận văn tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tổng quan về cơ sở của lý thuyết khung và các tínhchất bù nhau và rời nhau của các khung trong không gian Hilbert

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Làm rõ lý thuyết cơ bản cho khung;

Làm rõ tính bù và tính rời của khung và các tính chất có liên quan

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Khung trong không gian Hilbert

Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, tài liệu trong và ngoài nước liênquan đến khung trong không gian Hilbert

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếpcận vấn đề

Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là cácbài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới

6 Đóng góp mới

Luận văn là một tài liệu tổng quan về lý thuyết khung trong khônggian Hilbert

MỘT SỐ KẾT QUẢ VÀ KHÁI

NIỆM BAN ĐẦU

Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một vài kết quả cơ bản sẽdùng trong chương sau Các kết quả này được tham khảo từ tài liệu [6],[8]

Ký hiệu B (H, K) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ

H vào K Khi H = K thì B (H, K) được ký hiệu đơn giản là B (H)

Chuẩn của T ∈ B (H, K) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất

4

thỏa mãn (1.1.1) Nói một cách tương đương,

kT k = sup {kT xk : x ∈ H, kxk ≤ 1}

= sup {kT xk : x ∈ H, kxk = 1} Mệnh đề 1.1.1 Giả sử H, K, L là các không gian Hilbert Nếu T ∈

B (H, K) thì tồn tại duy nhất một phần tử T∗ ∈ B (K, H) sao cho

hT∗x, yi = hx, T yi , (x ∈ K, y ∈ H) Hơn nữa,

Cho T ∈ B (H) T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T∗ = T ,

là unita nếu T∗T = T T∗ = I T được gọi là chuẩn tắc nếu T∗T = T T∗

T được gọi là dương (ký hiệu T ≥ 0) nếu hT x, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H

iii) T là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu kT xk = kT∗xk với mọi x ∈ H

Mệnh đề 1.1.4 Giả sử T ∈ B (H) Khi đó các điều sau đây là tươngđương

hT ei, eii độc lập với sự lựa chọn cơ

sở trực chuẩn của H Ta gọi đại lượng này là vết của T và ký hiệu là

1.2 Phép chiếu trực giao và phần bù trực giao

Giả sử H là một không gian Hilbert, u, v ∈ H và X, Y là các tậpcon của H Ta nói u trực giao với v nếu hu, vi = 0 và u trực giao với Ynếu hu, yi = 0 với mọi y ∈ Y và X trực giao với Y nếu hx, yi = 0 vớimọi x ∈ X, y ∈ Y Kí hiệu Y⊥ là tập tất cả các vectơ trong H và trựcgiao với Y

Mệnh đề 1.2.1 Nếu Y là một không gian con đóng của không gianHilbert H thì mỗi phần tử x ∈ H có thể biểu diễn được dưới dạng x =

y + z, trong đó y ∈ Y và z ∈ Y⊥ Hơn nữa, y là phần tử duy nhất trong

Y , gần nhất với x

Ta viết H = Y ⊕ Y⊥ và Y⊥ được gọi là phần bù trực giao của Ytrong H

Phương trình P (y + z) = y, y ∈ Y, z ∈ Y⊥
xác định một toán

tử tuyến tính P : H → H P được gọi là phép chiếu trực giao từ

H lên Y Chú ý rằng I − P là phép chiếu trực giao từ H lên Y⊥ và(I − P ) (y + z) = z, y ∈ Y, z ∈ Y⊥

H = Ker (T ) ⊕ Ran (T∗) = Ker (T∗) ⊕ Ran (T )

Nếu toán tử tuyến tính U là đẳng cự trên phần bù trực giao củahạt nhân của nó thì ta gọi U là toán tử đẳng cự bộ phận Ví dụ các đẳng

cự, đối đẳng cự và các phép chiếu trực giao là các toán tử đẳng cự bộphận

Ta có thể dễ dàng kiểm tra rằng nếu U là toán tử đẳng cự bộ phận

và U 6= 0 thì kU k = 1

Mệnh đề 1.3.1 Một toán tử U là một toán tử đẳng cự bộ phận nếu vàchỉ nếu U∗U là một phép chiếu trực giao Điều này cũng đúng nếu vàchỉ nếu U U∗ là phép chiếu trực giao Trong trường hợp này U∗U là phépchiếu trực giao trên phần bù trực giao [KerU ]⊥ của nhân KerU và U U∗

là phép chiếu trực giao trên không gian ranU Ta ký hiệu supp (U ) =[KerU ]⊥

Chứng minh

Giả sử U là một đẳng cự bộ phận Ký hiệu P là một phép chiếu

trực giao lên supp (U ), lấy x, y ∈ supp (U ) Khi đó

kxk2 = hx, xi = hP x, xi = hU∗U x, xi = kU xk2.Như vậy U |E là một đẳng cự Hơn nữa, với y ∈ E⊥, ta có

kU∗zk = kU∗U xk = kxk = kzk

Như vậy, U∗ là một đẳng cự bộ phận.

1.4 Tổng trực tiếp của các không gian Hilbert

Khi H1, , Hk là các không gian Hilbert và K là tập của tất cảcác bộ k {x1, , xk} với xj ∈ Hj(j = 1, , k), ta có một cấu trúc khônggian Hilbert trên K, trong đó các toán tử đại số, tích trong và chuẩnđược định nghĩa bởi

a {x1, , xk} + b {y1, , yk} = {ax1 + by1, , axk + byk} ,

h{x1, , xk} , {y1, , yk}i = hx1, y1i + + hxk, yki ,

k{x1, , xk}k = hkx1k2 + + kxkk2i

1 2

.Không gian Hilbert K được gọi là tổng trực tiếp của H1, , Hk và được

ký hiệu bởi H1⊕ ⊕ Hk hoặc

kPj=1

⊕Hj Các phần tử trong H1⊕ ⊕ Hkcũng được kí hiệu là x1 ⊕ ⊕ xk

Với mỗi j = 1, , k, tập Hj0 bao gồm những bộ k có các thànhphần bằng không ngoại trừ vị trí thứ j, là một không gian con đóngcủa H1 ⊕ ⊕ Hk Ánh xạ Uj : Hj → Hj0, định nghĩa bởi Ujx ={0, , 0, x, 0, , 0}(với x ở vị trí thứ j) là một đẳng cấu từ Hj vào Hj0.Các không gian con H10, , Hk0 là các cặp trực giao, và

kSj=1

H0j = K.Giả sử rằng H1, , Hk là các không gian con trực giao với nhautừng đôi một của không gian Hilbert H, và

kSj=1

Hj = H Khi đó, các phépchiếu trực giao tương ứng E1, , Ek từ H lên H1, , Hk có tổng I Toán

tử tuyến tính U : H → K, được định nghĩa bởi U x = {E1x, , Ekx},

ánh xạ Hj vào Hj0 và H vào K (= H1 ⊕ ⊕ Hk), và là một unita do

kU xk2 =

kXj=1

kEjxk2 =

kXj=1

kPj=1

≤ hkT1k2kx1k2 + + kTkk2kxkk2i

1 2

≤ chkx1k2 + + kxkk2i

1 2

Như vậy, kTjk ≤ kT k , (j = 1, , k), do đó c ≤ kT k và vì vậy kT k = c.

hyj, Tjxji

=

kXj=1

hT∗yj, xji

= h{T1∗y1, , Tk∗yk} , {x1, , xk}i ,khi xj ∈ Hj và yj ∈ Kj, (j = 1, , k), suy ra rằng

T∗{y1, , yk} = {T1∗y1, , Tk∗yk} Chúng ta đã chứng minh rằng

nXj=1

⊕Tj = sup {kTjk : j = 1, , k} ,

nXj=1

⊕Tj

!∗

=

nXj=1

⊕Tj∗;

và rõ ràng rằng

kX

j=1

⊕ (aSj + bTj) = a

kXj=1

⊕Sj

!+ b

kXj=1

⊕Tj

!,

kXj=1

⊕Rj

! kXj=1

⊕Sj

!

=

kXj=1

⊕RjSj

!,khi Sj, Tj ∈ B (Hj, Kj) , Rj ∈ B (Kj, Lj) và a, b ∈ C

CƠ SỞ LÝ THUYẾT KHUNG

Trong nghiên cứu không gian vectơ một trong những khái niệmquan trọng nhất là cơ sở, cho phép mỗi phần tử ở trong không gian đượcviết như là một tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở Tuynhiên, điều kiện là cơ sở rất hạn chế - không có sự phụ thuộc tuyến tínhgiữa các thành phần là có thể và đôi khi chúng ta thậm chí muốn cácthành phần trực giao tương ứng với một tích trong Điều này làm chokhó tìm hoặc thậm chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổsung và đây là lí do mà người ta mong muốn tìm một công cụ linh hoạthơn

Khung là công cụ như vậy Một khung cho một không gian vectơđược trang bị một tích trong cũng cho phép mỗi phần tử trong khônggian được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trongkhung, nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử khung là khôngcần thiết Về trực giác, ta có thể nghĩ một khung như là một cơ sở đượccho thêm vào một số phần tử

Các kết quả của chương này có thể tham khảo trong [2], [3], [7]

14

2.1 Khung trong không gian hữu hạn chiều

Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều, được trang bị mộttích trong h·, ·i Nhớ lại rằng một dãy {ej}mj=1 trong V là một cơ sở của

V nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn

i) V = span {ej}mj=1;

ii) {ej}mj=1 là độc lập tuyến tính, nghĩa là nếu

mPj=1

cjej = 0 với các hệ số

vô hướng {cj}mj=1 thì cj = 0, (j = 1, , m)

Như một hệ quả của định nghĩa này, mọi f ∈ V có một biểu diễnduy nhất theo các thành phần trong cơ sở, tức là, tồn tại các hệ số vôhướng duy nhất {cj}mj=1 sao cho

f =

mXj=1

ciei, ej

+

=

mXi=1

cihei, eji = cj,

vì vậy

f =

mXj=1

hf, eji ej (2.1.2)Bây giờ ta giới thiệu về khung; ta sẽ chứng minh rằng một khung{fj}mj=1 cũng cho ta một biểu diễn như (2.1.1)

Định nghĩa 2.1.1 Một họ đếm được của các vectơ {fj}

j∈J trong V đượcgọi là một khung của V nếu tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho

ý rằng các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự Khung là chuẩnhóa, nếu kfjk = 1, với mọi j ∈ J

Trong một không gian vectơ hữu hạn chiều sẽ là không tự nhiên(mặc dù có thể) khi xét các họ {fj}j∈J có vô hạn các phần tử Trongphần này chúng ta chỉ xem xét các họ hữu hạn {fj}mj=1, m ∈ N Với hạnchế này, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz chỉ ra rằng

mXj=1

|hf, fji|2 ≤

mXj=1

kfjk2kf k2

với mọi f ∈ V , nghĩa là, điều kiện khung trên tự động được thỏa mãn.Tuy nhiên, ta có thể tìm một cận khung trên tốt hơn

mPj=1

kfjk2

Để cho điều kiện dưới trong (2.1.3) thỏa mãn, cần thiết rằngspan {fj}mj=1 = V Điều kiện này là đủ; mọi dãy hữu hạn là một khungcho bao tuyến tính của nó

Mệnh đề 2.1.2 [2] Cho {fj}mj=1 là một dãy trong V Khi đó {fj}mj=1 làmột khung cho span {fj}mj=1

Chứng minh

Chúng ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các fj đều bằng

không Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên là thỏa mãn với B =m

|hg, fji|2 = inf

( mXj=1

|hf, fji|2 : f ∈ W, kf k = 1

)

Rõ ràng là A > 0 Bây giờ lấy f ∈ W, f 6= 0, ta có

mXj=1

|hf, fji|2 =

mXj=1

f

kf k, fj

Cho H là không gian Hilbert phức khả li Ký hiệu B (H) là đại

số của tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H N là tập các số tự

nhiên, Z là tập các số nguyên Ta dùng J chung cho các tập đếm đượcnhư N, Z, Z2, N ∪ N, .

Một dãy {xj : j ∈ N} của không gian vectơ H được gọi là mộtkhung nếu có các hằng số A, B > 0 sao cho

C sao cho x = P αjxj với sự hội tụ trong chuẩn

Lưu ý rằng một cơ sở Riesz đôi khi được định nghĩa là một cơ sởđược lấy từ một cơ sở trực chuẩn bằng cách áp dụng một toán tử tuyếntính khả nghịch bị chặn Điều này là tương đương với định nghĩa củachúng ta (xem Mệnh đề 2.2.5) Rõ ràng từ tổng tuyệt đối trong (2.2.1),các khái niệm về khung (và cơ sở Riesz) có ý nghĩa với bất kỳ tập hợpcon đếm được của H và không phụ thuộc vào thứ tự dãy Do đó sẽ không

có sự nhầm lẫn trong khi nói về một khung hoặc cơ sở Riesz với tập chỉ

|hx, xji|2 (2.2.2)với mọi x ∈ H Hiển nhiên một cơ sở trực chuẩn là một khung Parseval.Hơn nữa, nếu {xj} là một khung Parseval, thì (2.2.2) suy ra kxjk ≤ 1

với mọi j Ngoài ra, nếu xk là một vectơ đơn vị thì (2.2.2) cho thấy nóphải trực giao với tất cả các vectơ xj khác ở trong khung Vì vậy mộtkhung Parseval của các vectơ đơn vị là một cơ sở trực chuẩn Mặt khác,một số các vectơ trong một khung chặt có thể là vectơ - không Nếu H

là không gian Hilbert không, thì một tập chỉ số đếm được bất kỳ củacác vectơ không đáp ứng định nghĩa của một khung Parseval (miễn là taquy ước A = B = 1 trong trường hợp này) Giả sử {xj : j ∈ J} là mộtkhung Parseval cho H Giả sử rằng {xi : i ∈ Λ} ⊂ {xj : j ∈ J} cũng làmột khung Parseval cho H, Λ ⊂ J Nếu j /∈ Λ thì

Nếu {xn} là một khung mà không là cơ sở Riesz và không phải làmột dãy các vectơ không trên không gian Hilbert không thì ta gọi {xn}

T : H → K sao cho T xj = yj với mọi j ∈ J

Điều quan trọng cần lưu ý là hai khái niệm trên (tương đương unita

và đẳng cấu) phần nào hạn chế và thực tế là hạn chế hơn khái niệmtương đương của các khung mà một số nhà lý thuyết muốn Đặc biệt,đẳng cấu của các khung không phải là bất biến theo hoán vị Ví dụ , nếu

{e1, e2} là một cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert hai chiều H2 thì{e1, e2, 0, 0} và {0, 0, e1, e2} là các khung Parseval cho H2 với chỉ số thuộc

J = {1, 2, 3, 4} Nhưng chúng không đẳng cấu vì không tồn tại toán tửkhả nghịch T : H2 → H2 sao cho T e1 = 0, T e2 = 0, T 0 = e1, T 0 = e2

Để giải thích ý nghĩa hình học và có được sức mạnh của các định lý thì

ta cần phân biệt giữa các lớp tương đương của các khung như vậy Hơnnữa, vì lý do tương tự nên chúng ta không định nghĩa mối liên hệ tươngđương giữa hai khung với hai tập chỉ số khác nhau

Giả sử rằng {xn} là một dãy trong H sao cho

x = X

n

hx, xni xn,với mọi x ∈ H (hội tụ có thể là hội tụ yếu hoặc theo nghĩa hội tụ chuẩn).Khi đó {xn} là một khung Parseval cho H Thật vậy với mọi x ∈ H, tacó

kxk2 = lim

n→∞

* nXk=1

hx, xki xk, x

+

= limn→∞

nXk=1

hx, xki hxk, xi

= limn→∞

nXk=1

|hx, xki|2 =

∞Xk=1

|hx, xki|2

Ví dụ 2.2.1 Cho H, K là các không gian Hilbert với H ⊂ K, {ei}∞i=1 làmột cơ sở trực chuẩn của K Ký hiệu P là phép chiếu trực giao từ Klên H, xi = P ei với mọi i Nếu x ∈ H tùy ý thì

kxk2 = X

j

|hx, eji|2 (2.2.3)và

x = X

j

Do đó

1

E : n ∈ Z là các khung không tương đương unita.

Ví dụ 2.2.4 Lấy H = C2, e1 = (0, 1) , e2 = 

√ 3

2 ,12, e3 = 

√ 3

2 , −12.{e1, e2, e3} là một khung chặt với cận khung là 3

2 Thật vậy, với x =

2 x1 +

1

2x2

... Khi {V en} khungParseval cho miền giá trị V

ii) Giả sử {xn} khung Parseval cho không gian Hilbert H {en}

là sở trực chuẩn cho không gian Hilbert K Nếu T đẳng... tập số J

Hệ 2.2.3 Cho J tập đếm Một tập {xn : n ∈ J} làmột khung Parseval không gian Hilbert H tồn mộtkhông gian Hilbert M khung Parseval {yn : n ∈ J} cho M saocho

là sở... {yj} khung tổng quát, ta gọi khung {wj} saocho {yj ⊕ wj} sở Riesz cho không gian tổng trực tiếp mộtkhung bù (phần bù) với {xj} Mọi khung có khung Parseval