Một vài cơ sở và khung trong không gian hilbert

Mục đích nghiên cứu Do không gian các hàm bình phương khả tích L2R là nền tảng đểxây dựng cơ sở wavelets Haar và cơ sở truyền tin Gabor, nên L2R cầnđược nghiên cứu một cách chi tiết với

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

VÕ THỊ NGA

MỘT VÀI CƠ SỞ VÀ KHUNG

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8.46.01.02

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2018

Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN NHỤY

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây Lý thuyết các sóng nhỏ (Theory of Wavelets)

đã phát triển rất mạnh mẽ, nó trở thành nền tảng cho việc xây dựng Lýthuyết truyền tin và các lí thuyết cũng như ứng dụng khác Không gian cơ

sở mà Lý thuyết này xây dựng là L2(R), không gian các hàm bình phươngkhả tích trên R Do các phần tử thuộc L2(R), có thể biểu diễn qua cơ sởcủa nó nên người ta phải quan tâm đến cơ sở của không gian này Trong sốcác cơ sở của L2(R) có một loại cơ sở đặc biệt là cơ sở wavelets trực chuẩn.Luận văn chúng tôi giới thiệu 2 loại cơ sở wavelets trực chuẩn thường đượcdùng đến là cơ sở Gabor và cơ sở Haar, đây chính là hai cơ sở cho nhiềuứng dụng

Tuy nhiên do sự phát triển của lí thuyết và đòi hỏi của thực tiễn ápdụng người ta dần thấy rằng đòi hỏi của khái niệm cơ sở trực chuẩn trong

L2(R) là quá chặt chẽ nên đã tìm cách mở rộng thành khái niệm Khung(Frame) cho không gian Hilbert tổng quát Bởi những lý do như trên cùngvới sự định hướng của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Nhụy, chúng tôi đã quyếtđịnh chọn đề tài: "MỘT VÀI CƠ SỞ VÀ KHUNG TRONG KHÔNG GIANHILBERT" làm đề tài luận văn thạc sĩ cho mình

2 Mục đích nghiên cứu

Do không gian các hàm bình phương khả tích L2(R) là nền tảng đểxây dựng cơ sở wavelets Haar và cơ sở truyền tin Gabor, nên L2(R) cầnđược nghiên cứu một cách chi tiết với tư cách là không gian Hilbert Mặtkhác để ứng dụng có hiệu quả không gian L2(R) trong việc thực hiện các

phép toán, ta cần xấp xỉ L2(R) bởi không gian khác có nhiều tính "tốt"hơn, như liên tục, có giá compact, có thể đạo hàm, Ta cần xấp xỉ khônggian này bằng không gian các hàm liên tục có giá compact, hoặc các đathức Từ đó các hàm trong L2(R) có đạo hàm mọi cấp theo nghĩa suy rộng,nhờ đó ta có thể lấy đạo hàm chúng (theo nghĩa suy rộng) và có thể thựchiện các phép tính về đạo hàm Từ đó ta có thể xây dựng được các hàmsinh ra cơ sở trực chuẩn Gabor và Haar Hai cơ sở này đóng vai trò hết sứcquan trọng trong Lí thuyết sóng nhỏ và đặc biệt là trong Lí thuyết truyềntin Khi có cơ sở ta sẽ tổng quát hóa lên xây dựng khái niệm Khung và cáctính chất của Khung trong không gian Hilbert hữu hạn chiều và không gianHilbert tổng quát.

3 Đối tượng nghiên cứu

Các hàm thực liên tục, tập các hàm thực liên tục, dãy các hàm số thực,

đa thức thực, đa thức hệ số phức, các hàm phức, các phép toán trên tậpcác hàm phức liên tục Dàn các hàm thực liên tục, các vectơ và mối liên hệgiữa các vectơ, các phép toán trong không gian Hilbert

4 Phạm vi nghiên cứu

Dàn các hàm thực trên không gian compact, không gian Metric pact, các phép toán và mối tương quan giữa các phần tử trong không gianHilbert hữu hạn chiều Họ các hàm từ không gian Metric compact vào khônggian các hàm phức bình phương khả tích trên R Không gian các hàm phức

com-p tuyệt đối khả tích

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập các tài liệu sưu tầm được, các bài báo cáo khoa học, các sách

vở có liên quan đến đề tài làm luận văn, tìm hiểu chúng và tóm tắt các kếtquả thu được theo hiểu biết một cách ngắn gọn, hệ thống khoa học về các

chứng minh chi tiết và đưa ra các kết quả phù hợp nhất, đúng đắn nhất chobài luận văn của mình Thường xuyên trao đổi thảo luận với người hướngdẫn về bài làm.

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài có giá trị về mặt lí thuyết có thể dùng tham khảo cho sinh viên

và học viên khoa Toán trong quá trình nghiên cứu và học tập

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo thì luận văn đượcchia làm 3 chương Chương 1 là một vài kiến thức chuẩn bị với mục đíchtạo các dữ liệu cần thiết cho các chương sau đặc biệt là chương 2 Kết quảmong muốn thu được ở chương này là một hàm bình phương khả tích trên

R có thể được xấp xỉ bởi một hàm liên tục có giá compact Chương 2 làgiới thiệu 2 cơ sở trực chuẩn wavelets trong L2(R) Đó là cơ sở Haar và cơ

sở Gabor Chương 3 dành cho việc xây dựng Khung và các tính chất củaKhung trong không gian Hilbert hữu hạn chiều Bên cạnh đó có một số ví

dụ minh họa thêm cho các kết quả đã nêu

CHƯƠNG1 MỘT VÀI KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Mục đích chính của chương này là tạo các dữ liệu cần thiết cho cácchương sau đặc biệt là cho chương 2 Kết quả ta mong muốn thu đượctrước hết trong chương này là một hàm bình phương khả tích R có thểđược xấp xỉ bởi một hàm liên tục có giá compact (Định lý 1.6.1) Hơnnữa, Định lý Stone-Weierstrass phức (1.4.1) cho ta khả năng xây dựng cơ



n k

p sao cho

sup

a≤x≤b

|f (x) − p(x)| < ε

1.2 DÀN CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHÔNG GIAN COMPACT

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử f và g là các hàm thực trên một tập X, tức

f, g : X → R (nói rõ hơn f, g ánh xạ từ tập X vào tập số thực mở rộng

R = R ∪ {−∞} ∪ {+∞}) Ta định nghĩa f ∨ g và f ∧ g (theo thứ tựđọc là f hợp g và f giao g) là các hàm được cho bởi

(f ∨g)(x) = max {f (x), g(x)} , (f ∧g)(x) = min {f (x), g(x)}

Một họ L các hàm thực trên một tập X nào đó được gọi là dàn nếu nóđóng đối với các phép toán hợp (∨) và (∧) hai hàm thuộc nó, điều này cónghĩa là, nếu f, g ∈ L thì f ∨ g ∈ L và f ∧ g ∈ L

Chẳng hạn, nếu X là một không gian metric compact thì tập CR(X) cáchàm thực liên tục trên X là một dàn Ta dễ dàng nhận ra điều này vì nếu

Định nghĩa 1.2.2 Một dãy hàm số thực {gn}∞n=1 trên một tập hợp X

được gọi là hội tụ đều đến hàm f trên X và khi đó hàm f được gọi là giớihạn đều của dãy hàm {gn} nếu

(b) Giả sử a, b ∈ R và nếu x, y là hai điểm phân biệt của X, thì tồn tạimột hàm f ∈ L sao cho f (x) = a, f (y) = b.

Khi đó L trù mật đều trong CR(X), nghĩa là, nếu g ∈ CR(X) và

ε > 0 là số cho trước, thì tồn tại một hàm h ∈ L sao cho

kg − hk = sup

x∈X

|g(x) − h(x)| < ε.Nói khác đi, mỗi hàm số thực liên tục g trên X luôn là giới hạn đềucủa một dãy các hàm {hn} ⊂ L

Hệ quả 1.2.4 Mọi hàm thực liên tục f liên tục trên một tập compact

X ⊂ R đều có thể được xấp xỉ đều bởi một đa thức thực trên X có hệ

số hữu tỉ

Hệ quả 1.2.5 Tập CR(X) các hàm thực liên tục trên một tập compact

X ⊂ R là không gian Banach khả li.

1.3 ĐẠI SỐ CÁC HÀM LIÊN TỤC

Định nghĩa 1.3.1 Ta nói một họ các hàm A = {f : X → C} từ tập

X vào tập số phức C, gọi tắt là hàm phức trên tập X, là một đại sốthực (phức) trên X nếu với mọi f, g ∈ A và mọi số thực (phức) α taluôn có các hàm f + g, αf và f g thuộc A, ở đây các phép toán giữa haihàm và phép nhân với một vô hướng được định nghĩa: với x ∈ X thì

(f + g)(x) = f (x) + g(x), (αf )(x) = αf (x), (f g)(x) = f (x)g(x).

Mệnh đề 1.3.2 Cho X là một không gian metric compact, A là mộtđại số con của CR(X) và ngoài ra giả sử A trù mật đều trong CR(X).Khi đó:

(a) A phân biệt các điểm của X, nghĩa là nếu các điểm x1, x2 ∈ X, x1 6=

x2, thì tồn tại một hàm f ∈ A sao cho f (x1) 6= f (x2)

(b) Không tồn tại điểm nào của X mà tại đó mọi hàm thuộc A đều triệttiêu

Định lí 1.3.3 (Định lý Stone-Weierstrass thực) Cho X là một không

gian metric compact và A là một đại số con của CR(X) với các tính

chất sau đây

(a) A phân biệt các điểm của X

(b) Không có điểm nào của X mà tại đó mọi hàm của A triệt tiêu

Khi đó A trù mật đều trong CR(X)

1.4 ĐỊNH LÝ STONE-WEIERSTRASS PHỨC

Định lí 1.4.1 (Định lý Stone-Weiertrass phức) Cho X là một

không gian metric compact và A là một đại số con của C(X) với các

tính chất sau đây

(a) A phân biệt các điểm của X

(b) Không có điểm nào của X mà tại đó mọi hàm của A triệt tiêu

(c) Đại số con A tự liên hợp, nghĩa là, nếu f ∈ A thì f ∈ A

Khi đó, A trù mật đều trong C(X)

1.5 XẤP XỈ TRONG KHÔNG GIAN LP[a, b](−∞ < a < b < +∞)

Ta gọi LP[a, b](−∞ < a < b < ∞) là tập tất cả các hàm f :

[a, b] → C tuyệt đối khả tích Riemann cấp p trên đoạn hữu hạn [a, b], tức

bRa

|f |p < ∞.

Kí hiệu

kf kp =

 bRa

|f |p

1/p

.

Mục đích của đoạn này là chỉ ra rằng không gian C[a, b] các hàm phức liên

tục trên [a, b] trù mật trong Lp[a, b] Trước hết cần có một vài khái niệm

Giả sử A là tập con của đường thẳng thực R Gọi χA là hàm đặc trưng

của tập A, tức hàm cho bởi

Định nghĩa 1.5.1 Ta nói một phân hoạch của tập A ⊂ R là một họ

các tập không rỗng rời nhau sao cho hợp của chúng bằng A Nói cụ thểhơn, đó là họ {Iλ}λ∈A sao cho Iλ ∩ Iγ = ∅ nếu λ 6= γ và ∪

f (x) =

rPi=1

i=1Ii thì χIi(x) = 0 với mọi i nên f (x) = 0 Ngoài ra, f

đo được vì mỗi χIi đo được

Tóm lại, hàm f là đơn giản khi và chỉ khi có dạng (7).

Bổ đề 1.5.2 Nếu f là một hàm đơn giản trên [a, b] thì với mọi ε > 0,tồn tại hàm liên tục g sao cho

kf − gkp < ε.

Định lí 1.5.3 Nếu f là một hàm thực thuộc LP[a, b] thì với mỗi ε > 0,tồn tại hàm thực liên tục g sao cho kf − gkp < ε Nói khác đi, khônggian CR[a, b] các hàm thực liên tục trên [a, b] trù mật trong không giancác hàm thực p− khả tích LP[a, b]

Nếu f = f1 + if2 là một hàm phức với f1, f2 là các hàm thực thì tacó

Định lí 1.5.4 Với mỗi hàm phức f ∈ LP[a, b] và với mỗi ε > 0, đềutồn tại hàm phức liên tục g sao cho

Định lí 1.6.1 Tập các hàm phức liên tục có giá compact xác định trên

R là trù mật trong Lp(R), nghĩa là, nếu f ∈ Lp(R) và với ε > 0 chotrước, tồn tại các hàm giá trị phức g, h liên tục trên R sao cho f = g+h,

ở đây g là hàm liên tục có giá compact trên đoạn [−K, K] nào đó, còn

h ∈ Lp(R) với khkp < ε

Hệ quả 1.6.2 Giao L1(R) ∩ L2(R) trù mật trong L2(R).

Hệ quả 1.6.3 Nếu f ∈ Lp(R) thì với ε > 0 cho trước, tồn tại đa thứcphức q sao cho

kf − qkp < ε.

Hơn nữa ta có thể giả thiết đa thức q có hệ số hữu tỉ

1.7 MỘT ĐẶC TRƯNG VỀ CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Giả sử X là một không gian Hilbert với tích trong h., i, Hai vectơ

x, y ∈ X được gọi là trực giao nếu hx, yi = 0 Một hệ các vectơ

{ei}i∈Z trong X được gọi là trực chuẩn nếu hei, eji = δij, ở đây δij là

kí hiệu Kronecker, nghĩa là

δij =



1 nếu i = j,

0 nếu i 6= j.

Một hệ trực chuẩn các vectơ {ei}i∈Z trong không gian Hilbert X được gọi

là đầy đủ nếu một vectơ x ∈ X mà x⊥ei với mọi i ∈ Z thì x = 0

Nếu x ∈ X thì ta gọi ξi = hx, eii là hệ số Fourier của x đối với hệ trựcchuẩn {ei}i∈Z Theo bất đẳng thức Bessel, chuỗi P

i∈Z

ξiei hội tụ và ta gọiP

Định lí 1.7.3 Giả sử {ei}i∈Z là một hệ trực chuẩn, còn{ξi = hx, eii}i∈Z và

{ηi = hy, eii}i∈Z tương ứng là các hệ số Fourier của các vectơ x và y

thuộc X đối với hệ trực chuẩn này Khi đó các khẳng định sau đây làtương đương

(a) {ei}i∈Z là hệ trực chuẩn đầy đủ;

2.1 BIẾN ĐỔI FOURIER

Trong đoạn này ta sẽ giới thiệu khái niệm biến đổi Fourier, một trongnhững công cụ hữu dụng nhất của toán ứng dụng Ta gọi biến đổi Fouriercủa một hàm f ∈ L1(R) (tức hàm f tuyệt đối khả tích trên R) là hàm

−∞

f (x)e−itxdx.Định lí 2.1.1 Với mỗi f ∈ L1(R), hàm

∧

f (t)

≤ kf k1

Ở đây, kf k1 =

∞R

Sử dụng công thức Euler e−itx = cos tx − i sin tx và chú ý rằng f (x)costx

là hàm lẻ, còn if (x)sintx là hàm chẵn theo x trên [−π,π], ta có

∧

f (t) = √−i

2π

∞R

−∞

f (x) sin txdx

= √−i2π

πR

−π

sin3x sin txdx

= √−2i2π

πR0

sin3x sin txdx

= −3

√ 2i sin(tπ)

√ π(9−t 2 ) .

2.2 WAVELETS TRỰC CHUẨN VÀ BIẾN ĐỔI WAVELETS TRỰC CHUẨN

Một hàm ψ ∈ L2(R) được gọi là một wavelet trực chuẩn nếu họ

{ψj,k : j, k ∈ Z}

lập nên một cơ sở trực chuẩn của L2(R), ở đây

ψj,k(x) = 2j/2ψ(2jx − k)(j, k ∈ Z).Chú ý rằng họ {ψj,k : j, k ∈ Z} là trực chuẩn trong L2(R) có nghĩa là

−∞

|ψ(2jx − k)|2dx]1/2 = 2−j/2kψk2

Do đó, nếu kψk2 = 1 thì

kψj,kk2 = kψk2 = 1 với mọi j, k ∈ Z.

Vì thế, khi nói {ψj,k : j, k ∈ Z} là một họ trực chuẩn, ta chỉ cần để ý đến

kψk2 = 1 và các ψj,k trực giao với nhau từng đôi một Tiếp theo ta tínhbiến đổi Fourier của các hàm {ψj,k : j, k ∈ Z} Chú ý rằng trong một dãybiến đổi dưới đây ta đã đặt y = 2jx rồi đặt tiếp y − k = z, tức y = z + k

và quá trình tính toán được diễn ra như sau

∧

ψj,k(t) = √1

2π

∞R

−∞

ψj,k(x)e−itxdx

= √12π

∞R

−∞

ψ(2jx − k)e−i(2−jt)(2jx)d(2jx)

= 2−j/2 1√

2π

∞R

j, k ∈ Z.

Tiếp theo một biến đổi wavelet trực chuẩn được định nghĩa

Wf (j, k) = hf, ψj,ki =

∞R

−∞

f (x)ψj,k(x)dx



ψj,k(x)

2.3 KHOẢNG NHỊ PHÂN VÀ HỆ TRỰC CHUẨN HAAR

Mục này dành cho việc xây dựng cơ sở Haar, đó là một cơ sở trực chuẩntrên L2(R) Trước hết ta cần một vài khái niệm bổ trợ Các khoảng nửa

mở trên R có dạng

Ij,k = [k2−j, (k + 1)2−j), (j, k ∈ Z)

được gọi là các khoảng nhị phân, chẳng hạn [3/8, 1/2) và [−20, −16) làcác khoảng nhị phân, trong khi [5/8, 7/8) thì không phải Gọi D là họ cáckhoảng nhị phân và Dj là họ các khoảng nhị phân I có độ dài 2−j và đượcgọi là hệ sinh thứ j Ta có

Dj = {Ij,k : k ∈ Z}

Rõ ràng rằng mỗi một Dj lập nên một phân hoạch của đường thẳng thực,nghĩa là, nếu I, J ∈ Dj và I 6= J thì I ∩ J = ∅ và

R = ∪ {I : I ∈ Dj}.Chú ý rằng mỗi một khoảng nhị phân I chỉ thuộc vào duy nhất một hệ sinh

Dj và có hai khoảng con của I thuộc vào hệ sinh tiếp theo D + 1, đó làkhoảng bên trái Il và khoảng bên phải Ir, của I, đồng thời I = Il ∪ Ir Kíhiệu |I| là độ dài khoảng I Ngoài ra ta có

D = ∪

j∈ZDj = {Ij,k : j, k ∈ Z}

Từ định nghĩa khoảng nhị phân ta suy ra rằng, nếu I, J ∈ D và nếu

I 6= J thì chỉ có ba khả năng xảy ra: hoặc I ∩ J = ∅ hoặc I ⊂ J hoặc

J ⊂ I Giả sử I = Im,n, J = Ij,k và Im,n ⊂ Ij,k Khi đó Im,n hoặc nằmtrọn trong nửa thứ nhất hoặc nửa thứ hai của Ij,k

Vậy giờ ta xét hàm Haar h ∈ L2(R) được định nghĩa như sau

và điều này có nghĩa nó là một wavelet Giả sử I ∈ D, khi đó tồn tại

j ∈ Z sao cho I ∈ Dj, tức I có dạng I = Ij,k = [k2−j, (k + 1)2−j).Nếu ta đặt Il = [k2−j, (2k + 1)2−(j+1)) là nửa bên trái, còn Ir = [(2k + 1)2−(j+1), (k + 1)2−j) là nửa bên phải của I, thì hàm hj,k có thể viết lại

Định nghĩa 2.4.1 Giả sử j ∈ Z và Pj : L2(R) → L2(R) là một toán

tử trong Pj : L2(R) → L2(R) Ta nói nó là toán tử kỳ vọng nếu

Bổ đề 2.4.2 Với mỗi j ∈ Z, Pjf thuộc vào L2(R) với mọi f ∈ L2(R).Chính xác hơn ta có

kPjf k2 ≤ kf k2.Định nghĩa 2.4.3 Giả sử j ∈ Z, một toán tử tuyến tính Qj : L2(R) →

L2(R) được gọi là toán tử sai phân nếu

Qjf (x) = Pj+1f (x) − Pjf (x).

Định lí 2.4.4 Với f ∈ L2(R), ta có

Hệ quả 2.4.6 Với hàm Haar cho bởi

Chú ý rằng trong công thức (5), các tham số k, n chạy trên tập số nguyên

Z, nên họ các tập {gn,k}n,k∈Z nói trên được gọi là biến đổi Gabor rời rạccủa hàm g ∈ L2(R)

Định nghĩa 2.5.1 Nếu một hàm g ∈ L2(R) mà biến đổi Gabor rời rạccủa nó {gn,k}n,k∈Z được xác định bởi đẳng thức (5), lập nên một cơ sở trựcchuẩn trong L2(R) thì nó được gọi là một hàm Gabor và cơ sở trực chuẩn

{gn,k}n,k∈Z được gọi là cơ sở Gabor

Gọi χA là hàm đặc trưng của tập A ⊂ R, ta lấy g = χ[0,1) Khi đó với

gn,k(x) = ei2πnxχ[k,k+1)(x) (6)

Định lí 2.5.2 Tập các hàm {gn,k}n,k∈Z với gn,k cho trong công thức

(6) lập nên cơ sở trực chuẩn trong L2(R)

Ví dụ sau đây gợi ý cho ta điều kiện cần để một hàm trong L2(R) làhàm Gabor

Ví dụ 2.5.3 Lại xét hàm Gabor g = χ[0,1) và hàm này sinh ra cơ sở trựcchuẩn Gabor trong L2(R)

gn,k(x) = e2πinxχ[k,k+1)(x) = g(x − k)e2πinx

Ta tính công thức cho biến đổi Fourier của g

b

g(t) = √1

2π

∞R

−∞

χ[0,1)(x)e−itxdx

= √12π

1R0

e−itxdx

= √12π

1

−it(e−it − 1)

= √12π

1

−it[e−it/2(eit/2 − e−it/2)]

= √12πe−it/2 sin(t/2)t/2 Định lí 2.5.4 (Balian-Low) Giả sử g ∈ L2(R) và

gn,k(x) = g(x − k)e2πin : n, k ∈ Z.

Nếu {gn,k : n, k ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn của L2(R) thì hoặc

∞R

−∞

x2|g(x)|2dx = ∞

hoặc là

∞R

−∞

t2|bg(t)|2dt = ∞.

Mục dành cho việc xây dựng sở Haar, sở trực chuẩntrên L2(R) Trước hết ta cần vài khái niệm bổ... J = ∅ và< /p>

R = ∪ {I : I ∈ Dj}.Chú ý khoảng nhị phân I thuộc vào hệ sinh

Dj có hai khoảng I thuộc vào hệ sinh... (5), lập nên sở trựcchuẩn L2(R) gọi hàm Gabor sở trực chuẩn

{gn,k}n,k∈Z gọi sở Gabor

Gọi