Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y4x 3 nên... Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến  C .Tổng tất cả các phần tử của S bằng...

Câu 1 [1D5-2.1-1] (Cẩm Giàng) Đạo hàm của hàm số y5x2 x213







x y x

x1

11

x x



x y

x x là

A

coscos sin





x y

x

Câu 5 Đạo hàm của hàm số 2

31







x y

v x , v x  0 là

       

 2

Câu 6 [1D5-2.1-1] (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Kí hiệu C là số các tổ hợp chập k của n n k

phần tử ( 0 k n  ) Mệnh đề nào sau đây đúng?

!

k n

n C

n C k

n C

n C

n C

x y

x y x



32

Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi:

Bài tập tương tự :

Câu 9 Cho hàm số

21

x y x



Câu 10 Cho hàm số

2 13

x y x



73



Ghi nhớ:

Hàm số

ax b y

cx d



 

.Đạo hàm của hàm số yf x 

tại điểm x x là 0 y x 0 f x 0

Cách 2 Sử dụng máy tính bỏ túi: Ấn phím   Nhập hàm số ( )f x  Nhập x 0 .

Câu 11 [1D5-2.1-1] (Đoàn Thượng) Tính đạo hàm của hàm số y x 32x1

f 

Câu 13 [1D5-2.1-1] (Chuyên KHTN) Đạo hàm của hàm số (x)f  ln(lnx) là:

1( )

x log x x 1y

2 2

x log x x 1 ln 2y

  2  2   

2 2

2

2 2

2

x 1 log x log x x 1y

log x

x 1log x x ln 2.log x x 1

x ln 2log x x ln 2.log x.log x

Do đó giá trị m nguyên lớn nhất thỏa mãn là 674.

Câu 22 [1D5-2.1-3] (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho hàm số f x 

liên tục trên  và có đồ thị như hình

vẽ bên Biết rằng diện tích hình phẳng  A

Khi đó

2 0

2 0

4cos 5sin 1 d

Theo giả thiết khi chia f x 

cho x  được phần dư bằng 2019 , chia 2 f x  cho x  được2

1

ln 2.

Lời giải Chọn D

Do đó  1 1

ln 2

.Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x  là 0 1 ln 21 .

Câu 27 [1D5-2.2-1] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Cho hàm số

1

2 3

x y x





 có đồ thị  C

Phươngtrình tiếp tuyến của đồ thị  C

tại tiếp điểm có hoành độ bằng 1 là:

D   

 



Gọi M x y 0; 0 là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm.

Theo đề bài ta có x  Vì 0 1 M C

nên

0 0 0

12

x y x





tạiđiểm có hoành độ x  là1

có dạng: yf x  0 x x 0y0

 1

Ta có  

22.1 1

x y



5

y x

 



số góc k của tiếp tuyến với  C

tại điểm có hoành độ bằng 1

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 là k y 1  1

Câu 31 [1D5-2.2-1] (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Cho hàm số

32

x y x





 có đồ thị  H

Gọi đườngthẳng   : y ax b  là tiếp tuyến của  H

tại giao điểm của  H

với trục Ox Khi đó a bbằng

A

1049

Tác giả: Hoàng Vũ ; Fb: Hoàng Vũ

GV phản biện: Nguyễn Thu Hương ; Fb: Hương Nguyễn

Câu 32 [1D5-2.2-1] (Lý Nhân Tông) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

32

x y x





 tại điểm cóhoành độ bằng 1 là

529

Vậy phương trình tiếp tuyến là: y5x1 4 y5x  1

Câu 33 [1D5-2.2-1] (Hùng Vương Bình Phước) Phương trình tiếp tuyến của đường cong

x y x

2

y x

C

32

2

y x

D

32

2

y x

Lời giải

Tác giả:Tạ Thị Bích Phượng ; Fb: Bích Phượng

Chọn B

Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là nghiệm của hệ

0

0.4

22

x

x x

y y

y x





 Suy ra ' 0 6 3

4 2

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

42

x y x

x y x

Phương trình tiếp tuyến với  C

tại tiếp điểm

x y x





 Tiếp tuyếncủa đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 2 là:

113

y x

Lời giải Chọn B

Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 2, khi đó A2;1

Vì  2

31

y x

 

 nên  2 1

3

.Phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1 1 2

Câu 39 [1D5-2.2-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Đường thẳng y ax b tiếp xúc

với đồ thị hàm số y x 32x2 x 2 tại điểm M1;0

Chọn C

Ta có : yx32x2 x 2 y3x24x 1 y' 1 6

.Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 32x2 x2 tại điểm M1;0

là6

Câu 41. Đường thẳng y ax b tiếp xúc với đồ thị hàm số  y x 33x23x2 tại điểm là giao điểm

của đồ thị với trục hoành Khi đó, 2 a b là

Ghi nhớ:Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C : y f x 

tại điểm Mx ;0 y0

có dạng: yf x'  0 x x 0 f x 0

Câu 42 [1D5-2.2-2] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

21

x y x





tại giao điểm của đồ thị với trục tung?

x y x

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm A1; 3 

là:

  0 0  0

yf x x x  f x  y4.x1  3  y4x1

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y4x 1

Câu 44 [1D5-2.2-2] (Lê Xoay lần1) (Lê Xoay lần1) Cho hàm số y x 3 3x có đồ thị 1  C

Tiếp tuyến với  C tại giao điểm của  C với trục tung có phương trình là

cắt trục tung tại điểm A0;1

y x  x  y x   y 

Phương trình tiếp tuyến của  C tại A0;1 : y 1 3x y3x1.

Câu 45 [1D5-2.2-2] (KIM-LIÊN 11 hk2 -2017-2018) Cho hàm số y x 4 3x24 có đồ thị  C .

Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M1;2

Câu 46 [1D5-2.2-3] (HSG Bắc Ninh) Cho hàm số yf x 

xác định và có đạo hàm trên  thỏa mãn

(1)(1) 1 2 1

Tác giả: Tạ Trung Kiên; Fb: TrungKienTa

Chọn D

y x x  y x

Đồ thị hàm số y x x ln cắt đường thẳng d x   tại điểm : 1 0 M1;0

Phương trình tiếp tuyến tại M1;0 là: yf  1 x1 0 y x 1 x y   1 0

Câu 49 [1D5-2.2-4] (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho hàm số yf x 





 với a  0

Khi đó

   0

   0

Ta có 0      

3lim



Câu 50 [1D5-2.3-2] (Văn Giang Hưng Yên) Cho hàm số

2 11

x y x

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M2;5

là k y 2  3

Tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M2;5







x y x

Câu 55 [1D5-2.3-2] (KIM-LIÊN 11 hk2 -2017-2018) 1) Cho hàm số

2 52

x y x





 có đồ thị  C Viếtphương trình tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng x y  2 0

Câu 56 [1D5-2.1-3] (KIM-LIÊN 11 hk2 -2017-2018) 2) Cho hàm số    

2

y x

59

12

x x

x x

x y x







 C

, biết tiếp tuyến của đồ thị  C

tại M song song với đường thẳng y4x 3

là tiếp điểm x 0 1

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y4x 3 nên

 x012  1

0 0

02

x x

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị  C và song song với đường thẳng d.

Gọi M x y 0; 0 là tọa độ tiếp điểm của  C và đường thẳng d.

Vì d song song d nên f x( ) 80   x02 4x0 3 8

235

3131

3

83

3

83

y x

(nhận)

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến

Câu 59 [1D5-2.4-2] (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3 2 2 1

yx  x  tại điểm (1;0)M

A y2x 3 B yx 1 C y2x 3 D y3x2.

Lời giải

Tác giả:Phạm Hoàng Hải; Fb:phamhoang.hai.900

Chọn B

Hàm số yf x( )x3 2x2  có 1 f x'( ) 3 x2  4x

Phương trình tiếp tuyến của hàm số yx3 2x2 tại (1;0)1 M có dạng:

2'( M).( M) M (3.1 4.1).( 1) 0 1

yf x x x y   x  x

Câu 60 [1D5-2.4-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Có bao nhiêu

tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 3 3x2 đi qua điểm 2 A3;2 ?

03

x x

Vậy có 2 tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua A3;2

2( 1)

0

11

x x y

x  

Phương trình tiếp tuyến y3x

Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua M ( 1;3), có hệ số góc k , khi đó phương trình d có dạng:

2

(2)( 1)

k x x

k x

x   k 

Phương trình tiếp tuyến y3x

Câu 62 [1D5-2.4-3] (Sở Phú Thọ)Cho hàm số y x 3 3x2 có đồ thị 2  C và điểm M m  ; 2 Gọi

S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến  C .Tổng tất cả các phần tử của S bằng

Yêu cầu bài toán tương đương phương trình (*) có nghiệm kép khác 2 hoặc phương trình (*)

có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 2

5

32

m m m m m

m m m

1; ;23

x y x

0 0 2

0 0

13

22

x

x x

0 0

13

1

22

x

m x

x x

m m m m

m m

Vậy từ M0;m

kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị  C

khi và chỉ khi phương trình  *

có 4 nghiệmphân biệt khác 1

m m

P

m S

Vậy từ những điểm M0;mvới 0m13 kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị  C của hàm số đã cho.

Câu 65 [1D5-2.4-4] ( Sở Phú Thọ) Cho hàm số y x 3 3x2 có đồ thị 2  C và điểm M m  ; 2

kẻ được đúng hai tiếp tuyến ∆ đến  C

khi phương trình (1) có nghiệm kép khác 2 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 2

+) TH1: Phương trình  1

có nghiệm kép khác 2

022

b a

m m m

m m

giao điểm của  C

với trục Ox Hệ số góc của tiếp tuyến của  C

tại A bằng

14

y x

 

 Phương trình hoành độ giao điểm của  C với Ox là:

là tiếp điểm của đồ thị  C

với tiếp tuyến song song trục hoành.Vì tiếp tuyếnsong song với trục hoành nên có hệ số góc bằng 0 Ta có:

 

0 3

Với x0 0 y0 0, thì phương trình tiếp tuyến là y0 (loại).

Với x0  2  y0 8, thì phương trình tiếp tuyến là y8.

Vậy có một tiếp tuyến của đồ thị  C

song song với trục hoành

Câu 68 [1D5-2.5-3] (Sở Quảng Ninh Lần1) Cho hàm số

22

x y x



 , có đồ thị (C) và điểm

0 0(x ; y ) (C)

M  (với x  ) Biết rằng khoảng cách từ 0 0 I ( 2;2) đến tiếp tuyến của (C) tại M

là lớn nhất, mệnh đề nào sau đây đúng?

y 

 ,

0 0 0

2(x ; )

2

x M

04

x x

Câu 70 PT 34.1 [1D5-2.5-3] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Cho

tiếp tuyến của các đồ thị hàm số

 lần lượt tạo với chiều

dương của trục Ox các góc 60 ,60 ,30 Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?0 0 0

cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt A ,B,C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với ( C )

{ Δ> 0 ¿ ¿ ¿ ¿ Khi đó d và ( C ) cắt nhau tại ba điểm

phân biệt A(1;m+2), B(x1; x1+m+1), C(x2; x2+m+1) với x1;x2 là nghiệm của phương

ê ë

=-Câu 72 [1D5-2.5-4] (THTT số 3) Trên parabol  P y x:  21 lấy hai điểm A1; 2

Bổ đề: Cho parabol  P

và A , B là hai điểm cố định phân biệt trên  P

Gọi M là điểm trên cung AB của  P

, M không trùng với A , B Diện tích tam giác MAB lớn nhất khi M là

tiếp điểm của tiếp tuyến với  P

song song với đường thẳng AB

Chứng minh

Ta thấy tiếp tuyến với  P

tại mỗi điểm thuộc  P

chia mặt phẳng thành hai phần trong đómột phần chứa đồ thị  P

và một phần không chứa điểm nào của  P

với bờ là đường tiếptuyến đó

Gọi  là tiếp tuyến với đồ thị  P

song song với AB tại điểm điểm M thuộc AB Khi đó0diện tích tam giác M AB là 0 0  0 

1

, 2

M

S  d M AB AB

.Lấy điểm N khác với điểm M thuộc cung AB , khi đó ta thấy 0 d N AB , d M AB 0,  nêndiện tích tam giác NAB là    0  0

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P

và cung AB , khi đó ta có S1S2  S S MAB

Do S không đổi nên S1S2 nhỏ nhất khi S MAB lớn nhất.

Theo bổ đề trên thì S MAB lớn nhất khi M là tiếp điểm của tiếp tuyến với  P

song song với

Câu 73 [1D5-2.6-1] (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Một vật chuyển động có phương

3

M  

  B M  2;0. C

42;

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị  C tại M : y a( )a21

Mà tiếp tuyến của đồ thị  C tại M vuông góc với đường thẳng

Ta có v t  s t  2t33t

.Khi đó, vận tốc tức thời tại thời điểm t 4 là: v 4 2 4. 33 4 140 m/s. 

Câu 77 [1D5-2.6-2] (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Một vật

chuyển động theo quy luật

2

v t s t  t  t

Khi đó, vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t 10 (giây)là:

23(10) 10 24.10 90 m/s

A Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t  0

B Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t  là 4 a18 /m s2

C Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t  là 2 v18 /m s

D Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t  0

Lời giải

Tác giả: Mai Quỳnh Vân; Fb: Vân Mai

Chọn B

Ta có vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t lần lượt là:

nên loại phương án D

Câu 79 [1D5-2.6-2] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Một chất

điểm chuyển động thẳng quãng đường được xác định bởi phương trình s t 3 3t2  5 trong đóquãng đường s tính bằng mét  m

, thời gian t tính bằng giây  s

Khi đó gia tốc tức thời củachuyển động tại giây thứ 10 là

v t s t  t  t; a t( )v t( ) 6 t 6

Gia tốc chuyển động tại giây thứ 10 là a(10)v(10) 6.10 6 54 ( / )   m s2

Câu 80 [1D5-2.6-3] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Cho chuyển động thẳng xác định

bởi phương trình s t  2t3 3t24t

, trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng

mét Vận tốc tức thời tại thời điểm gia tốc bằng 0 là

Câu 81. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s t   t3 3t29t  , trong đó t được tính3

bằng giây và s được tính bằng mét Vận tốc tức thời tại thời điểm gia tốc bằng 0 là

A.5 /m s B 4 /m s C 6 /m s D 8 /m s

Câu 82. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s t   t3 6t214t  , trong đó t được2

tính bằng giây và s được tính bằng mét Vận tốc tức thời tại thời điểm gia tốc bằng 0 là

Tại thời điểm gia tốc triệt tiêu thì vận tốc :

 3 32 6.3 36 27 / 