Bài tập Bất đẳng thức

M là điểm bất kỳ trong tam giác ABC... Bất đẳng thức khác 1.[r]

BẤT ĐẲNG THỨC

I Biến đổi tương đương

1 CMR: x y, ta có : x2 2y2 2xy 6y10

2 CMR:  a 2 ta có: 2 1 33

a a  a

3 CMR: a2 b2  4 ab2a b 

4 CMR: a b c   ab  bc  ca; a0,b0,c0

5 a b c, , CMR: a) a2 b2c2 ab bc ca 

b)  2  

3

ab bc ca   abc a b c 

6 Cho 0 x y z   CMR: y 1 1 1x z x z 1 1

7 CMR: a2  a 1 a2     Aa 1 2, a

8 a b c d e, , , , hãy CMR: a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e    

9 CMR: a 0,b0 thì a b a b

b  a   10.CMR: a b, ta có



11 a b c, , là ba cạnh của một tam giác CMR:

a a2 b2 c2 2ab bc ca   b  2  2  2 3 3 3

a b c b c a c a b a b c

c a b c a c b 1

b      c a c b a

12 Các cạnh của tam giác ABC có tính chất a b c 

CMR: a b3 2 c2 b c3 2 a2 c a3 2 b20

13 Tam giác ABC có tính chất a b c  CMR:  2

9

a b c   bc

14 Tam giác ABC có A B C  Hãy CMR: a b c b a c

b c a a c b

h  h  h h  h h

15 Cho a b c d   0hãy CMR:

a 2 2 2  2 b

a b c d  a b c d  

16 Cho các số dương a b c d, , , hãy CMR:

a b c b c d c d a d a b

a b c b c d c d a d a b

17 a b c, , là ba cạnh của một tam giác CMR: 1 a b c 2

b c c a a b

18 a Cho ab1 hãy CMR: 1 2 1 2 2

1 a 1 b 1 ab

b Cho a1,b1,c1 hãy CMR: 1 3 1 3 1 3 3

1 a 1 b 1 c 1 abc

19 Cho a, b, c dương CMR:

a ab b b bc c c ca a

 

20.a CMR:

b CMR:



21 a Cho kA ,k 2 hãy CMR: 13 1 1

1

k  k k



b CMR: 13 13 13 13 2

1  2 3  n 

22 CMR: a) x2 2y2 2xy y   1 0; x y,

b)  2 22  2

x y  xy x y x y

23 Cho x y, 0; y y 2  1 x x2  1 0 Hãy CMR: x2 y2 1

24 Cho x y z, , thỏa mãn x y z  1 Hãy CMR: x4  y4z4 xyz

II Bất đẳng thức Côsi

1 Tìm GTNN của hàm số

a   1 1 với ; b với ;

2

f x x

x

  

 2

1 2

1

f x x

x

2 Tìm max của A 3 x4 y2x3yvới 0 x 3;0 y 4

3 Cho p0;q0 CMR: p2q2p q 16pq

4 Cho a b c, , 0 CMR: a a b b c c a     8abc

b ab a b  bc b c   ca c a  6abc

x y

6 Tìm min của

2 2

2

1

a

x



7 Tìm tập giá trị của hàm số y x 1

x

 

8 Cho a b c, , 0 CMR:

2

ab bc ca a b c

a b b c c a

 

9 a b c, , CMR: a21b2 b2 1c2 c2 1a26abc

10 Cho a 0 CMR: 3 a2 3 a  1 a

11 Cho a 1,b1 CMR: a b 1 b a 1 ab

12 Cho xyz0 CMR: 12 12 12 2 92 2

x  y  z  x y z

13 Cho x y z, , 0 CMR: xy 3 yz 5 zx 3x2y4z

Lop10.com

14 Cho c2,a3,b4 Tìm max của A ab c 2 bc a 3 ca b 4

abc



15 Cho a b c, , 0 CMR: a a b b c c a 6 b

a b c

c   1 1 1 9 d

2

a b c

a b b c c a

3 2

b c c a a b 

16 Cho x y z, , 0;x y z  1 CMR: 18

2

xyz

xy yz zx

xyz



17 Cho a b c, , 0 CMR: 3 13 3 31 3 31 1

a b abc b c abc c a abc  abc

18 Cho a b c, , 0 CMR: 2 1 2 1 2 1

2

a b c

a bc b ca c ab abc

 

19 Cho a b c, , 0 và a2 b2 c2 1 CMR: 2 2 2 2 2 2 3 3

2

b c c a  a b 

20 a b c, , là ba cạnh của một tam giác CMR:

a 3 2 b

36

S  a b c  p a p b p c      abc8

c a b c b c a c a b        abc d R2r

e 1 1 1 2 1 1 1 f

b c a c a b  a b c 

4r  a b c ab a b  2cbc b c  2aca c a  2b0

a b c  S  b c  c a  a b

21 CMR 0; ta có:

2

x   

   cosxsinx t anx cotx  sinx1 cos1x 6

22 CMR tam giác ABC đều nếu : 2

9

ab bc ca 

23 Cho a 0,b0 CMR: 3a3 7b39ab2

24 a b c, ,  0;1 CMR ít nhất một trong ba BĐT sau là sai:

1  1; 1  1; 1  1

25 a Cho a b c, , 0 và 1 1 1 2 CMR:

1 a 1 b 1 c 

b Cho a b c d, , , 0 và 1 1 1 1 3 CMR:

1 a 1 b1 c 1 d 

1 81

abcd 

26 Cho a b c, , 0 CMR:      3

3

27 Cho a b c, , 0 và 1 Tìm min của

8

1 2 0, 1 1 1, 2 2 2

x x  x z  y x z  y     2

x x z z  y  y

29.a CMR:   

1

b Cho x0,y0 Tìm max, min của   

  2 2

1

P



30 Cho a b c, , 0 CMR: a33 b33 c33 a b c

b  c  a   b c a

31 Mọi tam giác ABC hãy CMR: 3S 2R2sin3Asin3Bsin3C

32 Tam giác ABC có R1 CMR: sin sin sin 3

33 Cho x y z, , 0 và x y z  3

x  y  z   x  y  z

34 Cho x y z, , 0 CMR: 32 x2 23 y2 32 z2 12 12 12

x y  y z  z x  x  y  z

35 Cho a b c, , 0 CMR: a3 b3 c3 2 2 2

a b c

b  c  a   

36 Cho a b c d, , , 0 CMR: a52 b52 c25 d52 13 13 13 13

b c  d  a a b c  d

HD:

b b b a a b

37 Ba số x y z, , 0 và xyz1; CMR: 1 1 1 *

3;

n

38 CMR: a a1, , , , , , ,2 a b b n 1 2 b n 0 ta có :

n 1 2 n 1 2 n  1 1 2 2  

a a a  b b b  a b a b a b

39 Tam giác ABC nhọn có các đường cao AA BB CC1, 1, 1 và trực tâm H

CMR:

6

A H  B H C H 

40 Cho x y z, , 0 và 3 Tìm min của

2

x y z

     

41 Xét PT: 2 1 có các nghiệm Hãy tìm min của

2

x a x  x x1, 2

 2 2

1 2

x x

42 x, y thỏa mãn các pt: x2 2 a x 9 0,a3  y2 2by 9 0,b3 Tìm min của biểu thức  2 1 1 2

3

x y

Lop10.com

43 Cho HPT: Tìm m để hệ có nghiệm x, y, z dương

1 9

x y z

xy yz zx m xyz m

  



   





44 Giả sử x x1, 2 là các nghiệm của pt a x 2 bx c 0, 1  và y y1, 2 là các nghiệm của pt

CMR:

x x  y  y 

45 Cho x y z, , dương và xyz1 CMR: 1 x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 3 3

b c c a  a b 

47 Cho x y z, , dương và 1 1 1 4 CMR:

2x y z  x 2y z  x y 2z 

48 Cho a b c, , dương và 3 CMR:

4

a b c   3 a3b  3 b3c 3 c3a 3

49 Cho a b c, , dương CMR: a1b1a c b c   16abc

50 Cho a b c, , dương CMR: 1 2 2 2 1 1 1

2

a b c a b b c c a

a b c

51 Cho x y z, , dương và xyz1.Tìm min của

P

53 Cho x y z, , dương và x y z  1 CMR: 2 2 2

82

54 Cho x y z, , dương Tìm min của

55 Tam giác ABC có diện tích bằng CMR: 3

2

3

a b c

56 Cho x y z, , dương và xyz1 CMR: 2 2 2 3

y  z  x 

57 Cho x y z, , dương CMR: 4 4 4  

3 3 3 1

2

x y z

y z  z x  x y   

58 Các số dương x, y thay đổi thỏa mãn đk: x y 1 Tìm min của

P

III Bất đẳng thức Bunhia

1 Cho a b c, , dương và a b c  1 CMR: a b  b c  c a  6

2 Các số a, b thỏa mãn đk: 2a3b 5 CMR: 2a2 3b2 5

3 x y z, , thỏa mãn x2 y2 z2 1 CMR: x2y3z  14

4 Cho x, y thỏa mãn đk: 5x7y20 a Tìm max của P xy

b Tìm min của Q x 2  y2; R5x2 7y2

5.GPT:a x 2 4 x x2 6x11 b 2x 3 5 2 x x 2 4x 6 0

6 Cho x2 y2 u2 v2 1 CMR: u x 2 v x y  2

7 Cho abc0 CMR: a22 b22 c22 a b c

b c a   b c a

8 Cho a, b là hai hằng số dương x, y là hai biến số dương thỏa mãn đk: a b 1

x  y Tìm min của P x y 

9 Cho a b 2 CMR: a4 b4 2

10 Cho x y z, , thỏa mãn đk: xy yz zx  4 Tìm min của P x 4 y4 x4

11 Cho x y z, , thỏa mãn đk: x2 y2 z2 1 CMR: 1 1

2 xy yz zx

12 Cho x0,y0,x2  y2 1 Tìm max, min của y 1 2 x  1 2 y

13 Biết 36x2 16y2 9 Tìm max, min của A y 2x5

14 Phân tích số 16 thành tổng của hai số dương sao cho tổng các bình phương của chúng

là bé nhất

15 CMR nếu pt:   2  2 2 2 có nghiệm thì

x a  y b  x y c  2 2

3

a b  c

16 Cho 4 sô x y z t, , , thỏa mãn đk: 2 2 2 20

1

x y z t

   



    



Tìm max, min của P xy yz zt tx   

17 a b c, , là ba cạnh của một tam giác CMR: a p  p a  p b  p c  3p

b a2 b2 c2 4S 3 c a4 b4 c4 16S2

18 Trong tam giác ABC CMR: nếu a2 b2 c2 thì 0,4 0,5

c

r h

19 M là điểm bất kỳ trong tam giác ABC Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M đến các cạnh BC, CA, AB

CMR:

2 2 2

2

R

20 Cho a b c, , dương và ab bc ca abc  

CMR:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3

21 GHPT:

4 4 4

1

x y z





22 GPT: a x x 1 3 x 2 x2 1 b  2

x   x x  x

IV Bất đẳng thức khác

1 Cho x2  y 21 Tìm max, min của  2 

2

P

xy y





2 Cho xy 0;x y xy x   2  y2 xy Tìm max của A 13 13

x y

3 Cho y0,x2   x y 12 Tìm max, min của A xy x  2y17

4 Cho x2  y2 2 Tìm max, min của P2x3 y33xy