Bài tập bất đẳng thức
****@***
Bài 1
Chứng minh rằng ∀a,b,c > 0; m,n∈N: 2(am+n +bm+n)≥(am + bm)((an + bn)
Bài 2 (BK 00)
Cho a, b thoả mãn a+b≥0 Chứng minh rằng: 3 3 ) 3
2
( 2
b a b
Bài 3
Chứng minh rằng ∀a,b,c > 0:
3
2 2
3 2
2
3 2
2
a ca c
c c
bc b
b b
ab a
+ +
+ + +
+ + +
Bài 4
a ac
c a c cb
b c b ab
a b
+ +
≤ +
− + +
− + +
−
2
3 3 2
3 3 2
3 3
3
5 3
5 3 5
Bài 5 (Đề 127 II 1 )
Cho a,b,c>0 vàa1+1c =b2 Chứng minh rằng: 4
2
−
+ +
−
+
b c
b c b a
b a
Bài 6
Cho a,b,c ∈(0;1) Chứng minh rằng: a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)<1
Bài 7 (Đề 106)
Cho a,b,c ∈ [0;1] Chứng minh rằng: a2 + b2 +c2 ≤1+a2b+b2c+c2a
Bài 8
Cho a,b,c∈[0;1] Chứng minh rằng: a+b2 + c3 –ab-bc-ca≤1
Bài 9 (AN-99)
Chứng minh rằng ∀x,y,z∈[0;1] thì: 2(x3+y3+z3)-(x2y+y2z+z2x)≤3
Bài 10
Cho 0≤x,y,z≤1 và xyz=(1-x)(1-y)(1-z) Chứng minh rằng;
x(1-z)+y(1-x)+z(1-y)≥43
Trang 2Bài tập bất đẳng thức (2)
****@***
Bài 1
Cho x,y >0 Chứng minh rằng: ( + 1 )( 1 + )( 1 + 9 ) 2 ≥ 256
y x
y x
Bài 2 Cho x,y,z >0 Chứng minh rằng: 1 12 1 12 1 12 +4( +9 + )≥73
+
+ +
+ +
z y x zx yz
xy
Bài 3(Y-HP-01)
Cho x,y,z∈[0;1] Chứng minh rằng 2
1 1
+
+ +
+
z zx
y yz x
Bài 4
Chứng minh rằng ∀x,y ta có: x2+5y2-4xy+2x-6y+3>0
Bài 5
Cho x,y >0 và thoả mãn x2+y3≥x3+y4 Chứng minh rằng: x3+y3≤x2+y2≤x+y≤1 Bài 6 (NN1-99)
Chứng minh rằng ∀a,b ta có: a a b b ≤ +a a++b b
+ +
+
1 1
Bài 7
Cho a,b,c thoả mãn: (a+c)(a+b+c) <0 Chứng minh rằng; 4a(a+b+c)<(b-c)2+.
Bài 8
Chứng minh rằng ∀x,y,z>0 thì x2 +xy+y2 + y2 +yz+z2 + z2 +zx+x2 ≥ 3 (x+y+z)
Bài 9
Chứng minh rằng với a,b,c>0 thì ab bc ca
a
c c
b b
a
+ +
≥ +
3
Bài 10 Cho x,y,z>0 và xy+yz+zx=xyz Chứng minh rằng
16
3 3 2
1 3
2
1 3
2
1
<
+ +
+ + +
+
+
x
Bài 11
Cho x,y,z>0 và xy+yz+zx≤xyz Chứng minh rằng 9
2 2
2
2 2
2
≥ +
+ +
+
x z y z
z y x y
y x
Bài 12
Cho x,y,z>0 Chứng minh rằng: x+y+z+3(4 + ) ≥ 9
xyz y x
Trang 3Bµi 13
2
1 3 3 3 4
4 4
z y x y x
z x z
y z y
x
+ +
≥ +
+ +
+ +
Bµi 14
Cho x,y,z>0 vµ xyz=1 Chøng minh r»ng: 1 2 1 2 1 2 ≥23
+
+ +
+
z z
y y x
Bµi 15
Cho x,y,z>0 Chøng minh r»ng: ( ) ( ) ( )2 4
4 2
4 2
y x x
z x
z z
y z
y y
+
+ +
+ +
Bµi 16
Cho a,b,c>0 Chøng minh r»ng
1)
a
c c
b b
a a
c
c
b
b
a
+ +
≥ +
+ 22 22
2
2
2)
a
c c
b b
a a
c
c
b
b
a
+ +
≥ +
+ 33 33
3
3
Bµi 17
Cho x,y,z>0 vµ tho¶ m·n: 2
1
1 1
1 1
1
≥ +
+ +
+ +x y z Chøng minh r»ng: xyz≤81 Bµi 18 (HVBC 98)
Cho a,b≥1 Chøng minh r»ng: a b− 1 +b a− 1 ≤ab
Bµi 19
Cho x,y,z>0 , chøng minh r»ng:
1 ) )(
( )
)(
( )
)(
+ + +
+ + + +
+ + +
z z
y x y y
y z
x
y
x
x
x
Bµi 20
Cho x,y,z>0 vµ xyz=1 Chøng minh r»ng: 5 2 2 0
2 5 2 2 5
2 5 2 2 5
2 5
≥ + +
− + + +
− + + +
−
x y z
z z z x y
y y z y x x x
Trang 4Bµi 1
Cho a,b,c >0 vµ abc=1 T×m GTLN cña M=
3 2
1 3
2
1 3
2
1
2 2 2
2 2
a
Bµi 2 (XD- 01)
Cho x,y,z∈[0;1] vµ tho¶ m·n x+y+z=
2 3
T×m GTNNcña M=cos(x2+y2+z2)