Tài liệu Hướng dẫn giải bài tập bất đẳng thức Max Min ppt

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức... Chứng minh rằng... Chứng minh rằng:... Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 59.

HD:Ta có:

2 2

) ( 2

) ( 2

2 )

2

y x y x x y x

y x x y x

xy x

y x

xy y x x y x

2

2 2

zx z z y

yz y y

1

:

m x

3 3 22 2

2 2/.

HD:

2 c a 2 c

c

; bc 9

4 c 9

2 b c 2 b

b

3 2 3

bc c

c a

b c

a c b

c b a

b a

b a

c c

a a

b b

a

P2     

c

a b

a a

c b a

c c

a a

a a

c b

bc

bc bc bc

c b a

Do đó hàm số nghịch biến trên nữa khoảng  0;10 , suy ra f x( ) f(10)58.

Suy ra giá trị nhỏ nhất của Q bằng 58 khi a=2, b=3, c=5

6.2/.

HD:

7.

HD:

HD:

11.

HD:

HD:

13. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x yz3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1

1 2

2

2

2 2

2 2

2 2

3 3

3

x zx z z yz y y xy x z y

z yz z

y xy y

Suy ra 23 23 23 3 3 3 3

zx yz xy z

y

Suy ra 3 3 3 3 2 1 2 2 1 2 2 1 2.

x zx z z yz y y xy x zx yz xy

yz y yz y

xy x xy zx yz xy

Do đó P  9 Dấu đẳng thức xảy ra khi x y z1.Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9, đạt được khi x yz1

14.Cho ba số thực x y z , ,    1;3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 36x 2y z

24.Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh rằng

Chú ý rằng, với hai số dương a, b áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 2 2 2

) ( a b b

a    , (*)dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b

2 2

)3(

8)

12(

1)

1(

x

2 ( 3)

8)

121(

x

2

2 (2 2 10)

4.64)

322(

y x

.1)106(

4.64

HD: Ta có:

2

153

.4

93

1.4

931114

34

14

14

11

11

c b a c

c b

b a

a c b a c b a

côsi côsi

Dấu xãy ra khi

34.Cho ba số thực dương a b c, , Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 a 2 b 2 c

Suy ra: 2 2

2

x T

  .Dấu bằng xảy ra khi x  y z 1hay a   b c.

Vậy max T  3 khi a   b c

35.

HD:

36.

HD:

39.

HD:C1:

C2:

40.

HD:C1:

C2:

42.Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:

2/.Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a    b c 1.

a b

Do a,b,c dương và a+b+c =1 nên a, b, c  0;1  1 a;1b;1c dương

Áp dụng bđt Cô si cho 3 số dương ta được: VT

2

f t   t

HD:

49 1/.

HD:1/

51 1/

HD:

2/.

HD:

52 1/

HD:

2/.

HD:

HD:

2/.

HD:

54.1/Cho cỏc số thực dương a, b, c thoả món ab  bc  ca  abc Chứng minh rằng:

) (

)

4 4 3

3

4 4 3

3

4 4

a c c

b bc

c b b

a ab

b a

HD: Cho các số thực d- ơng a, b, c thoả mãnab  bc  ca  abc Chứng minh rằng:

) (

)

4 4 3

3

4 4 3

a c c

b bc

c b b

b a b

3 3

4

4

.T- ơng tự cho các bất đẳng thức còn lại, suy ra đpcm

2/. Cho hai số thực dương x, y thỏa món: x2  y2  1

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P =   1   1

t

t    x y xy     t

;Cú:

+ 

P

P '

t

       Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a    b c 2

57 1/ Cho x, y, z là các số dương thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Vậy MaxP = khi x = y = z =

2/. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 2

2 0 0 9

Vậy minP= Xaỷ ra khi a=b=c=1 hay x=y=z

58 1/Cho x, y, z thoả mãn x + y + z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

59 1/ Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  1; y  1 và 3  x  y   4 xy

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 3 3

9

34

23

(

3)(

3)(

)(

3)

(

3

2

2 2 2

z y x z

y x

z y x z y x zx yz xy

Từ giả thiết xy yzzx3 và x, y, z0 ta có(x yz)2 3(xy yzzx)9

Suy ra x yz3.Do đó A3 Dấu đẳng thức xảy ra khi x y z1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3, đạt được khi x y z1

2/ Cho a b c, , 0 thỏa mãn 2 ab  5 bc  6 ca  6 abc Tìm giá trị nhỏ nhất của

a b c