bài tập bất đẳng thức

Chuyên đề: BÀI BẤT ĐẲNG THỨC 1... Cho n,k là các số nguyên dương.. Chøng minh r»ng:... Cho a,b,c là ba số thực dương.

Chuyên đề: BÀI BẤT ĐẲNG THỨC

1 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh: 3

2

b c c a a b

2 Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: 2x + y2 +z2 =3

Chứng minh : xy + yz + zx ≥ 3

z x y

3 Cho x, y, z >0 thoả x y z+ + =1 Chứng minh: 1 4 9

36 + + ≥

x y z

4 Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh: xyz≥(x+ −y z y z x z)( + − )( + −x y)

5 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1

Chứng minh : 1 1 1

 − +  − +  − +  ≤

 a b  b c  c a 

6 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1

Chứng minh : 3 1 3 1 3 1 3

( ) + ( ) + ( ) ≥ 2

a b c b c a c a b

7 Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: xyz x y z = + + + 2

Chứng minh : 3

2

x y z xyz

8 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a 2 +b 2 +1≥ ab+a+b

b) a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2≥ a(b+c+d+e)

c) a 3 +b 3≥ ab(a+b)

d) a 4 +b 4≥ a 3 b+ab 3

9 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) (a+b+c) 2 ≥ 3(ab+bc+ca)

b) a 2 (1+b 2 )+b 2 (1+c 2 )+c 2 (1+a 2 )≥ 6abc

10 a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2

Chứng minh rằng: a 4 +b 4≥ a 3 +b 3

b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3

Chứng minh rằng: a 4 +b 4 +c 4≥ a 3 +b 3 + c 3

11.Cho a,b,c là các số dương,

Chứng minh rằng:

1 a b c 2

a b b c a c

< + + <

12 Cho 4 số dương a,b, c Chứng minh :

1 a b c d 2

a b c b c d c d a d a b

13 Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì:

a) bc ac ab a b c

a + b + c ≥ + +

b) ab bc ca a b c

a b b c c a 2

+ +

c)

3 3 3

a b c

ab bc ca

b + c + a ≥ + +

14.Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì:

a)

2 2

2 2

b + a ≥ + b a

b)

a b c

a b c

b + c + a ≥ + +

c)

b c c a a b 2

+ +

15 Cho , ,x y z>0 và xyz=1 Chứng minh:

(1 )(1 ) (1 + )(1 ) (1 + )(1 ) ≥ 4

16 Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa ab bc cd da + + + = 1 Chứng minh:

3

b c d c d a a b d a b c

17 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh:

1 1 1 27 2

( ) + ( ) + ( ) ≥ 2( )

a a b b b c c c a a b c d

18 Cho ba số dương x, y, z thỏa x2+ y2+ z2 = 3. Chứng minh: xy + yz + zx ≥ 3

z x y

19 Cho các số dương x, y, x thỏa xyz = 1 Chứng minh:

5 5 + 5 5 + 5 5 ≤ 1

x xy y y yz z z zx x

20 Cho a b c , , > 0. Chứng minh:

4 4 14 + 4 4 14 + 4 4 14 + 4 4 14 ≤ 1

a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd abcd

21 Cho x, y, z là cỏc số dương Chứng minh:

3

 +   +  +  ≥ + + +

22 Cho ba số dương x ,y, z Chứng minh:

+ + ≥ + +

x y z

x y z

yz zx zx

23.Cho ba số dương a, b, c Chứng minh a2+ b2+ c2≥ 2( ab ac + )

24.Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c = 3 Chứng minh:

2 2 2 3

2

25 Chứng minh rằng :

a)

2

+  + 

≥   ữ  ;

b)

2

≥   ữ 

26 Chứng minh ∀m,n,p,q ta đều có

m2 + n2 + p2 + q2 +1≥ m(n + p + q + 1)

27 Cho a, b, c, d,e là các số thực,

Chứng minh rằng

a) 2 b2

4

+ ≥

b)a2 + b2+ ≥ 1 ab a b + +

c)a2+ b2+ + c2 d2+ e2 ≥ a b c d e ( + + + )

28 Chứng minh rằng: ( a10+ b10)( a2 + b2) ( ≥ a8 + b8)( a4 + b4)

29 Cho x.y =1 và x.y = 1 Chứng minh

x y

x y

+

− ≥2 2

30 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng

(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc

31 Cho a>b>c>0 và a2 + b2+ c2= 1 Chứng minh rằng:

2

b c a c a b

32 Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( )

a + + + + b c d a b c + + b c d + + d c a + ≥ 10

33 Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng:

(a c) + 2 + + (b d)2 ≤ a2 + b2 + c2 + d2

34 Cho 0 <a,b,c <1 Chøng minh r»ng:

2a3+ 2b3+ 2c3< + 3 a b b c c a2 + 2 + 2

35 Cho a,b,c,d > 0 Chøng minh r»ng

a b c b c d c d a d a b

36 Cho a

b<

c

d vµ b,d > 0 Chøng minh r»ng:

a

b< 2 2

ab cd c

d

b d

+ <

+

37 Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng

1 1 1 1 3

2 < n 1 n 2 + + + n n < 4

38 Chøng minh r»ng:

1 1 1 ( )

+ + + + > + − ( Víi n lµ sè nguyªn dương)

39 Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c,chøng minh r»ng:

a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)

b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)

40 Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c <1

Chøng minh r»ng

2 2 2

9

a 2bc b + 2ac c + 2ab ≥

+ + + (1)

41 Chøng minh r»ng

2 2 2

2

n

1 + 2 + + n < − (∀n∈N;n> 1)

42 Cho n∈N vµ a+b> 0

Chøng minh r»ng

n

a b 2

+

  ≤

n n

a b 2 + (1)

43 Cho abc = 1 vµ 3a > 36 Chøng minh r»ng: a2

3 +b 2 +c 2 > ab + bc + ac

44 Chøng minh r»ng

a) 4x + y4 + z2+ ≥ 1 2x.(xy2 − + + x z 1)

b) 2a + 5b2− 4ab 2a 6b 3 0 + − + >

c) 2a + 2b2 − 2ab 2a 4b 2 0 + − + ≥

45 Cho x > y vµ xy =1 Chøng minh r»ng

( )

2

2 2 2

x y

8

x y

+

≥

−

46 Cho xy ≥ 1 Chøng minh r»ng

1 2 1 2 2

1 xy

1 x + 1 y ≥

+

47 Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1

Chøng minh r»ng 2 2 2 1

a b c

3

48 Cho 0 < a, b,c <1 Chøng minh r»ng:

2a3+ 2b3+ 2c3< + 3 a b b c c a2 + 2 + 2

49 Cho a ,b ,c ,d > 0 Chøng minh r»ng:

2 < + + + + + + + < 3

a b c b c d c d a d a b

50 Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c

Chøng minh r»ng:

1< + + < 2

b c c a a b

51.Chøng minh:

a) 1 1 1 1

1.3 3.5 + + + (2 1).(2 1) < 2

b) 1 1 1

1.2 1.2.3 1.2.3

n

52.Chứng minh rằng: bc ca ab a b c a b c + + ≥ + + ∀ , , > 0

53.Chứng minh rằng:

2 + + ≥ + +2 2 ∀ ≠ 0

54 Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác CMR:

a) ( p a p b p c − ) ( − ) ( − ≤ ) 1 8 abc;

b) 1 1 1 2 1 1 1

55 Cho ∆ ABC, a, b, c là số đo ba cạnh của tam giác

Chứng minh rằng:( b c a c a b a b c + − )( + − )( + − ≤ ) abc

56 Cho a>0, b>0 Chứng minh: 1 3

a b

a b b a

57.Chứng minh rằng:

, , 0 2

+ +

a b b c c a

58 Cho , ,x y z∈(0;1) và xy yz zx+ + =1 Chứng minh:

2 2 2 3 3

2

59 Cho ∆ABC Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c

b c a c a b a b c + − + + − + + − ≥ + +

60.Cho ∆ ABC Chứng minh : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≤ abc

61 Cho ∆ABC Chứng minh :

( )2 ( )2 ( )2 ( ) ( ) ( )

p a p b p c

62 Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 va abc = 1 thì:

1 1 1 1

2 + a + 2 + b + 2 + c ≤

63 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh

3 3 3

2 2 2

64.Cho a>0, b>0, c>0

Chứng minh:

2 + 2 + 2 ≥ + +

65 Cho a>0, b>0, c>0

Chứng minh:

+ + ≥ + +

a b c a b b c c a

66.Cho a>0, b>0, c>0

Chứng minh: 4 4 4 13 13 13

a b c

b b c a b c

67. Cho a>0, b>0, c>0

Chứng minh:

2 2 2

5 + 5 + 5 ≥ 4 + 4 + 4

a b c a b c

b c a b c a

68.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

b + c +a ≥ a +b + c

69.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

1 1 1

b + + c a ≥ + + a b c

70.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

2 2 2

71.Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh

( ) (4 ) (4 )4

b c a c a b a b c

a a b c b b c a c c a b

72.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: a3+ + ≥b3 c3 ab2+bc2+ca2

73.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: a4+ + ≥b4 c4 ab3+bc3+ca3

74.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: a5+ + ≥ b5 c5 a b3 2 + b c3 2 + c a3 2

75.Cho a>0, b>0, c>0 Cho n,k là các số nguyên dương Chứng minh:

n k+ + n k+ + n k+ ≥ n k + n k + n k

a b c a b b c c a

76.Cho a>0, b>0

Chứng minh:

4

4 4

≥  ÷

77.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

2

2 2 2

78.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

n

n n n

79 Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng

2abc c ab a bc b ac 2

80 Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1 Chøng minh r»ng:

1 1 1

1

81 Cho x, y, z là ba số thỏa x + y + z = 0 Chứng minh rằng :

3 4 + +x 3 4 + y + 3 4 + ≥z 6

82 Cho a, b, c là các số thực khơng âm thỏa mãn a b c+ + =1 Chứng minh rằng:

7

2

27

ab bc ca abc .

83 Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5 -x + 5 -y +5 -z = 1 Chứng minh rằng:

84 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

4 4

3

85 Cho a,b,c là ba số thực dương Chứng minh:

( 3 3 3)

2

b c c a a b

86 Cho a,b,c là các sớ dương thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng:

+ + + + + ≥ 3

87 Cho các số thực dương , ,x y z Chứng minh rằng:

3 3 3

2 + 2 + 2 ≥ + +

x y z

x y z

88 Chứng minh rằng với mọi số thực dương , ,a b c thỏa mãn a2+ + =b2 c2 1, ta cĩ:

3

89 Cho a, b, c là c¸c số thực dương thoả m·n abc = 1 Chøng minh r»ng :

3 1 3 1 3 1 3

a b c + b c a + c a b ≥

90 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3.

Chứng minh rằng:

3

+ + +

91 Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng: 23 x2 23 y2 23 z2 12 12 12

92 Cho a, b,c là cỏc số khụng õm Chứng minh rằng

a b c b c a c a b

93 Cho cỏc số dương a b c ab bc ca , , : + + = 3.

Chứng minh rằng: 21 21 21 1

.

1 ( ) 1 + ( ) 1 + ( ) ≤

94 Cho các số thực dơng a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1.

Chứng minh rằng :

2.

95 Cho 3 số dương a,b,c thoả món: ab + bc + ca = abc Chứng minh:

+ + ≥

( 1) ( 1) ( 1) 2

a a b b c c

96 Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng:

32 2 + 23 2 + 32 2 ≤ 12 + 12 + 12

y

97.Cho ba số thực dương a, b, c thỏa món abc = 1 Chứng minh rằng:

+ + ≥

98 Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 2 -x + 2 -y +2 -z = 1.Chứng minh rằng :

4 4 4

99 Cho a, b, c là những số dơng thoả mãn a + b + c = 1

Chứng minh rằng 10a 3b 2009 3

3b 2009c 2009c 10a 10a 3b + + ≥ 2

100 Cho ba số dương x y z , , Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 36

9

+ + ≥

+ + +

x y z x y y z x z

CHÚC CÁC EM ễN TẬP VÀ THI THẤT TỐT !