BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1: Chứng minh các BĐT sau đây với a, b, c > 0 và khi nào đẳng thức xảy ra:
( a b )( ) 4
a b
+ + ≥ c) ( ac b ) 2 ab
c
+ ≥
d) ( a b b c c a + )( + )( + ≥ ) 8 abc e) (1 a )(1 b )(1 c ) 8
+ + + ≥ f) ( a b c ) 3
b c a + + ≥
(a +2)(b +2)(c + ≥2) 16 2.abc h) (2a+1)(3 2 )(+ b ab+ ≥3) 48ab
i) 5 a + 3 b ≥ 88 a b5 3 j) 2 a + + ≥ 3 b c 66 a b c2 3 k) 44 a + 77b ≥ 1111ab
l) ( a b c ab bc ca + + )( + + ) 9 ≥ abc m) 1 1 1
( a b c )( ) 9
a b c
+ + + + ≥ n) ( a2+ b c c a2 + 2 ) 3 ≥ abc
o) ( a b c d + )( + ) + ( a c b d + )( + ) + ( a d b c + )( + ≥ ) 64 abcd
Bài 2: Chứng minh các BĐT sau đây:
a) a b3+ ≥3 a b ab2 + 2 ( , a b ≥ 0) b) a b4+ ≥4 a b ab3 + 3 ( , a b ≥ 0) c) (1 + a2)(1 + b2) (1 ≥ + ab )2 d)
2
2 2
2
a
b c ab ac
+ + ≥ + + e) a2+ + + b2 c2 d2+ ≥ e2 a b c d e ( + + + )
Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
4
b) Nếu a + b ≥ 2 thì a3 + b3 ≤ a4 + b4
c) Nếu a,b,c là 3 cạnh của một tam giác thì:
a3(b2–c2) + b3(c2–a2) +c3(a2–b2) < 0 , với a < b < c
1 x
2 x 2
2
≥ +
+
e) Cho a, b, c > 0 và a + b+c = 1 Chứng minh:
• b+c ≥ 16abc
c
1 1 b
1 1 a
1
+
+
+
f) Nếu a, b,c > 0 thì:
2
c b a b a
c c a
b c b
+
+ +
+ +
g) Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng :
2 + + ≤ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ≤ + +
Bài 4: Chứng minh các BĐT sau đây:
a)
b + c + a ≥ + + b a c b) a b c 1 1 1
bc ca ab + + ≥ + + a b c
Bài 5: Tìm GTLN của hàm số:
a) y = − ( x 3)(7 − x ) với 3 ≤ ≤ x 7 b) y = (3 x + 1)(6 − x ) với 1
6
3 x
− ≤ ≤
c) ( 3)(16 2 )
2
x
f y= x+ − x − ≤ ≤x
Bài 6: Tìm GTNN của hàm số:
3
3
y x
x
= − +
2 8 1
x
− với x > 1
4( 2)
2
x
4
x y x
−
=
− với x > 4
Trang 22 2 e) y = 2x + y – 2xy – 4x;
x
Bài 7:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của:
2 x
1 x x 2
2 +
+
−
b) f(x) = 3sinx + 4 cosx + 2 với x ∈ [00; 1800]
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
B i 1: Gi¶i c¸c phà ¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh sau :
1) x + 6 x + ≤ 9 0; 2) 4 x − 20 x + 25 0; >
3) x − 2 x + = 7 4; 4) x2− + = 8 x 7 2 x − 9; 5) 3 x4+ 5 x2− ≤ 2 0;
6) 2 2 3 − x − − 3 4 x ≥ 0; 3 2
7)
2 1 2
1 B i 2: à Gi¶i hƯ bÊt ph¬ng tr×nh sau: a)
−
−
<
−
−
+
−
>
−
2 1 3 1 1 1
2
1 1 3 1 2
x x
x x x
x x
<
−
− +
−
>
+
3 1 2 5 2 2 2
2
1 3 1
x
x x
x x
B i 3: Gi¶i c¸c bÊt phà ¬ng tr×nh sau: a)
x x x
x 1 + 1 + 1 − 2 ≥ 1 − 1 + 1 ; b)
3 2 2 2
14 2
+ +
≤ +
x x x x
B i 4: Già ải c¸c hệ bpt sau:
2
5
7 )
8 3
2 5 2
a x
x
+ < +
+
< +
;
2 2x -4x 0 b)
2x+1<4x-2
; c)
−
−
<
−
−
+
−
>
−
2 1 3 1 1 1
2
1 1 3 1 2
x x
x x x
x x
;
<
−
− +
−
>
+
3 1
2 2
2
1 3 1
x
x x
x x
;
2 4 0
x e
− >
<
;
2 5 6 0
x x f
x x
− + ≥
<
.
B i 5: Gi¶i hƯ bÊt phà ¬ng tr×nh
a)
−
−
<
−
−
+
−
>
−
2 1 3 1
1
1
2
1 1
3
1
2
x x
x x
x
x x
b)
<
−
− +
−
>
+
3 1
2 2 5
2 2
2
1 3 1
x
x x
x x
B i 6: à Giải hệ bpt sau:
5
7 )
8 3
2 5 2
a
x
x
+ < +
+
< +
2 2x -4x 0 b)
2x+1<4x-2
2 4 0 ) 1 1
x c
− >
<
) 2 3
x x d
− + ≥
<
B i 7: Gi¶i c¸c bÊt phà ¬ng tr×nh sau:
a)
x x
x
x 1 + 1 + 1 − 2 ≥ 1 − 1 + 1 b)
3 2 2 2
14 2
+ +
≤ +
x x
x x
B i 8: Gi¶i c¸c phà ¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh sau :
1) x − 2 x + = 7 4 2) x2− + = 8 x 7 2 x − 9 3)3 x4+ 5 x2 − ≤ 2 0
4) ( x2+ 2 x − 7)(2 x − 3) 5) 2 2 3 − x − − 3 4 x ≥ 0 3 2
6)
2 1 2
B i 9: Gi¶i c¸c bÊt phà ¬ng tr×nh sau:
a) 2x−1<2x+3; b) 2 x x − 1 < 1 ; c) x
x
x+− >
1
1
3
2 x − x − x + ≥
B i 10:à Tìm các giá trị của x thỏa mãn mỗi bất phương trình sau
a)
x < x x
1 2( 1) 3
4
x
+ > +
+
B i 11: à Giải các bất phương trình sau:
a)3 1 2 1 2
(2 x − 1)( x + − + ≤ − 3) 3 x 1 ( x 1)( x + + − 3) x 5