Tài liệu Chữa bài tập bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức doc

Ứng dụng của bắt đẳng thức Cosi Ill.. oe Chữa bài tập bát đẳng thức và ứng dụng bắt đẳng thức... Chú ý: Phương pháp trên gọi là phương pháp chia khoảng... Chú ý: Ta có thẻ cải tiến cách

II Ứng dụng của bắt đẳng thức Cosi

Ill Hướng dẫn và bài tập

Vì a,b >0 = a” + bỶ > aŸ > a - bỶ theo giả thiết ta có :

a~b >a` -bỶ c> (a~b) >(a~b)(a? + ab + bỶ}

<> 1>a*+ab+b? >a’ +b’

| Chia bai tap (tt)

Bài 3: Cho a + b = 1 chứng minh aÝ + bf >

<> 2(a* +b*) > (a? +b?)

Theo (*) <> 2(a’ +b*) Do a‘ +b‘ >= (đpcm) Dau "=" xdy ra khia=b=—

() oe Chữa bài tập bát đẳng thức và ứng dụng bắt đẳng thức

I Chữa bài tập (tt) Bài 3 (tt)

Cách 2:

Áp dụng BĐT Bunhia copski ta có:

1=(a+b) <(a’ +b*)(P +?) = 2(a’ +b) eo ><a? +b? (*)

Lại theo BĐT Bunhiacopski ta có:

(a? +b?}` <(a* +b*)(Ÿ + #) = 2(a* +b*) ()

Kết hợp (*) và (**) ta có :

; < 2(a* + b*) = (dpem)

| Chia bai tap (tt)

Bai4:Chitng minh a® —~a° +a*-~a+1>0 véi VaeR

Nếu a < 0 => -a” >0 và -a >0

=Vr=& +(-a?)+aŸ +(-a)+1>1>0 (đpcem)

Nếu 0 < a < 1thì VT =a?+a?(1-a?)+1-a >0 (đpcm)

Nếu a > 1= VT = a?(aŸ -1)+ a(a- 1)+ 1> 1> 0 (đpcm)

Từ 3 trường hợp trên suy ra bắt đẳng thức đúng va < R

Chú ý: Phương pháp trên gọi là phương pháp chia khoảng

I Chữa bài tập (tt) Bài 4 (tt)

Chú ý: Ta có thẻ cải tiến cách chứng minh trên cho gọn hơn

Ta có (1) <> 2a? — 2a° + 2a2 — 2a + 2 > 0

«> a8 + a8 - 2a° + a2 + a?— 2a + 1 + 1 >0

«> a8 + (a“ — a)? + (a— 1)2 + 1 > 0 đúng va

Vậy bát đẳng thức cằn chứng minh đúng

I Chữa bài tập (tt) Bài 5 (tt)

Dat VT = x sau đó nhân 2 về của BĐT (*) với x ta có :

Hãy tổng quát hoá bài toán

£& Chữa bài tập bát đẳng thức và ứng dụng bát đẳng thức

a

() s5 Chữa bài tập bát đẳng thức và ứng dụng bát đẳng thức

I Chữa bài tap (tt)

Bài 6 : Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác chứng minh:

a? + bỶ + c? < 2(ab + bc + ca)

x y,z>0 (“Z-axbxe) b+c=x

Dat /c+a=y thi \a-

le © BĐT (*) trở thành :

Yy+Z-X X†+Z-Y X+y-Zz_3

Yy+Z X+Z X+Y.© (**)

Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số: = +: ti: ta có:

x é 2 OK Tn

YN Y ä 4 é €

Vậy (**) đúng nghĩa là BĐT đã cho đúng

Dấu " =" xảy ra khi Ô = ý = .©©X=y=Zzœa=b=c

Nhân 2 vế của 2 BĐT trên ta có (đpcm)

AY Chữa bài tập bát đẳng thức và ứng dụng bát đẳng thức

II Ứng dụng của bắt đẳng thức Cosi

Bài toán 1: Cho 2 số x, y > 0 thay đổi, sao cho x + y = k không đổi

Tìm giá trị lon nhat cia T = x.y

© Chữa bài tập bát đẳng thức và ứng dụng bát đẳng thức

ll Ứng dụng của bắt đẳng thức Cosi (tt) Bài toán 2: Cho 2 số x, y > 0 có xy = h (const)

Tìm giá trị nhỏ nhất của S = x + y

Kết luận: Các em hãy phát biểu thành lời

Chú ý: Kết quả của biểu thức (1) và (2) còn đúng cho nhiều số

Do đó theo bài toán (1) (mở rộng)

6I =(2x + 3y)(6 - 2x)(12- 3y) lớn nhất khi:

» _ Tổng quát hoá các bài tập 1, 3, 5

s - Tìm thêm các cách giải cho bài tập 2, 4, 6

» Viét cu thé phan ứng dụng bát đẳng thức côsi cho 3, 4 số

Bài 1: Cho a > 3 ; b >4; c >2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Mx ab-/c - 2 +bcv/a - 3 + cavVb - 4