Không phải là đáp án: Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật tác giả không đa trực tiếp v ít à truy cập trang đó, nếu có lỗi trong quá trình biên soạn thầy cô báo giúp tại trang http://
Trang 1đề thi học sinh giỏi Toán 8 6
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài
1 : (2đ)
Chứng minh rằng với mọi n ∈ Z:
A(n) = n(n2+1) (n2+4) 5
Bài 2: (2đ)
Cho 4a2 + b2 = 5ab với 2a > b > 0
Tính số trị của phân thức:
4a b
ab
−
Bài 3: (1,5đ)
Phân tích thành nhân tử:
x3+ y3+ z3- 3xyz
Bài 4: (2,5đ)
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì:
(a c−b+b a−c+c−b a)(a c−b+b a−c+c−b a=9
Bài 5: (2đ)
Cho hình vuông ABCD, vẽ về phía trong của hình các góc ∧
OCD=150
(2 góc này cùng chung cạnh DC và 2 cạnh kia giao nhau ở O) Chứng minh tam giâc AOB đều ?
-Hết đề
Trang 2thi -Đáp án đề Toán 8 6 Bài
1 : (2đ)
Ta xét mọi trờng hợp khi chia n ∈ Z cho 5, ta có số d là 0, ±1, ±2
Trờng hợp 1:
r =0 ⇒ n 5 0,5đ Trờng hợp 2:
r = ±1⇒ n = 5k ±1
⇒ n2 = 25k ±10k+1
0,5đ
Trờng hợp 3:
r = ±2⇒ n = 5k ±2
⇒ n2 = 25k ±20k+4
0,5đ
A(n) là tích của 3 thừa số, trong mọi trờng hợp đều có một thừa số chia hết cho
5 Vậy A(n) 5, với mọi n ∈ Z (đpcm) 0,5đ
Bài 2: (2đ)
Từ 4a2 + b2 = 5ab, ta có:
4a2 - 4ab – ab + b2 = 0 0,5đ
⇔4a (a- b) – b(a - b) = 0
⇔(a- b)(4a - b) = 0 (*) 0,5đ Vì 2a > b > 0 nên 4a - b ≠ 0
Vậy từ (*) suy ra a - b = 0 tức là a = b 0,5đ Thay a = b vào P ta đợc:
4a b
ab
− = 2 2
2
4a a
a
− = 2
2
3a
a
= 31 (do a≠ 0) 0,5đ
Bài 3: (1,5đ)
Phân tích thành nhân tử:
x3+ y3+ z3- 3xyz
=( x3+3x2y+3xy2 +y3)+ z3- 3xyz -3x2y-3xy2 0,5đ
= (x+ y)3)+ z3- 3xyz -3x2y-3xy2
=[(x+ y)3)+ z3]- (3xyz +3x2y+3xy2)
=(x+ y+ z)[(x+y)2- (x+y)z +z2] - 3xy(x +y+z) 0,5đ
=(x+ y+ z)(x2 + 2xy+ y2- xz - yz + z2 - 3xy)
Trang 3=(x+ y+ z)(x2 + y2+ z2 - xz - yz – xy) 0,5đ
Bài 4: (2,5đ)
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì:
(
c
b
a− +
a
c
b− +
b
a
c− )(
b a
c
− +
c b
a
− +
a c
b
− =9
Đặt: x =a c−b ; y = b a−c ; z=c−b a 0,5đ
Vế trái của đẳng thức cần chứng minh sẽ trở thành:
(x + y + z)(
x
1
+ 1y +
z
1
)= 3 +
x
z
y+ +z+y x+
z
y
x+ (*) 0,5đ
Ta có:
x
z
y+ =(
a
c
b− +
b
a
c− )
b a
c
− =
b a
c
−
ab
a ac bc
b2 − + − 2
=a c−b
ab
ac bc b
−
=a c−b
ab
b a c b a b
−
=a c−b.(a−b)(−ab a−b+c)
=
ab
c
.(-a-b+c)
hay =ab c (-a-b+c-c+c) =ab c (-a-b-c+2c)
=ab c [2c-(a+b+c)] theo bài ra: a+b+c = 0 nên:
x
z
y+
=
ab
c2
2 0,5đ
áp dụng hoán vị vòng y z x y
c a b c ta đợc:
x
z
y+ +z+y x+
z
y
x+ =
ab
c2
bc
a2
ca
b2
2 = 2 (a3 b3 c3 )
abc + + 0,5đ Theo kết quả bài 3
Trang 4x3+ y3+ z3- 3xyz = (x+ y+ z)(x2 + y2+ z2 - xz - yz – xy)
Hay a3+ b3+ c3- 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2+ c2 - ab - bc – ac)
Bài ra a+ b+ c =0 nên a3+ b3+ c3- 3abc = 0
Hay a3+ b3+ c3= 3abc
Vậy
x
z
y+
+z+y x+
z
y
x+
abc3
2
= 6 Kết hợp với (*) ta đợc:
(x + y + z)(
x
1
+ 1y +
z
1
)= 3 + 6 = 9 (đpcm) 0,5đ
Bài 5: (2đ) Vẽ hình 0.5 đ
Dựng ∆BIC =∆DOC Nh vậy OD=OC=IC=IB và ∧
DCO= ∧
ICB= 150
Suy ra ∧
ICO=600 , ∆IOC cân có ∧
ICO=600 nên tam giâc này đều, do đó OI=IC=IB Mặt khác : ∧
BIC= 1800- ( ∧
IBC + ∧
ICB) = 15O0
∧
OIB= 3600 – 600- 1500= 1500
Vậy ∆OIB = ∆BIC (cgc) ⇒BO=BC(*) ⇒ ∆OBC cân đỉnh B và có ∧
OBI
=300
Ta lại có: AB=BC (cạnh hình vuông), kết hợp với (*) ⇒ AB=BO nên ∆
AOB cân , tam giác này có ∧ =
ABO 1V - 300 = 600 nên tam giác này đều (đpcm) 1,5đ
-Hết đáp
án -B
C
A
D
O
I
Trang 5Không phải là đáp án:
Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp v ít à truy cập trang đó), nếu có lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp tại trang http://yuio.violet.vn
Cám ơn thầy (cô)!
Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh–
