Hiệu các bình phơng hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 4; c.. Hiệu bình phơng hai số lẻ liên tiếp chia hết cho 8.. Chứng minh EF đi qua trung điểm của AB và CD.. Nếu đờng phân giác trên
Trang 1đề thi học sinh giỏi Toán 8 1
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài
1 : (2đ)
Chứng minh đẳng thức sau:
P=(a+b+c)2 + (b+c-a)2(c+a-b)2(a+b-c)2= 4(a2+b2+c2)
Bài 2: (1,5đ)
Chứng minh rằng:
a Nếu m là một số nguyên thì (2m+1)-1 chia hết cho 8;
b Hiệu các bình phơng hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 4;
c Hiệu bình phơng hai số lẻ liên tiếp chia hết cho 8
Bài 3: (2đ)
Phân tích thành nhân tử:
A=(x+y+z)3-x3-y3-z3
Bài 4: (2đ)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
B = x2-2xy+2y2-4y+5
Bài 5: (2,5đ)
Cho hình thang ABCD (BC//CD), các đờng phân giác trong của ∧
A và ∧
B giao nhau ở E, của ∧
C và ∧
D giao nhau ở F
1 Chứng minh EF đi qua trung điểm của AB và CD
2 Nếu đờng phân giác trên gặp nhau tại 1 điểm thì hình thang ABCD C có
gỉ đặc biệt
-Hết đề
Trang 2thi -Đáp án đề Toán 8 1 Bài
1 : (2đ)
Viết vế trái của đẳng thức dới dạng:
[(b+c)+a]2 + [(b+c)-a)]2+[a+(b-c)]2+[(a-(b-c)]2 0,5đ
Ta nhận xét rằng:
(A+B)2+(A-B)2=2(A2+B2) 0,5đ
Ta có (áp dụng 2 cặp tơng ứng):
P=2[(b+c)2+a2] + 2[a2+(b-c)2] 0,5đ
=4a2+2[(b+c)2+(b-c)2]
=4a2+2.2(b2+c2)
=4(a2+b2+c2) (đpcm) 0,5đ
Bài 2: (1,5đ)
a 0,5đ
Ta có:
(2m+1)2-1=(2m+1+1)(2m+1-1) 0,25đ
=4m(m+1)
m(m+1) là hai số nguyên liên tiếp nên chắc chắn có một số chẵn Do vậy tích m(m+1) chia hết cho 2
Vậy 4m(m+1) chia hết cho 8 0,25đ
b 0,5đ
Lấy một số chẵn là 2n thì số chẵn liền sau nó là 2n+2
Hiệu:
(2n+2)2-(2n)2=4(n+2), chia hết cho 4 0,5đ c.0,5đ
Lấy một số lẻ là 2n+1 thì số lẻ liền trớc là 2n-1
Ta xét hiệu;
(2n+1)2- (2n-1)2
= [(2n+1)+ (2n-1)][ (2n+1)- (2n-1)] 0,25đ
= 8n, chia hết cho 8 0,25đ
Bài 3: (2đ)
A=(x+y+z)3-x3-y3-z3
= [(x+y+z)3-x3] –(y3+z3) 0,5đ
= (x+y+z-x)[( x+y+z)2 + (x+y+z)x+x2]- (y+z)( y2-yz+z2)
= (y+z)[( x+y+z)2 + (x+y+z)x+x2]- (y+z)( y2-yz+z2)
= (y+z)( x2+y2+z2 +2xy+2xz +2yz +x2+xy+xz+x2-y2+yz-z2) 0,5đ
= (y+z)( 3x2+3xy+3xz +3yz)
= (y+z)( 3x2+3xy+3xz +3yz) 0,5đ
= 3(y+z)[(x2+xy)+(xz +yz)]
= 3(y+z)[x(x+y)+z(x +y)]
= 3 (x+y) (y+z)(x +z) 0,5đ
Trang 3Bài 4: (2đ)
B = x2-2xy+2y2-4y+5
Tách các số hạng ta đợc:
B = x2- 2xy+y2+y2- 4y +4 + 1 0,5đ
= (x2- 2xy+y2)+(y2- 4y +4) + 1
= (x-y)2 + (y - 2)2 + 1 0,5đ
Do (x-y)2 ≥0 ; (y - 2) 2 ≥ 0 0,5đ Nên B = (x-y)2 + (y - 2)2 + 1≥1
Khi x = y v y = 2 thì B=1à
Vậy giá trị nhỏ nhất B = x2-2xy+2y2-4y+5 là 1 0,5đ
Bài 5: (2,5đ) Vẽ hình 0.5 đ
1 0,5đ
Giả sử đờng phân giác của ∧
B và ∧
C gặp AD ở M và N Vì tứ giác ABCD là hình thang cân nên ∧
A + ∧
B =2V
Mà A∧1 = A∧2 , B∧1 = B∧2 A∧2 nên A∧2 +B∧1 =1V
Từ đó suy ra BE ⊥AE Tơng tự ta có cf ⊥DF
Ta lại có ∧
AMB =B∧2 (slt) và B∧1 = B∧2 suy ra ∧
AMB=B∧1 nên ∆MAB cân
đỉnh A
Tơng tự ∆MDC cân đỉnh D
Từ đó suy ra AE và DF 2 trung tuyến của 2 tam giác tơng ứng, dẫn đến EF là
đờng trung bình của hình thang BMNC
Suy ra EF//AD EF gặp AB và CD ở P và Q
∆ABM có EF//AM và EB=EM nên PE là đờng trung bình, suy ra PA=PB
T-ơng tự ta chứng minh đợc QC=QD
2 0,5đ
Từ chứng minh trên ta có PQ = BC+2AD (1) , xét tam giác AEB vuông ở E,
EP là trung tuyến thuộc cạnh huyền AB nên EP=
2
AB
, tơng tự ta có FQ=
2
CD
P
A
F E
Q
2
1
N
Trang 4Nếu E và F trùng nhau ta có 4 đờng phân giác trong của hình thang đồng quy, lúc đó PE+EF+FQ=AD2+BC , trong đó EF=0 nên PQ= AD2+BC (2)
Kết hợp với (1) và (2) ta có:
2
AD
BC+ =
2
BC
AD+ , nghĩa là AB+CD=AD+BC Vậy nếu các đờng phân giác trong hình thang này đồng quy thì có tổng hai
đáy bằng tổng hai cạnh bên
-Hết đáp
án -Không phải là đáp án:
Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp), nếu có lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp tại trang
http://yuio.violet.vn
Cám ơn thầy (cô)!
Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh–
