đề thi học sinh giỏi Toán 8 2
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Phân tích thành nhân tử:
A=(a+b+c)3+(a+b-c)3+(b+c-a)3+(c+a-b)3
Bài 2: (2đ)
Chứng minh rằng không thể có các số nguyên a, b, c, d nào thỏa mãn:
abcd-a=1961
abcd-b= 961
abcd-c= 61
abcd-d= 1
Bài 3: (2đ)
a.So sánh cặp số:
A= 1993.1995 và B=19942
b.Cho P=
1
) 1 ( 3
2
3 + + +
+
x x x
x
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P
Bài 4: (1,5đ)
Chứng minh rằng mọi giá trị của biến số x các đa thức sau đây nhận giá trị
d-ơng:
a P= x2-6x+10
b Q= x2+x+1
c R=(x-3)(x-5)+4
Bài 5: (2đ)
Cho x0∧y nhọn trên 0x lấy 2 điểm A và B, trên 0y lấy 2 điểm C và D sao cho AB=CD, M và N là điểm giữa của AC và BD
Chứng minh rằng MN//0Z ( 0Z là phân giác góc x0∧y)
-Hết đề
thi -Đáp án đề Toán 8 2
Phân tích thành nhân tử:
A=(a+b+c)3+(a+b-c)3+(b+c-a)3+(c+a-b)3
Đặt:
a+b-c=x (1)
b+c-a=y (2)
c+a-b=z (3)
Cộng vế với vế ta đợc a+b+c= x+y+z (4) 0,5đ
Trang 2Ta thay (1), (2), (3), (4) vào đầu bài ta đợc:
A=(x+y+z)3-x3-y3-z3
0,5đ
= (x+y+z-x)[( x+y+z)2 + (x+y+z)x+x2]- (y+z)( y2-yz+z2)
= (y+z)[( x+y+z)2 + (x+y+z)x+x2]- (y+z)( y2-yz+z2)
= (y+z)( x2+y2+z2 +2xy+2xz +2yz +x2+xy+xz+x2-y2+yz-z2) 0,5đ
= (y+z)( 3x2+3xy+3xz +3yz)
= (y+z)( 3x2+3xy+3xz +3yz)
= 3(y+z)[(x2+xy)+(xz +yz)]
= 3(y+z)[x(x+y)+z(x +y)]
= 3 (x+y)(y+z)(x +z) (5) 0,5đ Thay Ta thay (1), (2), (3) vào (5) ta đợc:
A=3(a+b-c+ b+c-a)( b+c-a+ c+a-b)(a+b-c+ c+a-b)
= 3(b+ b)( c+ c)(a+a)
= 24abc 0,5đ
Bài 2: (2đ)
Chứng minh bằng phản chứng:
Giả sử các số nguyên a, b, c, d nào thỏa mãn các đẳng thức đã cho
Phân tích vế trái đẳng thức thành nhân tử ta có:
a(bcd-1) =1961 (1)
b(acd-1) = 961 (2) 0,5đ c(abd-1) = 61 (3)
d(abc-1) = 1 (4) 0,5đ
Vế phải của (1) là một số lẻ do đó vế trái phải là tích của 2 số lẻ, suy ra a
là một số lẻ Tơng tự nh vậy, từ (2), (3), (4) ta có b, c, d đều là số lẻ 0,5đ Bốn số a, b, c, d lẻ nên tích abcd là số lẻ và hiệu abcd-a (hiệu hai số lẻ)
là một số chẵn, mâu thuẫn với đẳng thức (1) đã cho 0,5đ
Bài 3: (2đ)
a 1đ
A= 1993.1995=(1994-1)(1994+1)=19942-1 0,5đ B=19942
Rõ ràng B>A 0,5đ b.1đ
Rút gọn biểu thức P:
P =
1
) 1
(
3
2
3 + + +
+
x x
x
1 ) 1 (
) 1 ( 3
+
x x
x
x
=
) 1 )(
1 (
) 1 ( 3
2 + +
+
x x
x
=
1
3
2 +
x 0,5đ Biểu thức
1
3
2 +
x lớn nhất khi x2 +1 nhỏ nhất
x2 ≥ 0 nên nhỏ nhất khi x=0
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 3 0,5đ
Bài 4: (1,5đ)
Trang 3a 0,5đ
P= x2-6x+10= x2-6x+9+1=(x-3)2+1 0,25đ
=(x-3)2 ≥0 nên P>0 (đpcm) 0,25đ
b 0,5đ
Q= x2+x+1= x2+x+
4
1+
4
3=(x+
2
1)2+
4
3 0,25đ Tơng tự nh (a.) Q>0 0,25đ
c 0,5đ
R=(x-3)(x-5)+4=x2-5x-3x+15+4= x2-8x+16+3 0,25đ
=(x-4)2+3
Cũng tơng tự nh (a.) R>0 0,25đ
Bài 5: (2đ) Vẽ hình 0.5 đ
Hạ AE ⊥0Z , BF ⊥ 0Z , AE và BF cắt 0y ở K và H
∆A0K cân vì có 0E là đờng phân giác và là đờng cao Tơng tự ∆B0H cũng cân, nên ta có AE=EK và BF=FH 0,5đ
Từ đó suy ra EM là đờng trung bình của ∆AKC
FN là đờng trung bình của ∆BHD
Ta có: EM//KC và EM=
2
KC (1) FN//HD và FN=
2
HD (2) Chứng tỏ EM//FN và cùng song song với 0y 0,5đ
K
B
C
0
Z
2 1
N
M
D E
x
Trang 4Mặt khác tứ giác HKAB là hình thang cân (từ ∆B0H cân và AE ⊥0Z , BF ⊥ 0Z suy ra)
Vậy AB=HK=CD
Ta lại có KC+CH=KH
HD+CH=CD nên KC=HD (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra EM=FN
Tứ giác EMNF có EM=FN và EM//FN nên nó là hình bình hành
Vậy MN//EF hay MN//0Z (đpcm) 0,5đ
-Hết đáp
án -Không phải là đáp án:
Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp), nếu có lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp tại trang
http://yuio.violet.vn
Cám ơn thầy (cô)!