M và N là trung điểm của các đờng chéo AC và BD.. CC’ cắt nhau tại H... Nếu MN⊥PQ thì tứ giác PMQN trở thành hình thoi... Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật tác giả không đa trực ti
Trang 1đề thi học sinh giỏi Toán 8 7
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài
1 : (2đ)
Tìm chữ số sau cùng của:
a) Số 6713 ; b) Số 21000
Bài 2: (1,5đ)
Giả sử:
x=
b
a
b
a
+
− ; y=
c b
c b
+
− ; z=
a c
a c
+
− Chứng minh rằng:
(1+x)(1+y)(1+z)= (1-x) (1-y) (1-z)
Bài 3: (2đ)
Giải phương trỡnh:
a)
3
81 16 8x 64
−
b) 22 2 1 22 2 2 7
Bài 4: (1,5đ)
Cho x > y > 0 Chứng minh rằng:
y
x
y
x
+
−
< 2 2
2 2
y x
y x
+
−
Bài 5: (1,5đ)
Cho tứ giác ABCD có P và Q là trung điểm của AB và CD M và N là trung
điểm của các đờng chéo AC và BD
Chứng minh nếu MN ⊥ PQ thì BC = AD
Bài 6: (1,5đ)
Cho tam giác có ba góc nhọn ABC với ba đờng cao AA’, BB’ CC’ cắt nhau tại
H A1, B1, C1 là các điểm đối xứng của H qua BC, AC và AB Chứng minh rằng tổng:
'
1
AA
AA
+
'
1
BB
BB
+
'
1
CC
CC
không đổi
-Hết đề
thi -Đáp án đề Toán 8 7
Trang 2Bài
1 : (2đ)
Tìm chữ số sau cùng của:
a) Số 6713
Ta có 6 2 ≡ 6 (mod 10) 0,5đ
Do đó 6n ≡ 6 (mod 10) với mọi n > 2
nghĩa là chữ số sau cùng của Số 6713 là 6 0,5đ b) Số 21000
Ta có: 2 4 = 16 ≡ 6(mod 10) 0,5đ
1000 = 4.250
Nên 21000 = 24.250= (24)250
21000 ≡ 6250 ≡ 6 (mod 10)
Tức là số sau cùng của số 21000 cũng là 6 0,5đ
Bài 2: (1,5đ)
(1+x)(1+y)(1+z) = (1-x) (1-y) (1-z)
) 1 )(
1
)(
1
(
) 1 )(
1
)(
1
(
=
−
−
−
+ +
+
z y x
z y
x (*)
Ta thực hiện vế trái:
Thay x= a a+−b b vào 11−+x x ta đợc:
b
a
b
a
b
a
+
−
−
+
−
+
1
1
=
b a
b a b
b a b a
+
+
− + +
− + +
=
b
a
2
2
=
b a
0,5đ
Hoán vị vòng x y z x và a b c a
ta đợc: y y =c b
−
+
1
1
; z z =a c
−
+ 1
1
0,5đ Thay vào vế trái của (*)
a
c
b
c
b
a
.
.
.
.
= 1
Vậy vế trái bằng vế phải hay (1+x)(1+y)(1+z)= (1-x) (1-y) (1-z) (đpcm)
0,5đ
Bài 3: (2đ)
Trang 3a) 1đ
3
81 16 8x 64
−
3
3 3
5 3 9 81
.
16 8 64 8
5 3 9
16 8 8
9 5
8 16
3
8
23
6
x
x
x
x
x
−
−
⇔ − ữ ữ=
−
+
⇔ =
−
−
⇔ =
0,5đ
0,5đ
b) 1đ
Do:
x2 +2x+2 = (x2+2x+1)+1 = (x+1)2+1>0 với mọi x∈R
x2 +2x+3 = (x2+2x+1)+2 = (x+1)2+2>0 với mọi x∈R (*)
Nên điều kiện là: x ∈R 0,5đ
Đặt t= x2+2x+3=> x2 +2x+2 = t-1 , Từ (*) nên điều kiện : t ≥ 2
Do đó phương trỡnh trở thành:
6
7 1
1
2 + − =
−
−
t
t
t
t
)
1
(
)
2
(
6
−
−
⇔
t
t
t
t
+
t
t 1 ) 2
(
6 − = 76t t((t t−−11))
⇔6t2 – 12t + 6t2 – 12t + 6 = 7t2 – 7t
⇔5t2 – 17t + 6 = 0
⇔t2 – 17t5 + 56 = 0
⇔ t2 – 2t5 - 15t5 + 56 = 0
Trang 4⇔ (t2 – 2t5 ) – (15t5 - 56 ) = 0
⇔ t(t – 52 ) – 3(t- 52 ) = 0
⇔ (t-52 ) (t - 3) = 0
3
t
5
t= (lo¹i)
Với t= 3 , ta có x2+2x+3 =3
⇔x(x+2) =0
⇔x=0 , x = -2
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh là : x=0 , x = -2 0,5®
Bµi 4: (1,5®)
Do x > y > 0 nªn x + y ≠ 0 Theo tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc ta cã:
y
x
y
x
+
−
= ((x x+−y y)()(x x++y y)) = 2 2
2 2
2xy y x
y x
+ +
− (1) 0,5® MÆt kh¸c, do x > y > 0 nªn x2 + 2xy + y2 > x2 + y2
2 2
2xy y
x
y
x
+ +
−
< 2 2
2 2
y x
y x
+
−
(2) 0,5®
Tõ (1) vµ (2) ta suy ra:
y
x
y
x
+
−
< 2 2
2 2
y x
y x
+
− (®pcm) 0,5®
Bµi 5: (1.5®) VÏ h×nh 0.5 ®
B
C
A
M
D
N P
Q
Trang 5áp dụng định lý về đờng trung bình của tam giác đối với các tam giác ABC và DBC ta có:
PM//BC và PM = BC
2 1
NQ//BC và NQ = BC
2 1
Suy ra PM//NQ và PM = NQ 0,5đ
Do đó tứ giác PMQN là hình bình hành Nếu MN⊥PQ thì tứ giác PMQN trở
thành hình thoi Khi đó PM = PN nhng PM = BC
2
1
, PN = AD
2 1
(đờng trung bình của tam giác) nên suy ra BC = AD (đpcm) 0,5đ
Bài 6: (1,5đ) Vẽ hình 0.5 đ
A
C’
A1
H
A’
B1 B’
C1
Trang 6Xét tỷ số
'
1
AA
AA
ta có thể viết:
'
1
AA
AA
=
'
'
AA
A A
'
' 1
AA
A A
= 1+
'
'
AA HA
(A’A1 = HA’ vì A1 đối xứng với H qua BC) Ta lại có:
'
'
AA
HA
=
' 2
1
' 2
1
AA BC
HA BC
=
ABC
HBC
S
S
Do đó:
'
1
AA
AA
= 1+
ABC
HBC
S
S
(1)
0.5 đ
Tơng tự, ta có:
'
1
BB
BB
= 1+
ABC
HAC
S
S
(2)
'
1
CC
CC
= 1+
ABC
HAB
S
S
(3) Cộng từng vế của đẳng thức ta đợc:
'
1
AA
AA
+
'
1
BB
BB
+
'
1
CC
CC
= 3 +
ABC
HAB HAC
HBC
S
S S
=3+
ABC
ABC
S
S
= 4 Vậy tổng
'
1
AA
AA
+
'
1
BB
BB
+
'
1
CC
CC
không đổi (đpcm) 0.5
đ
-Hết đáp
án -Không phải là đáp án:
Trang 7Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp v ít à truy cập trang đó), nếu có lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp tại trang http://yuio.violet.vn
Cám ơn thầy (cô)!
Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh–
