Phòng giáo dục & đào tạo lâm thao ------------------------ Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 (Thời gian làm bài 120 phút; Ng y thi: 14/12/2010) Bài 1: (2điểm). Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có: A = n 3 + 11n chia hết cho 6. Bài 2: Giải các phơng trình sau: a/ (2 điểm): 10232 22 += xxxx b/ (1 điểm): 3xy- 2x + y = 3 (với x, y Z). Bài 3: a/ (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác góc trong kẻ từ A cắt BC tại D. Chứng minh rằng: 2 1 1 AD AB AC = + b/ (1 điểm): Cho tam giác ABC, điểm O thuộc miền trong tam giác. AO; BO v CO cắt BC; AC v AB lần l ợt tại M; N; P . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = OP CO ON BO OM AO ++ Bài 4: (1 điểm). Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 2336222 =++ zyx (với x < y < z). -------------------------- Chú ý: Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm Kì thi học sinh giỏi cấp Huyện năm học 2010-2011 Hớng dẫn chấm môn toán 9 Bài Nội dung chấm (tóm tắt) Điểm 1 2 Bài 1: (2điểm) - Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có: A = n 3 + 11n chia hết cho 6. HD: Đa về dạng: A = n 3 - n + 12n = (n 1)n(n +1) + 12n Từ đó, xét từng số hạng của A chia hết cho 6; suy ra đpcm. ------------------------------------------------------------------ Bài 2: (3 điểm). Giải các phơng trình sau: a/ (2 điểm): 10232 22 += xxxx HD: Ta có: x 2 - 2x +10 = (x-1) 2 + 9 > 0 với mọi x. Vậy ĐKXĐ: Rx . 010102310210232 2222 =+++= xxxxxxxx (*) Đặt yxx =+ 102 2 ; ĐK: y > 0 <= >= =+=+= loaiy mty yyyyyyy ;02 /;05 0)2)(5(010250103(*) 22 Với y = 5, ta có: = = =+=+ ==+=+ 3 5 0)3)(5(01535 0152251025102 2 222 x x xxxxx xxxxxx Vậy PT có 2 nghiệm là: x 1 = 5; x 2 = -3 b/ (1 điểm): Giải phơng trình: 3xy- 2x + y = 3 (với x, y Z) HD: Đa phơng trình về dạng: (3x + 1)(3y 2) = 7 Do x, y là các số nguyên; phân tích 7 = )7).(1( , nên ta có bảng: 3x + 1 1 7 -1 -1 3y - 2 7 1 -7 -7 1,0 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3 Từ đó, PT đã cho có 2 nghiệm là: x 0 2 y 3 1 Bài 3: (4điểm). a/ (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác góc trong kẻ từ A cắt BC tại D. Chứng minh rằng: 2 1 1 AD AB AC = + D C B A Ta có: 2.S ABC = AB.AC = 2(S ABD +S ACD ) = AB.AD.Sin 45 0 + AD.AC.Sin 45 0 = AD.Sin 45 0 (AB + AC) = 2 2 AD (AB + AC) = 2 1 AD (AB + AC) => 2 2 1 1 . AB AC AD AB AC AD AB AC + = = + (đpcm). b/ (1điểm): Cho tam giác ABC, điểm O thuộc miền trong tam giác. AO; BO v CO cắt BC; AC v AB lần l ợt tại M; N; P . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = OP CO ON BO OM AO ++ KH M P N CB A O Kẻ AH BC;BK BC, đặt: ;;;; 321 SSSSSSSS AOBAOCBOCABC ==== Do BOC và ABC chung đáy BC nên OK AH S S = 1 , mà: AH // OK, nên: OM AM OK AH = suy ra: )1( 1 32 1 1 1 S SS OM AO S SS OM OMAM OM AM S S + = = = 0,25 1,00 0,75 1,00 0,25 0,25 0,25 4 ------ Tơng tự );3();2( 3 21 2 13 S SS ON CO S SS ON BO + = + = Từ (1); (2) và (3) ta có )()()( 3 1 1 3 2 3 3 2 1 2 2 1 S S S S S S S S S S S S Q +++++= áp dụng BĐT thức Cauchy cho các số không âm, ta đợc: Q 6 Giá trị nhỏ nhất của 321 6 SSSQ === hay O là trọng tâm ABC. ---------------------------------------------------------- Bài 4: (1 điểm). Ta có: 73.2)221(2 5 =++ xzxyx Đặt A = xzxy ++ 221 , ta thấy A lẻ, nên 5 22 = x và A = 73. Suy ra: x = 5 và 7222 =+ xzxy hay 9.2)21(2 3 =+ yzxy Từ đó 3 22 = xy và 921 =+ xz . Suy ra: y = 8, z = 11 Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là x = 5, y = 8 , z = 11. ---------------------------------- 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 . điểm): 10232 22 += xxxx HD: Ta có: x 2 - 2x +1 0 = (x-1) 2 + 9 > 0 với mọi x. Vậy ĐKXĐ: Rx . 010102310210232 2222 =++ += xxxxxxxx (*) Đặt yxx =+ 102 2 ; ĐK:. Huyện năm học 2010- 2011 Hớng dẫn chấm môn toán 9 Bài Nội dung chấm (tóm tắt) Điểm 1 2 Bài 1: (2điểm) - Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có: A = n 3 +