Đáp án Môn Toán Lớp 7 - Tuần 26 - 27

a) Tính AC và AE.. c) Trên tia đối của tia DA lấy điểm L sao cho D là trung điểm của AL.. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia DG lấy điể[r]

Bài 1 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM

GIÁC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1- Đường trung tuyến của tam giác

• Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M

của cạnh BC gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC

• Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

2 Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm

Điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác đó, điểm đó cách mỗi đỉnh

một khoảng bằng

2

3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

+ Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì

2 3

AD  BE  CF 

Bài 1 Cho tam giác ABC có AB=AC=5 cm và BC=6 cm D là trung điểm

của BC.

a) Tam giác ABD là tam giác gì? Tính AD.

b) Trung tuyến BE cắt AD tại G Tính AG.

Giải.

a) Dễ dàng chứng minh ABD = ACD (c.c.c) Suy ra  ADB ADC  

Mà  ADB ADC    180o   ADB ADC    90o,

hay ABD là tam giác vuông tại D

+ Áp dụng định lí Pi-ta-go vào trong tam giác ADB vuông tại D

Với AB=5 cm, BD=3 cm

Có AD2 + BD2 = AB2 => AD2 = AB2 - BD2 => AD2 =52 – 32 => AD = 4 cm b)Trong tam giác ABC có các đường trung tuyến AD và BE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Áp dụng tính chất của trọng tâm ta có

.4

cm

Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=8 cm, BC= 10 cm Trung

tuyến AD cắt trung tuyến BE ở G.

a) Tính AC và AE b) Tính BE và BG c) Tính AD.

d) Kéo dài CG cắt AB tại K Tính CK.

Giải

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A

Có AB2 + AC2 =BC2 => AC2 =BC2 - AB2 => AC2 =102 – 82=36=> AC = 6 cm

+ Do E là trung điểm của AC nên

6 3

2 2

AC

AE EC    

cm

b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác ABE vuông tại A, AB=8 cm, AE=3 cm

Có AB2 + AE2 =BE2 => BE2 =82 + 32=73=>BE = 73cm.

+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên

2 2 73

BG  BE 

cm

c) Trên tia đối của tia DA lấy điểm L sao cho D là trung điểm của AL

Xét ADB và LDC có

AD=LD (D là trung điểm của AL)

 

ADB CDL  (đối đỉnh)

DB=DC (D là trung điểm của BC)

Suy ra ADB =LDC (c.g.c) =>  ABD LCD   (góc tương ứng) và AB=CL(cạnh tương ứng)

Mà  ABD LCD ,  là hai góc so le trong nên CL // AB  CL  AC(từ song song đến vuông góc)

Xét hai tam giác vuông ABC và CLA có : AB=CL (cmt); AC chung

Suy ra ABC = CLA (cgv-cgv) => AL=BC (cạnh tương ứng)

2 2

cm

Chú ý: Trung tuyến ứng với cạnh huyền (của tam giác vuông) thì có độ dài bằng

nửa độ dài cạnh huyền.

d) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên K là trung điểm của AB =>

8 4

2 2

AB

AK  KB   

cm

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AKC vuông tại A, có AK=4 cm, AC=6 cm

Ta tính được CK = 52cm.

Bài 3 Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE cắt nhau tại G Trên

tia đối của tia DG lấy điểm M sao cho D là trung điểm của đoạn thẳng MG Trên tia đối của tia EG lấy điểm N sao cho E là trung điểm GN Chứng minh:

a) GN = GB, GM = GA; b) AN = MB và AN // MB

Giải.

a) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên theo tính chất trọng tâm thì

2

AG  AD  DG  AD  AG  GD

Do D là trung điểm của GM nên GM=2GD Suy ra AG=GM (=2GD)

Tương tự ta chứng minh được GN=GB

b) Xét AGN và MGB có: AG=GM (cmt); AGN  MGB  (đối đỉnh); GN=GB (cmt)

Suy ra AGN =MGB (c.g.c) => GAN GMB    (góc tương ứng) và AN=MB (cạnh tương ứng) Mà GAN GMB  ,  là hai góc so le trong nên AN // BM.

Bài 4 Cho ABC Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB Lấy G

thuộc cạnh AC sao cho AG =

1

3AC Tia DG cắt BC tại E Qua E vẽ đường thẳng song song với BD, qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng này cắt nhau tại F Gọi M là giao điểm của EF và CD Chứng minh:

a) G là trọng tâm BCD; b) BED = FDE, từ đó suy ra EC

= DF;

c) DMF = CME; d) B, G, M thẳng hàng

Giải.

a) Vì AD = AB nên A là trung điểm BD => CA là đường trung tuyến của BCD

Mà AG =

1

3AC => G là trọng tâm BCD

b) Ta có : BD || EF => BDE DEF   

và DE || BC => BED EDF    và ED là cạnh chung

=>BED = FDE (g.c g) => BE = DF (hai cạnh tương ứng) (1)

Mặt khác do G là trọng tâm BCD nên E là trung điểm BC

=> BE = EC (2) Từ (1) và (2) suy ra EC = DF

c) DMF = CME (g.c.g)

d) Do DMF = CME => MD = MC => M là trung điểm DC => BM là trung tuyến của BCD

=> G BM => B, G, M thẳng hàng

Bài 5 Cho ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm

a) Tính BC

b) Đường thẳng đi qua trung điểm I của BC và vuông góc với BC cắt AC tại D

Chứng minh CBD DCB   

c) Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DC Chứng minh BCE vuông

Giải

a) BC = 10 cm

b) BDI = CDI (hai cạnh góc vuông)=> CBD DCB   

c) Ta có

BCD cân tại D => CBD DCB   

CDE cân tại D => CED DCE   

Trong tam giác BCE có

   180o    180o   180o  90o

ECB CBE CEB     ECB BCB DCE     ECB ECB    ECB 

Vậy tam giác BCE vuông tại C

-Bài 2 TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định lí thuận

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai

cạnh của góc đó

2 Định lí đảo

Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó

II BÀI TẬP

Bài 1 Tam giác ABC đều cạnh 10 cm có phân giác AD.

a) Tính độ dài BD và AD

b) Đường trung tuyến CE của tam giác ABC cắt AD ở I Tính DI

c) Kéo dài BI cắt AC ở F Tính AF, EC.

Giải.

a) Ta dễ chứng minh BAD =CAD (c.g.c)

Suy ra BD=DC=> D là trung điểm của BC

BD =

1

2BC = 5 cm.

+ Vì BAD =CAD nên BAD CAD    (góc tương ứng bằng nhau)

Và BAD CAD     180o  BAD CAD     90o suy ra BAD vuông tại D

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào BAD vuông tại D, ta tính được AD= 75cm.

b) Ta có AD và CE là các đường trung tuyến của tam giác ABC, khi đó I là trọng tâm của ABC

Áp dụng tính chất đường trung tuyến ta có DI =

1

3AD =

75

3 cm.

c) Ta có F là trung điểm của AC Do tam giác ABC đều nên AF=FC=5 cm và EC=AD= 75cm.

Bài 2 Cho ABC vuông tại A có AB = 3cm, AC = 6cm Gọi E là trung điểm AC, tia phân giác của A cắt BC tại D.

c) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC Chứng minh điểm D cách đều

AB và AC

Giải

a) Áp dụng Định lí Pytago trong tam giác vuông ABC

tính được BC= 45 cm.

Vì E là trung điểm AC nên

AE =

1

2AC = 3 cm => AE = AB

=> BAD =EAD (c.g.c).

c) Do DH AB nên DH là khoảng cách từ D đến AB

Tương tự DK là khoảng cách từ D đến AC

Suy ra DH = DK (Tính chất đường phân giác)

Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A Từ một điểm K bất kì trên cạnh BC, vẽ KH

AC (HAC) Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK Chứng minh:

a) Chứng minh AB //HK; b) Chứng minh KAH   IAH  ; c) Chứng minh  AKI cân

Giải.

a) Ta có: AB  AC, KH AC

=> AB // KH

b) AHK = AHI (cgv-cgv) (Cạnh AH chung, HI=HK (gt))

=> KAH   IAH  (góc tương ứng bằng nhau)

c) AKI có AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân

giác nên AKI cân tại A

Bài 4 Cho tam giác ABC cân tại A có AD là đường phân giác.

a) Chứng minh ABD  ACD

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh ba điểm A; D; G thẳng

hàng

c) Tính DG biết AB = 13cm ; BC = 10cm

Giải

G

B

Xét  ABD và ACD  có :

AD cạnh chung

BAD CAD 

AB = AC vì  ABCcân tại A

b)Chứng minh ba điểm A; D; G thẳng

Vậy A; D; G thẳng hàng

c)Tính DG

  BC ABD ACD ADB ADC; DB DC 5cm

2

mà ADB ADC 180     0  ADB ADC 90     0  AD  BC

ABD

 vuông tại D có AD2  AB2 BD2  132 52  144  AD 12 

Vậy

AD 12

3 3

  