ĐỀ KIỂM TRA MÔN TOÁN 8
LỚP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI – HỌC KỲ I - NH : 2007 - 2008
Bài 1 : (8 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử : a1) A = x2 – x – y2 – y
a2) B = x2 – 5x + 6 b) Chứng minh rằng : Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.
ncs1
11 1 ; b =
n 1cs0
100 05
−
14 2 43 Chứng minh rằng : C = ab + 1 là một số chính phương.
Bài 2 : (8 điểm)
Tính : D = x2 + y2 + z2 b) Cho abc = 2
E
c) Cho a + b + c = 0 và a, b, c đều khác 0.
Rút gọn biểu thức : F = a2 + b2 + c2
Bài 3 : (4 điểm)
a) Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM Chứng minh : SABM = SACM.
b) Cho tam giác ABC kẻ ba đường cao AA’, BB’, CC’ gặp nhau tại H.
AA ' BB' CC'
Hết
Họ và tên : ………Lớp : ……….
Ngày kiểm tra : ……….
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ THANG ĐIỂM CHẤM
ĐỀ KIỂM TRA MÔN TOÁN 8
LỚP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI – HỌC KỲ I - NH : 2007 – 2008
Bài 1 : (8 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử :
a1) A = (x2 – y2) – (x + y) 0.50
= (x + y)(x – y) – (x + y) 0.75
= (x + y)(x – y – 1) 0.75
b) Cho abc = 2 Tính giá trị của biểu thức sau:
+ + + + + +
E
ab a 2 bc b 1 ac 2c 2
ab a 2 abc ab a ac 2c abc
1.00
+ + + + + +
ab a 2 2 ab a c(a 2 ab)
1.00
+ + + + + +
ab a 2 ab a 2 ab a 2
0.50
+ +
+ +
ab a 2
1
b) Cho tam giác ABC kẻ ba đường cao AA’, BB’, CC’ gặp nhau tại H
Chứng minh rằng :
HA ' HB' HC ' 1
AA ' BB' CC'
Ta có :
=1BC.AA '
a2) B = x2 – 2x – 3x + 6 0.50
= (x2 – 2x) – (3x – 6) 0.50
= x(x – 2) – 3(x – 2) 0.50
= (x – 2)(x – 3) 0.50
b) Chứng minh rằng : Mọi số lẻ đều viết
được dưới dạng hiệu của hai số chính
phương
Gọi số lẻ có dạng
2k + 1 (k ∈ N) 0.50
Ta có : 2k + 1
= k2 + 2k + 1 – k2 1.00
= (k + 1)2 – k2 0.50
H C'
B'
A'
A
Trang 2c) Cho {
ncs1
a 11 1 = ;
n 1cs0
b 100 05
−
= 14 2 43 . Chứng minh rằng : C = ab + 1 là một số
chính phương
Ta có :
9a + 1 = 10n 0.50
ncs0
b 100 00 5 = 142 43 + 0.25
= 10n + 5 = 9a + 6 0.25
C = ab + 1 = a(9a + 6) + 1 0.25
C = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2 0.50
C = { 2
n 1cs3
33 34
c) Cho a + b + c = 0 và a, b, c đều khác 0 Rút gọn biểu thức :
=a2 +b2 +c2
F
bc ca ab
= a3 + b3 + c3
=a3 b3 c3
Mà : a + b + c = 0 Suy ra : a3 + b3 + c3 = 3abc 1.00
=a3 b3 c3 =3abc
Bài 2 : (8 điểm)
a) Cho xy = a ; yz = b ; zx = c
Tính : D = x2 + y2 + z2
Ta có : xy = a ; yz = b ; zx = c
Suy ra : x2y2z2 = abc
x2y2 = a2 0.25
y2z2 = b2 0.25
z2x2 = c2 0.25
Do đó : x2b2 = abc 0.25
a2z2 = abc 0.25
y2c2 = abc 0.25
Hay : 2 ac
x
b
y
c
z a
=
0.25
Vậy
2 2 2 2 2 2
2 2 2 ac ab bc a b b c c a
+ + + + = + + =
0.25
Bài 3 : (4 điểm) a) Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM Chứng minh : SABM = SACM
Ta có :
= ABM
1
= ACM
1
Mà : BM = CM (AM là trung tuyến) Vậy : SABM = SACM 0.25
H M B
C A