Mảng Học tập và NCKHBCH LCĐ-LCH Viện Toán Ứng dụng và Tin học CLB Hỗ trợ Học tập BTVN BUỔI 2 VÀ 3 Các phép toán với ma trận 1... Phương trình ma trận1... Hạng của ma trận1... Hãy tìm k3.
Trang 1Mảng Học tập và NCKH
BCH LCĐ-LCH Viện Toán Ứng dụng và Tin học CLB Hỗ trợ Học tập
BTVN BUỔI 2 VÀ 3 Các phép toán với ma trận
1 Cho A =
1 −1 0
và đa thức P (x) = x2− 2x + 1 Tính P (A)
2 Cho ma trận A = −2 3
1 2
Tính A3− 3A
3 Tìm tất cả các ma trận vuông cấp 2 giao hoán với ma trận 1 2
0 1
4 Cho ma trận A = 2 4
5 3
a) Xác định ma trận f (A) với f (x) = 2x2− 10x + 2
b) Tìm tất cả các ma trận X thỏa mãn AX = XA
5 Tìm tất cả các ma trận vuông cấp 3 giao hoán với ma trận:
A =
1 0 0
0 2 0
0 0 3
1 0 1
0 1 −2
0 0 2
2 3 0
0 2 3
0 0 2
c)
Lũy thừa của ma trận
1 Cho A = −i −1
1 −i
, với i là đơn vị ảo Tính A3 và A27
2 Cho A =
2 1 0
0 1 0
0 0 2
, hãy tính A10
3 Tính A2019 biết A = 3 −5
1 −1
4 Tính An nếu
A = 3 1
0 3
0 3
b)
Trang 25 Tính:
1 −2 1
n
a)
a 0 0
b 0 a
0 0 a
n
b)
a 0 0
0 0 a
b 0 a
n
c)
2 1 1
1 2 1
1 1 2
n
d)
6 Tìm tất cả các số thực a, b sao cho a −b
b a
4
=
"√
3 −1
3
#
7 Cho t ∈ (0, π) và số nguyên dương n > 1 Tìm tất cả ma trận vuông cấp 2
hệ số thực thỏa mãn
Xn = cos t − sin t
sin t cos t
Ma trận nghịch đảo
1 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = cos ϕ sin ϕ
− sin ϕ cos ϕ
2 Cho ma trận A =
1 −1 2
Tính (A − 2I)−1
3 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:
A =
2 −1 3
1 −2 2
2 −3 6
b)
C =
0 0 1 −1
0 3 1 4
2 7 6 −1
1 2 2 −1
d)
4 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =
Trang 3Phương trình ma trận
1 Giải các phương trình ma trận sau:
1 2
3 4
5 6
X =
7 10
15 22
23 34
3 0 1
X = 9 3
10 3
b)
2 Cho A = 1 2
1 −1
, B = 1 −1 2
Tìm X thỏa mãn BT − XA = 2X
3 Giải phương trình X2− 2X = −1 0
6 3
, trong đó X là ma trận vuông cấp 2
4 Giải phương trình ma trận 2 0
4 2
X
!−1
= 1 0
1 1
5 Giải phương trình ma trận 1
2X
T − 2E
−1
= 21 1
2 3
với E là ma trận đơn vị cấp 2
6 Tìm ma trận X thỏa mãn X 2 1
1 1
= 2X − 21 3
2 1
T
7 Cho A = 4 1
2 2
, B =−1 0 1
−1 −1 −1
Tìm X thỏa mãn XA − BT = X
8 Cho hai ma trận A =
1 1 3
1 0 5
2 2 7
và B =
1 3 1
1 1 1
1 2 2
Hãy tìm ma trận X thỏa mãn A2B + AXA = 0
9 Cho ma trận A =
a2+ 1 1 2
5 4 4a + 6
a + 1 1 a + 3
a) Xác định a ∈ R để det A ≤ 12
b) Với a = 0, tìm ma trận X thỏa mãn AX = A2+ E, trong đó E là ma trận đơn vị cấp 3
Trang 4Hạng của ma trận
1 Xác định hạng của các ma trận sau:
1 1 −3
−1 0 2
−3 5 0
a)
1 2 3 6
2 3 1 6
3 1 2 6
b)
c)
2 Tìm m để các ma trận sau có hạng nhỏ nhất:
A =
2 m + 4 −2 −1
3 m + 6 −3 m − 3
m 2 −1 3
b)
C =
3 −1 1 0
3 3 − 2m 8 − m 4
d)
3 Tìm m để ma trận A =
2 m + 2 2m + 1 2m + 4
1 4 − m m − 1 2m − 4
có hạng bằng 2
4 Tìm m để hạng của ma trận A =
2 1 −2 2
lớn nhất
5 Tìm và biện luận hạng của ma trận sau theo tham số m, n:
A =
Định thức
1 Tính định thức
2 −1 1 3
Trang 5
2 Biết A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn |A| = |kA| (k ∈ R) Hãy tìm k
3 Tìm x biết
1 −2 4
1 x x2
= 0 a)
1 x −2
−1 1 2
= 0 b)
1 6 − x2 3 4
= 0 c)
2 2x − 1 x + 1
= 0 d)
4 Tìm điều kiện của x và y sao cho
1 −1 0 −1
0 −2 3 1
= 0
5 Chứng minh rằng:
a)
b1+ c1 c1+ a1 a1+ b1
b2+ c2 c2+ a2 a2+ b2
b3+ c3 c3+ a3 a3+ b3
= 2
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
b)
x a a a
a x a a
a a x a
a a a x
= (x + 3a)(x − a)3
c)
−a −a −a x
= x4+ 6a2x2+ a4
d)
1 a bc
1 b ca
1 c ab
= (b − a)(a − c)(c − b)
6 Hãy tính định thức của ma trận
A =
2 4 − a 6
Từ đó hãy chứng minh rằng với mọi số thực a, không tồn tại ma trận D vuông cấp 3 hệ số thực thỏa mãn D2 = A
Trang 6Hệ phương trình tuyến tính
1 Giải hệ phương trình
x + 2y + 3z + 4t = 4 2x + 5y + 6z + 7t = 6 3x + 7y + 10z + 11t = 11
x + 3y + 3z + 4t = 3
2 Tìm đa thức bậc ba p(x) = ax3+ bx2+ cx + d thỏa mãn
p(1) = 0; p(−1) = 4; p(2) = 5; p(−2) = −15
3 Xét xem các hệ phương trình tuyến tính sau đây có là hệ Crammer không rồi giải chúng:
2x1− x2− x3 = 4 3x1+ 4x2− 2x3 = 11 3x1− 2x2+ 4x3 = 11 a)
x1+ 2x2+ 3x3− 2x4 = 6 2x1− x2− 2x3− 3x4 = 4 3x1+ 2x2− x3+ 2x4 = 4 2x1− 3x2+ 2x3+ x4 = −8 b)
4 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm Tìm nghiệm của hệ khi đó
(m − 1) x1+ x2+ mx3 = 3 2x1+ mx3+ 3xx = −1
−x1+ 3x2+ x3 = m
5 Tìm m để hệ phương trình
2x1+ mx2− x3 = 0
mx1+ x2+ 2x3 = 0
x1− mx2− 3x3 = 0
có nghiệm không tầm thường
6 Tìm m để hệ
2x + (m − 3) y + 7z = m2
x + (m − 1) y + (m + 5) z = 3m3
có nghiệm duy nhất
7 Cho hệ hệ phương trình
2x + ay − x = 0 3x + (a + 1) y + 5z = 0
x + y + (a + 3) z = 0
Tìm giá trị của tham
số a để hệ có vô số nghiệm
8 Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
x1+ 2x2− 2x3− x4 = 0
ax2+ (1 − a) x3+ (a3+ 1) x4 = 0 2x + (4 − a) x − 4x − 2(a2+ 1) x = 0
Trang 7
mx1+ x2+ x3 = 1
x1+ mx2+ x3 = m
x1+ x2+ mx3 = m2 c)
mx1+ x2+ x3+ x4 = 1
x1+ mx2+ x3+ x4 = m
x1+ x2+ mx3+ x4 = m2
x1+ x2+ x3+ mx4 = m3
9 Cho hệ
x1+ x2− x3 = 1 2x1+ 3x2+ kx3 = 3
x1+ kx2+ 3x3 = 2
Xác định giá trị của tham số k sao cho:
a) Hệ có vô số nghiệm
b) Hệ vô nghiệm
c) Hệ có nghiệm duy nhất
10 Giải hệ phương trình
x1+ 2x2+ 3x3+ + 2018x2018 = 0 2018x1+ x2+ 2x3+ + 2017x2018 = 0 2017x1+ 2018x2+ x3+ + 2016x2018 = 0
2x1+ 3x2+ + x2018 = 0