Với λ này, hỏi x có biểu diễn tuyến tính duy nhất qua các vectơ của X không?... Cho V là không gian các ánh xạ thực trên R.. Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con V1∩ V2... Tìm số
Trang 1KHÔNG GIAN
VECTƠ
1 Tập V với các phép toán sau có phải là không gian vectơ không?
(a) V =(x, y) | x, y ∈R với các phép toán xác định như sau:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) k(a, b) = (ka, b)
(b) V =(x, y) | x, y ∈R với các phép toán xác định như sau:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) k(a, b) = (k2a, k2b)
2 TậpV =(x, y) | x, y ∈R với các phép toán sau có phải là không gian vectơ trên R không?
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1+ x2, y1y2)
α(x1, y1) = (αx, αy)
3 Cho tậpV =(a1, a2) | a1, a2 ∈R TrênV định nghĩa phép cộng thông thường
và phép nhân như sau:
Với c ∈R, c(a1, a2) =
(0, 0) nếu c = 0
ca1,a2 c
nếu c 6= 0
V có phải là không gian vectơ trên R hay không? Giải thích?
4 Những tập nào sau đây là không gian con của R4?
(a) U =(a, b, c, d) | a + b = c + d
(b) U =(a, b, c, d) | a + b = 1
(c) U =(a, b, c, d) | a2+ b2 = 0
(d) U =(a, b, c, d) | a2+ b2 = 1
(e) U =(a + 2b, 0, 2a − b, b) | a, b ∈R
(f) U =(a + 2b, a, a − 2b, b) | a, b ∈R
5 Cho U là không gian sinh bởi hệ vectơ
X =(2, 2, 1, 3), (7, 5, 5, 5), (3, 2, 2, 1), (2, 1, 2, 1)
Tìm λ sao cho x = (6 + λ, 1 + λ, −1 + λ, 2 + λ)thuộc U Với λ này, hỏi x có biểu diễn tuyến tính duy nhất qua các vectơ của X không?
Trang 26 Các vectơ sau có phụ thuộc tuyến tính không?
(a) A =
1 2
3 1
, B =
3 −1
, C =
(b) u = t3+ 4t2− 2t + 3, v = t3+ 6t2− t + 4, w = 3t3+ 8t2− 8t + 7
(c) f (t) = e2t, g(t) = t2, h(t) = t
(d) f (t) = sin t, g(t) = cos t, h(t) = t
7 Cho V là không gian các ánh xạ thực trên R Chứng minh rằng các ánh xạ
x → |x − 1| , x → |x − 2| , , x → |x − 10|
độc lập tuyến tính.
8 Cho hệ vectơ a1, a2, a3 độc lập tuyến tính Tìm k để các vectơ
a2− a1, ka3− a2, a1− a3
cũng độc lập tuyến tính?
9 Tìm m để hệ vectơ sau là độc lập tuyến tính:
v1 = (1, 0, −1, 0), v2= (1, −2m, m, 1), v3= (1, 1, 1, 0)
10 Đâu là một cơ sở của R3?
(a) {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, −1, 1)}
(b) {(1, 1, 2), (1, 2, 5), (5, 3, 4)}
11 Chứng minh rằng {(1, 1, 0, 0), (−1, −1, 1, 2), (1, −1, 1, 3), (0, 1, −1, −3)} là cơ sở của R4 Tìm tọa độ của (a, b, c, d) với cơ sở này.
12 Mở rộng hệ độc lập tuyến tính {(1, −1, 1, −1), (1, 1, −1, 1)} thành cơ sở của R4.
13 Tìm số chiều của không gian sinh bởi hệ vectơ:
(a) v1 = t3−2t2+4t+1, v2= 2t3−3t2+9t−1, v3= t3+6t−5, v4 = 2t3−3t2+7t+5
(b) f (t) = sin t, g(t) = cos t, h(t) = t
14 Tìm cơ sở và số chiều của không gian U ∩ W, biết:
U = (a, b, c, d) | a + b + c + d = 0
W =(a, b, c, d) | a + b = 0, c = 2d
là các không gian con của R4
15 Trong không gian P3[x] các đa thức bậc không quá 3, cho các vectơ
v1 = 1 + x + x2+ 2x3, v2= x − x2− x3
v3 = 2 + 5x − 2x2, v4 = 3 + 7x + 3x3
Đặt V1= Span{v1, v2}, V2 = Span{v3, v4} Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con V1∩ V2.
Trang 316 Trong không gian P3[x] các đa thức bậc không quá 3, cho các vectơ
v1 = 1 + x + x2, v2= x − x2+ x3
v3 = 1 + 2x + x2+ x3, v4= 2 + 2x + 4x2
Đặt V1= Span{v1, v2}, V2 = Span{v3, v4} Tìm số chiều và một cơ sở củaV1+V2.
17 Trong không gian P2[x], cho các vectơ
v1= 1 + x + 2x2, v2 = 1 − x2, v3= 3 + x
Tìm m để v = 3 − 2x + mx2∈ Span{v1, v2, v3}.
18 Tìm số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm hệ phương trình:
3x1+ x2+ 12x3+ 11x4 = 0
−2x1+ 4x2− x3− 5x4 = 0
x1+ x2+ 5x3+ 4x4 = 0
19 Tìm a, b để không gian nghiệm của hệ sau có chiều là 1:
(1 + 2b)x + (a + 5)y + 2z = 0 (2b − 1)x + (a + 2)y + z = 0