1 Sử dụng công thức M aclaurin:
a) Tìm khai triển hữu hạn cấp 6 trên lân cận điểm 0 của hàm số
f (x) = cos (sin x) b) Tìm khai triển hữu hạn cấp 5 trên lân cận điểm 0 của các hàm số
g(x) = 1
cos x; h(x) = tan x c) Tìm khai triển hữu hạn cấp 4 trên lân cận điểm 0 của hàm số
f (x) = ln(2 cos x + sin x)
2 Tính giới hạn (Sử dụng công thức M aclaurin)
a) lim
x→0
1 sin2x− 1
x2
b) lim
x→0
tan x
x
1
sin2 x
c) lim
x→0(2x+ 3x− 5x)2x+3x−2.5x1
d) lim
x→0
h
x3− x2+ x
2
e1x −√x6+ 1i
3 Áp dụng định lý Lagrange, chứng minh:
x
x + 1 < ln(1 + x) < x ∀x > 0
4 Chứng minh các bất đẳng thức:
a) |sin x − sin y| ≤ |x − y|
b) a − b
a < ln
a
b <
a − b
b nếu 0 < b < a c) pyp−1(x − y) ≤ xp− yp ≤ pxp−1(x − y) nếu 0 < y < x
5 Tính các đạo hàm
a) Cho f (x) = x + (x − 1) arcsinp x
x+1 Tính f0(1) b) Cho f (x) = (x − 1)(x − 2)2(x − 3)3 Tính f0(1), f0(2), f0(3)
1
Trang 26 Tính đạo hàm của các hàm số sau
a, y = ln2(arctanx
3) b, y = arcsin (
2x
x2+ 1)
s
x3(x2+ 1)
5
√
5 − x
7 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau
a, y = 1
x2− 3x + 2 b, y =
x
3
√
1 + x e, y = e
xcos x
c, y = lna + bx
a − bx d, y = x cos αx f, y = x
2ln(1 − 3x)
8 Cho f (x) = xn−1e1x, chứng minh
f(n)(x) = (−1)n e
1 x
xn+1
Với n = 1, 2,
9 Cho f (x) = x2e−xa , chứng minh:
f(n)(0) = (−1)
nn(n − 1)
an−2
Với n ≥ 2
2