ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH1.. Cho ℘R là không gian các hàm biến thực khả tích và khả vi.. Cho f là một toán tử tuyến tính trên không gian V và hệ vectơ x1, x2,.. , xn độc lập tuyến tính... a Tìm
Trang 1ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1 Các ánh xạ nào dưới đây là ánh xạ tuyến tính:
(a) f (x, y, z) = (z, −y, x)
(b) f (x, y, z) = |x| , 0, −y
(c) f (x, y, z) = (y, z, 0)
(d) f (x, y, z) = (x − 1, x, y)
(e) f (x, y, z) = (2x, y − 2, 3y)
(f) f (x, y, z) = (2x, y, 3y)
2 Tồn tại hay không ánh xạ tuyến tính f : R4 −→R4 thỏa mãn
f (0, 1, 1) = (3, 1, −2), f (1, 0, 1) = (4, −1, 1)
f (1, 1, 0) = (−3, 2, 1), f (1, 1, 1) = (3, 4, 2)
3 Tìm ánh xạ tuyến tính f : R2 [x] −→R2 [x] xác định bởi:
f (1) = 1 + x, f (x) = 3 − x2, f (x2) = 4 + 2x − 3x2
4 Cho ℘(R) là không gian các hàm biến thực khả tích và khả vi Với hai số
b, c ∈R, xét ánh xạ T : ℘(R) −→R2:
T (p) =
3p(4) + 5p0(6) + bp(1)p(2),
2
Z
−1
x3p(x) dx + c sin p(0)
Tìm b, c để T là ánh xạ tuyến tính
5 Cho ánh xạ tuyến tính T : R2 −→R2 xác định bởi T (x1, x2) = (x2, −x1) Tìm tất cả các tập con W của R2 thỏa mãn T (W ) ⊂ W
6 Cho f là một toán tử tuyến tính trên không gian V và hệ vectơ x1, x2, , xn
thỏa mãn
f (x1) = x1
f (xk) = xk− xk−1 (k = 2, , n − 1)
Chứng minh rằng hệ x1, x2, , xn độc lập tuyến tính
7 Cho ánh xạ tuyến tính f : R4−→R3 xác định bởi
f (x, y, s, t) = (x − y + s + t, x + 2s − t, x + y + 3s − 3t)
Trang 2(a) Tìm cơ sở và số chiều của Im f
(b) Tìm cơ sở và số chiều của ker f
8 Cho toán tử tuyến tính f : R3 −→R3 xác định bởi
f (x 1 , x 2 , x 3 ) = (3x 1 + 5x 2 + 2x 3 , 4x 1 + 7x 2 + (m + 1)x 3 , x 1 + x 2 − 4mx 3 )
(a) Tìm m để f không là đẳng cấu
(b) Với m vừa tìm được, hãy tìm cơ sở và số chiều của ker f, Im f
9 Cho ánh xạ T : R2−→R thỏa mãn T (1, 1) = 3 và T (0, 1) = −2
(a) Tìm công thức của T
(b) Tìm T (8, 2) và T−1(6)
(c) Hỏi T có phải đơn cấu không?
10 Cho V là không gian vectơ trên F vàT1, T2: V −→ V là các ánh xạ tuyến tính thỏa mãn
T1◦ T2= T1 và T2◦ T1 = T2
Chứng minh rằng ker T1 = ker T2
11 Tìm hạng của ánh xạ tuyến tính T : P3[x] −→ P3[x] xác định bởi:
T (P (x)) = P (X + 1) − P (X)
12 Cho f : R3 −→ R3 là ánh xạ tuyến tính Hỏi f có phải đồng cấu không nếu
nó thỏa mãn
(a) f (1, 1, 1) = (1, 1, 1), f (1, 2, 3) = (−1, −2, −3), f (1, 1, 2) = (2, 2, 4)
(b) f (1, 1, 1) = (1, 1, 1), f (2, 2, 3) = (3, 3, 5), f (1, 1, 2) = (2, 2, 4)
13 Cho T : R3 −→R3 định nghĩa bởi T (x, y, z) = (2x, 4x − y, 2x + 3y − z)
(a) Chứng minh rằng T là đẳng cấu
(b) Tìm T−1(2, 4, 6)
(c) Tìm T−2
14 Cho ánh xạ tuyến tính T : P3[x] −→ P5[x] xác định bởi
T (P (x)) = P (X) + X2P (X)
Chứng minh rằng T không phải là toàn cấu
15 Cho ánh xạ tuyến tính T : R4−→R2 thỏa mãn:
ker T =
n
(x1, x2, x3, x4) ∈R4 | x1= 5x2 và x3= 7x4
o
16 Tìm ma trận của ánh xạf : R3−→R4có ảnh làSpan{(1, 2, 0, −4), (2, 0, −1, −3)}
Trang 317 Trong không gian R3, cho hai hệ vectơ
U = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 3)}
V = {(2, 1, −1), (3, 2, −5), (1, −1, m)}
(a) Tìm m để V là một cơ sở của R3
(b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ U sang V
18 Cho ánh xạ tuyến tính ϕ : R3−→R2 xác định bởi
ϕ(x, y, z) = (3x + 2y − 4z, x − 5y + 3z)
(a) Tìm ma trận biểu diễn ϕ theo cặp cơ sở S và T, trong đó
S = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} và T = {(1, 3), (2, 5)}
(b) Chứng minh rằng [ϕ(v)]T = [ϕ](S,T ) [v]S
19 ChoL : R2 −→R2là toán tử tuyến tính quay mỗi vectơv ∈R2 một gócθ = π
2 Tìm trị riêng, vectơ riêng của L?
20 Cho ánh xạ T : V −→ V có các vectơ riêng v1, v2, , vn ứng với các giá trị riêng λ 1 , λ 2 , , λ n Chứng minh rằng v 1 , v 2 , v n độc lập tuyến tính
21 Cho λ là trị riêng của toán tử tuyến tính T Chứng minh rằng, với mọi đa thức f (t), ta đều có f (λ) là trị riêng của f (T )
22 Cho ma trận A =
1 −3 3
3 −5 3
6 −6 4
(a) Tìm một cơ sở của các không gian riêng của A
(b) A có chéo hóa được không?
23 Ánh xạ tuyến tính f : R3 −→R3 xác định bởi
f (x1, x2, x3) = (x1+ x2+ x3, 2x2+ x3, 2x2+ 3x3)
có chéo hóa được không?
24 Các toán tử tuyến tính f : R3 −→R3 sau có chéo hóa được không? Tìm cơ sở chéo hóa (nếu có) cho mỗi toán tử tuyến tính
(a) f (x, y, z) = (x + y, y + z, −2y − z)
(b) f (x, y, z) = (x − y + z, x + y − z, −x + y + z)
(c) f (x, y, z) = (x − y, y − z, x + z)
25 Tìm tất cả số a ∈R để ma trận A =
2 1 −2
1 a −1
1 1 −1
chéo hóa được
26 Tính An biết A =