KHÔNG GIAN EUCLIDE1.. Hãy cho biết đây có là tích vô hướng trên V không?. Phép biến đổi f của không gian Euclide biến đổi mỗi vectơ u thành f u = hu, aia, trong đó a là một vectơ cố định
Trang 1KHÔNG GIAN EUCLIDE
1 Hãy chứng tỏ rằng không gian tuyến tính thực của các hàm thực, liên tục trên đoạn [a, b] là Euclide với tích vô hướng cho bởi
hf (x), g(x)i =
Z b a
f (x)g(x)dx
(a) Tìm độ dài của vectơ f (x) = x
(b) Tìm tích vô hướng của hai vectơ f (x) = x, g(x) = ex
(c) Tìm góc giữa các vectơ f (x) = 1, g(x) = x
2 Trong không gian tuyến tính thực của các ma trận cấp 1 × n mỗi cặp vectơ
u =
x 1
x2 .
x n
, v =
y 1
y2 .
y n
đặt tương ứng với một số x 1 y 1 + + x n y n Hãy cho biết đây có là tích vô hướng trên V không?
3 Trong không gian Euclide các ma trận cấp 1 × 4 hãy dựng một cơ sở trực chuẩn theo cơ sở đã cho sau
(a) u1=
1 1 0 0
, u2=
0 0 1 1
, u3 =
1 0 1 1
, u4 =
0 1 0
−1
(b) u1=
1 0 0 2
, u2=
−1 0
−1 0
, u3 =
0 0 2 1
, u4 =
0 1 1 1
4 Phép biến đổi f của không gian Euclide biến đổi mỗi vectơ u thành f (u) =
hu, aia, trong đó a là một vectơ cố định của không gian này, có là tuyến tính không?
5 Hãy tìm phép biến đổi trực giao đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc và viết dạng chính tắc đó
(a) ϕ(x 1 , x 2 , x 3 ) = 5x21+ 9x22+ 9x23− 12x 1 x 2 − 6x 1 x 3
(b) ϕ(x1, x2, x3) = 3x21+ 3x22− 2x1x2+ 4x1x3+ 4x2x3
Trang 26 Tìm phép biến đổi trực giao đưa mỗi dạng toàn phương sau về dạng chính tắc và viết dạng chính tắc đó
(a) ϕ(x 1 , x 2 , x 3 ) = 2x21+ x22+ 3x23− 4√2x24
(b) ϕ(x 1 , x 2 , x 3 ) = 3x21+ 3x22− 2x 1 x 2 + 4x!x 3 + 4x 2 x 3
7 Trong mặt phẳng tọa độ, đưa phương trình sau về dạng chính tắc
(a) 25x2− 14xy + 25y 2 − 64x + 64y − 512 = 0
(b) 3x2+ 10xy + 3y2+ 2x + 14y − 13 = 0
8 a) Cho dạng song tuyến tính trên R3 xác định bởi
h(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)i = ax1y1+ 2x1y2+ 2x2y1+ 3x2y2− x2y3− x3y2+ x3y3
(a là tham số) Tìm ma trận của dạng song tuyến tính trên đối với cơ sở chính tắc của R3 và tìm điều kiện của a để dạng song tuyến tính là một tích vô hướng trên R3
b) Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp trực giao
h = 3x21+ 3x22+ 3x23− 4x1x 2 − 4x1x 3 − 4x2x 3
9 a) Cho dạng song tuyến tính trên R3 xác định bởi
h(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)i = 2x1y1+ x1y2+ x2y1+2y2− 2x2y3− 2x3y3+ 3x3y3
(a là tham số) Tìm ma trận của dạng song tuyến tính trên đối với cơ sở chính tắc của R3 và tìm điều kiện của a để dạng song tuyến tính là một tích vô hướng trên R3
b) Cho cơ sở B = {(1, 1, −2), (2, 0, 1), (1, 2, 3)} trong không gian R3 với tích
vô hướng chính tắc Trực giao hóa Gram Schmidt cơ sở B để thu được
cơ sở trực chuẩn B0 và tìm tọa độ của vectơ u = {5, 8, 6} đối với cơ sở B0
10 Xét không gian R3 với tích vô hướng thông thường
a) Cho hai vectơ u1 = (1, −1, 2), u2 = (1, −2, 5) Tìm vectơ u thỏa mãn
hu, u1i = 25; hu, u2i = 56
b) Đưa dạng toàn phương
ϕ(x1, x2, x3) = 2x21+ 2x22+ 5x23− 2x1x2− 4x1x3+ 4x2x3
trong đó (x1, x2, x3) ∈R3 về dạng chính tắc bằng phương pháp trực giao
11 Xét không gian R3 với tích vô hướng thông thường
a) Cho hai vectơ u1 = (−1, 2, 1), u2 = (2, −5, 1) Tìm vectơ u thỏa mãn
hu, u1i = 29; hu, u2i = −63
Trang 3b) Đưa dạng toàn phương
ϕ(x1, x2, x3) = 3x21+ 3x22+ 3x23− 2x1x2− 2x1x3− 2x2x3
trong đó (x1, x2, x3) ∈R3 về dạng chính tắc bằng phương pháp trực giao
12 Chéo hóa trực giao các ma trận sau
A =
1 0 0
0 1 1
0 1 1
−7 24
24 7
b)
C =
d)
13 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp trực giao (a) x21+ x22+ x23+ 2x1x2
(b) 7x21− 7x 2
2 + 48x1x2
(c) 2x21+ 2x22+ 3x23− 2x1x2− 2x1x3
14 Giả sử T là toán tử tuyến tính T : V −→ V thỏa mãnkT vk ≤ kvk với mọi
v ∈ V Chứng minh rằng T − √
2 I là ánh xạ khả nghịch, biết I là ánh xạ đơn vị
15 Giả sử u, v ∈ V vàkuk ≤ 1 vàkvk ≤ 1 Chứng minh rằng
q
1 −kuk2
q
1 −kvk2≤ 1 − hu, vi
16 Giả sử p > 0 Chứng minh rằng tồn tại tích vô hướng trên R2 sao cho nó có chuẩn tương ứng là
(x, y) = (xp+ yp)1p
với mọi (x, y) ∈R2 khi và chỉ khi p = 2
17 Tìm đa thức q bậc 2 khả tích hệ số thực thỏa mãn
p
1 2
=
Z 1 0
p(x)q(x) dx
với mọi đa thức p bậc 2 khả tích hệ số thực
18 Tìm đa thức q khả tích hệ số thực thỏa mãn
Z 1 0
p(x)(cos πx) dx =
Z 1 0
p(x)q(x) dx
với mọi đa thức p khả tích hệ số thực
Trang 419 Trong R4, gọi
U = span{(1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 2)}
Tìm u ∈ U sao cho u − (1, 2, 3, 4) đạt giá trị nhỏ nhất%bài 11
20 Tìm đa thức p bậc 3 khả tích hệ số thực thỏa mãn p(0) = 0, p0(0) = 0 sao cho
Z 1 0
2 + 3x − p(x)
2
dx
đạt giá trị nhỏ nhất