BÀI TẬP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Các công thức tích phân thông dụng
Z
xαdx =
xα+1
ln|x| + C α = −1
(1)
Z
axdx = a
x
Trường hợp a = e,
Z
exdx = ex+ C Z
Z
Z
dx
Z
dx
Z
dx
Z
dx
√
x2+ a2 = 1
aarctan
x
√
a2− x2 = arcsinx
√
x2± a2 = ln
x +√
x2± a2
x2± a2dx = x
2
√
x2± a2± a
2
2 ln
x +√
x2± a2
a2− x2dx = x
2
√
a2− x2+a
2
2 arcsin
x
Z
dx
sin x = ln
tanx 2
cos x = ln
tan x
2 +
π 4
Z
Z
1
Trang 2Phương pháp đổi biến
Z
1
1 + ex dx
1)
Z
(x2− 1) dx (x4+ 3x2+ 1) arctanx
2+ 1 x 2)
a2− x2
x4 dx x > 0
3)
a2sin2x + b2cos2x (a, b 6= 0) 4)
Z
1 + ln x
3 + x ln xdx
5)
Z
x dx
x8− 1 6)
Phương pháp tích phân từng phần
Z
x3+ 1 cos x dx
1)
Z 3x2+ 6x + 5 arctan x dx 2)
Z
e5xcos 4x dx
3)
Z sin x ln (tan x) dx 4)
Z
lnx +√
x2+ 1dx 5)
Z arctan√
x dx 6)
Tích phân phân thức hữu tỉ
x3+ 1
1)
Z x3+ 1 x(x − 1)3 dx 2)
Z x4+ 4x3+ 11x2+ 12x + 8
(x2+ 2x + 3)2(x + 1) dx
3)
Z x4− 3x2− 3x − 2
x3− x2− 2x dx 4)
(x2+ 1)(x2+ 4)
5)
(1 + x)(1 + x2)(1 + x3) 6)
Một số tích phân có thể hữu tỉ hóa
Z
dx sin x (2 + cos x − 2 sin x)
1)
Z cos5x sin x dx 2)
Z 2 tan x + 3
sin2x + 2 cos2xdx
3)
Z x +√3
x2+√6
x
x 1 +√3
x dx 4)
√
1 − 2x −√4
1 − 2x 5)
(x − 1)√
−x2+ 2x + 3 6)
4 sin x + 5 cos x + 5
7)
Z p (x − 1)3dx 8)
2
... 6)Tích phân phân thức hữu tỉ
x3< /small>+
1)
Z x3< /small>+ x(x − 1)3< /small> dx 2)
Z x4+ 4x3< /small>+ 11x2+...
Phương pháp tích phân phần
Z
x3< /sup>+ 1 cos x dx
1)
Z 3x2+ 6x + 5 arctan x dx 2)
Z
e5xcos 4x dx
3)
Z... 12x +
(x2+ 2x + 3) 2(x + 1) dx
3)
Z x4− 3x2− 3x −
x3< /small>− x2− 2x dx