SỰ đơn điệu HÀM SỐ

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số a.. Tìm các điểm x i i1, 2,...,n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định - Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên -

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

Cho hàm số y  f x  xác định trên K (K là một khoảng, một nửa khoảng hay một đoạn)

a Hàm số y f x  gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu

2 Điều kiện cần và đủ hàm số đơn điệu:

Định lý: Cho hàm số y f x  xác định và có đạo hàm trên I thì:

+ Nếu f' x 0,  thì hàm số tăng trên I x I

+ Nếu f' x 0,  thì hàm số giảm trên I x I

+ Nếu f' x 0,  thì hàm số không đổi trên I, tức là x I f x C,  x I

Ta có mở rộng của định lí như sau: Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên khoảng I

+ Nếu f' x 0,  và x I f ' x 0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng I, thì f x đồng biến trên  

khoảng I

+ Nếu f' x 0,  và x I f' x 0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng I, thì f x nghịch biến trên  

khoảng I

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

A Bài toán đơn điệu không chứa tham số

Dạng 1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

a Phương pháp:

- Tìm tập xác định

- Tính đạo hàm f ' x Tìm các điểm x i i1, 2, ,n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

- Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

- Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số dựa vào bảng biến thiên

Một số chú ý khi giải toán:

Chú ý 1: Về tính đơn điệu của một số hàm

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

 

 

f x Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a

 Nếu   thì tam thức có hai nghiệm phân biệt 0 x x1, 2, ta có bảng xét dấu:

x 

1

x x  2

 

f x Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

 Đối với tam thức từ bậc 3 trở lên ta xét dấu theo nguyên tắc:

 Thay 1 điểm x   o gần x n bên ô phải của bảng xét dấu vào f x  và xét theo nguyên tắc:

Dấu của f x  đổi dấu khi đi qua nghiệm đơn, bội lẻ và không đổi dấu khi qua nghiệm bội chẵn

 Nghiệm bội chẵn là có dạng x a n (với 0 n 2, 4,6, ) Nghiệm đơn x b 0, bội lẻ có dạng x b n 0 (với n 1,3,5, )

Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số nghịch biến trên khoảng 1;3 Chọn đáp án B

Nhận xét: Cách giải trên là giải theo tự luận, còn giải theo trắc nghiệm ta làm như sau:

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

A Hàm số nghịch biến trên các khoảng 2; 0 và 2; 

B Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 2 và 0; 2

C Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2 và 2; 

D Hàm số đồng biến trên các khoảng 2; 0 và 2;  

y  

y

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên  ; 1 và   Chọn đáp án A 1; 

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

  Do đó để giải nhanh theo kiểu loại trừ như sau:

- Đáp án D sai vì hàm số không thể đồng biến trên 

- Đáp án C sai vì hàm số chỉ đồng biến hoặc nghịch biến chứ không có vừa đồng biến và nghịch biến

 suy ra hàm số đồng biến trên  ; 1 và   1; 

Nhận xét 2: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta chỉ cần nhớ như sau: Với hàm y ax b

cx d





 thì dấu của '

y phụ thuộc vào adbc và hàm số chỉ đơn điệu trên ; d

  nên ta chỉ cần tính

adbc và kết luận ngay được tính đơn điệu

Nhận xét 3: Với hàm số này người ta có thể bẫy ở các đáp án sau

Hàm số đơn điệu trên tập xác định; hàm số đơn điệu trên \ d

- Khi sử dụng trục cần chú ý, hàm số không xác định tại x 0, do đó hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng

2; 0 và 0; 2 chứ không phải là nghịch biến trên khoảng 2; 2

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

5

12

x

x x

và 2;1 Chọn đáp án B

Nhận xét: Với hàm

2

ax bx c y

vào Ax2Bx C 0, và thường xảy ra hai trường hợp hoặc vô nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt, do

đó khi làm trắc nghiệm ta chỉ cần tính nhanh ra Ax2Bx C 0 theo công thức tính nhanh và lập trục xét dấu

Ví dụ 6 (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017)

Cho hàm số y f x  có bảng xét dấu đạo hàm như

sau Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A Hàm số đồng biến trên khoảng 2; 0

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

B Hàm số đồng biến trên khoảng ; 0

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2 

D Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2





 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

x

x x

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên  ; 1 Chọn đáp án D

Ví dụ 8 Hàm số y x22x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến trên ; 0 và đồng biến trên 2; 

Ví dụ 9 Hàm số y2 sinxcos 2 , x x0; đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

61

2

6

x x

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

- Tại x   và 1 x  hàm số không có đạo hàm vì đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại các điểm đó 3không bằng nhau

Ví dụ 11 (Sở GD và ĐT Bắc Giang năm 2017) Hàm số

211

y x

 



 , (m là tham số) Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định

B Hàm số đồng biến trên khoảng   ; 

Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Chọn đáp án A

Nhận xét: Với những bài toán chứa tham số thì ta cho m bằng một số bất kì và khảo sát tính đơn điệu thì

kết quả vẫn không thay đổi, giả sử cho

f x x     Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x

A Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0

B Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

D Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 

nào dưới đây là đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1

B Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

D Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 

Giải

Dựa vào đồ thị ta thấy:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 1 và 1;  

Hàm số nghịch biến trên khoảng1;1 Chọn đáp án C

Ví dụ 14 [NTL] Cho hàm số y f x  có đạo hàm    2    2 

f x  x  x x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1

B Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

C Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;3

D Hàm số đồng biến trên khoảng 1;3

A Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2

B Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2

C Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1

D Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

Dựa vào trục ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1 và 0;1

Hàm số đồng biến trên khoảng 1; 0 và 1; 

Nhận xét: Sau khi vẽ trục xong học sinh không biết chọn đáp án nào số  ở đâu, làm gì phải là nghiệm 2của 'y mà xét đơn điệu, thực ra câu này là câu bẫy, vì hàm số nghịch trên khoảng  ; 1 mà

 ; 2   ; 1 Do đó đáp án đúng là đáp án B

Dạng 2 Tìm các hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên miền I

a Phương pháp: Tuỳ vào đặc điểm cấu trúc từng hàm để chúng ta có thể dùng loại trừ hoặc đạo hàm ra

và dựa vào định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số

- Với hàm yax4bx3cxd và yax2bx c luôn có ít nhất một khoảng đơn điệu

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

Ví dụ 16 (Trường THPT Kim Sơn A lần 2 năm 2017) Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên





34

- Đáp án A sai vì y'4x38x chưa chắc đã lớn hơn 0 với mọi x

- Đáp án B sai vì hàm phân thức bậc 1/bậc 1 chỉ đơn điệu trên từng khoảng chứ không thể đơn điệu trên khoảng   ; 

- Đáp án D sai vì y'2x4 chưa chắc đã lớn hơn 0 với mọi x

y  x        hàm số đồng biến trên x

Nhận xét: Có thể dùng phương pháp loại trừ như sau:

- Với hàm yax4bx3cxd và yax2bx c luôn có ít nhất một khoảng đơn điệu nên loại ngay được đáp án A và C

Ví dụ 17 (Trường THPT Trần Hưng Đạo – HCM năm 2017) Hàm số nào sau đây là hàm số nghịch

biến trên khoảng   ? ; 

A yx33x22 B y 2x3x2 x 2

C y x42x22 D 3

1

x y x

- Đáp án C sai vì hàm trùng phương luôn có ít nhất khoảng đơn điệu

- Đáp án D sai vì hàm phân thức bậc 1/bậc 1 luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định

- Đáp án A sai vì có hệ số x3 dương nên không thể nghịch biến trên khoảng   ; 

- Đáp án B đúng vì y' 6x22x 1 0,    nên hàm số nghịch biến trên khoảng x  ; 

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

3   

y đồng biến trên tập xác định của nó Chọn đáp án D

B Bài toán đơn điệu chứa tham số

Dạng 1 Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng   ; 

- Ngoài cách giải tổng quát trên ta có thể sử dụng công thức tính nhanh như sau

Hàm số đồng biến trên khoảng   ; 

2

00

0

a b c

0

a b c

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

Ta có y'x22mx 2 m Hàm số đồng biến trên khoảng   ; 

Hàm số đồng biến biến trên khoảng  ; y0,    x  ; 

- Với m   , ta có 2 y  7 0,   x  ;  nên m   thì hàm số đồng biến trên khoảng 2   ; 

4

m m

    thì hàm số đồng biến trên khoảng   Chọn đáp án D ; 

Nhận xét: Để giải theo kiểu trắc nghiệm ta sử dụng công thức tính nhanh như sau

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

m a

12

1

42

4

m

m m

A  1 m0 B  1 m0 C m 0 m 1 D  1 m0

Giải

Ta có y 3mx26mx Hàm số nghịch biến trên khoảng 3  ;  y0,    x  ; 

- Với m 0, ta có y   3 0,    nên x  ;  m 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 

- Với m 0, ta có y 0,    x  ; 

20

Chọn đáp án D

Nhận xét: Ta cũng có thể sử dụng công thức tính nhanh như ví dụ trên

Ví dụ 24 (Trường THPT Kim Sơn A lần 2 năm 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm

số ymxsin 3x đồng biến trên khoảng   ; 

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

Vậy 1 m thỏa yêu cầu bài toán Chọn đáp án B 1

Cách 2 Để hàm số đồng biến trên khoảng   ; 

Ví dụ 26 (Trường THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai năm 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của

tham số m để đồ thị hàm số ysinxcosxmx đồng biến trên khoảng   ; 

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

- Tập xác định D \ m

- Đạo hàm

2 2

 với m là tham số Gọi S

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định Tìm số phần tử của S

 Tìm tập hợp các giá trị của tham số m

để hàm số đồng biến trên khoảng xác định của nó?

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

TH 2: m  1 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi y'0, x m

Vậy với m  1 thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn đáp án D

Dạng 3 Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền K

;

ad bc

a b c

;

ad bc

a b c

Chú ý: Ta có thể sử dụng công thức tính nhanh khi làm trắc nghiệm như sau

- Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

 

0

;

ad bc d

a b c

a b c

* Với hàm đa thức bậc 3 hoặc hàm phân thức bậc 2/bậc 1 hoặc một hàm bất kì nào khác mà việc tách

tham số một cách dễ dàng thì ta làm theo “phương pháp tổng quát” sau:

Bước 1: Tìm miền xác định của y' f ' x

Bước 2: Độc lập (tách) m (hay biểu thức chứa m ) ra khỏi biến x và chuyển m về một vế Đặt vế còn

lại là g x Lưu ý khi chuyển vế thành phân thức thì phải để ý điều kiện xác định của biểu thức để khi  xét dấu g' x ta đưa vào bảng xét dấu g' x

Tức là: Ta tách thành một trong hai loại h m g x , x K hoặc h m g x , x K

Bước 3: Tính g' x Cho g' x 0 và lập bảng biến thiên của g' x

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

- Trong quá trình tách m sẽ phải chia cho biểu thức của x, cần phải căn cứ vào khoảng cho trước đó

để xác định được dấu biểu thức của x, tức là nếu biểu thức của x dương thì không đổi chiều, âm thì

22

2

m m

22

m c

m m

m m

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

Ví dụ 33 (Sở GD và ĐT Điện Biên năm 2017) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

t y

2 21

m m

m m

e y

m m

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

- Ví dụ tiếp theo đây sẽ xét các bài toán mà việc tách tham số m không đơn giản, khi đó ta sử dụng

định lý về dấu của tam thức bậc hai

Ví dụ 38 (Sở GD và ĐT Phú Thọ năm 2017) Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

Ta có y'x22m1xm22 ;m y' có ' 10   nên có hai nghiệm phân biệt 1  

Ví dụ 39 Tập các giá trị thực của tham số m để hàm số 3   2  2  2

- Để hàm số đồng biến trên 2;  thì x1x22 Đặt tx2 quy về so sánh với số 0

Ví dụ 40 Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số yx3m1x22m1xm2 đồng biến 2trên nửa khoảng 3;

2

 

 

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

x

 1 3

2 

 '

 

g x

11

4

Từ bảng biến thiên ta có 3  

; 2

   thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   ; 

- Với m 2 thì hàm số đã cho đồng biến đồng biến trên nửa khoảng 3;

Ví dụ 41 (Trường THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội lần 2 năm 2017) Tìm tập hợp các giá trị của tham

số thực m để hàm số y x2 1 mx1 đồng biến trên khoảng   ; 

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

2

1

11

x x

Ví dụ 42 (Trường THPT Chuyên Lam Sơn lần 2 năm 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

x   1  1

 '

g x  0  0 

0 1

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

 Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m Giải phương trình theo m, so

với điều kiện (1) để chọn nghiệm

Chú ý: Phương trình ax2bx c 0 a0 nếu có hai nghiệm x x1, 2 thì x1 x2

Cách 2 Theo công thức tính nhanh

m m

m a

Cách 3 Thử đáp án

Đáp án A chứa C và D nên t thử với đáp án A trước

- Với m 0 y'3x2 3 0x 1 thoả mãn x1x2 2 nên B loại

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

Ví dụ 45 (Trường THPT Hàn Thuyên lần 2 năm 2017) Cho hàm số

3

23





 



Chú ý: Có thể thử đáp án với m 7 hoặc m  1 để được 2 nghiệm phân biệt sao cho hiệu hai nghiệm lớn hơn 3

C ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM HỢP

Lưu ý : Công thức thứ hai trong định lí trên còn được viết gọn là gx'  f uu'. x'

Câu 1: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f (x) xác định trên  và có đạo hàm f  (x) thỏa mãn f(x)1xx2  .g x 2018 trong đó g x 0,   x

Hàm số y f(1x)2018x2019 nghịch biến trên khoảng nào?

A 1; B  0;3 C ;3 D 3;

Lời giải

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

Câu 2: (THPT NEWTON HÀ NỘI-2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: ( )

Hàm số y f x( 22) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

x x x

y f x nghịch biến trên khoảng 2; 

Câu 3: (CHUYÊN HẠ LONG-LẦN 2-2018) Cho hàm số y f x  Hàm số y f x có đồ thị như hình bên Hàm số  2

y f xx nghịch biến trên khoảng nào dưới đây

Gv : Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404

Câu 4: (THPT Phan Chu Trinh - Đaklak - L2 - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm trên  và  

có đồ thịy f x như hình vẽ Xét hàm số g x  f x 22 Mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số g x nghịch biến trên  1; 0 B Hàm số g x nghịch biến trên    

C Hàm số g x nghịch biến trên0; 2 D Hàm số g x đồng biến trên   

Lời giải

Chọn A