CHUYÊN ĐỀ: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,

111Equation Chapter 1 Section 1SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC,TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT1/ ĐẶT VẤN

111Equation Chapter 1 Section 1SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC,TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

1/ ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1/ Lý do chọn đề tài

Trong môn toán ở trường THPT các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ngày càng được quan đúng mức vµ có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vào vẽ đẹp độc đáo của các phương pháp giải chúng Để giải được một phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, bé nhất có thể sử dụng nhiều kiến thức khác nhau và giải bằng nhiều phương pháp khác nhau, trong đó phương pháp sử sụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình là một phương pháp hết sức thú vị Phương pháp này tuy không là chìa khoá vạn năng để giải mọi bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, bé nhất và chưa chắc là phương pháp thích hợp nhất nhưng nó lại có nét lý thú, độc đáo riêng của nó, giúp Học Sinh thấy được sự liên hệ mật thiết giữc các kiến thức toán học.Qua đó trang bị cho Học Sinh thêm nhiều phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, bé nhất trong các đề thi Đại Học, cũng như trong các cuộc thi Học Sinh giỏi.Đây chính là lý do tôi chọn đề tài này

1.2/Mục đích của đề tài

Chuyên đề trình bày theo từng phần, trong từng phân là các ví dụ cụ thể.Qua các ví dụ

đó giúp Học Sinh nâng cao thêm về định hướng phương pháp giải toán, đồng thời qua lờigiải của từng ví dụ giúp Học Sinh hình thành phương pháp giải phương trình, bất phươngtrình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phương pháp sử dụngtính đơn điệu của hàm số, và cũng đồng thời qua các ví dụ đó giúp Học Sinh thấy được

độ hiệu quả của phương pháp này

Chuyên đề còn góp phần phát huy trí thông minh, tính sáng tạo, khả năng tư duy linhhoạt, có được các suy luận logic, chính xác, tinh thần vượt khó

1.3/ Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu về cơ sở lý luận có liên quan đến đề tài

- Nghiên cứu các dạng thức toán nhằm rút ra phương pháp giải

- Tích lũy kinh nghiệm thường xuyên trong quá trình giảng dạy luyện thi Đại Học cũngnhư trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi và trong quá trình tự học tự bồi dưỡng của cánhân

1.4/Đối tượng nghiên cứu

- Các tài liệu: Sách giáo khoa, sách tham khảo, các đề thi ĐH và HSG

- Học sinh lớp 12 và học sinh các đội tuyển HSG

1.5/Những đóng góp mới của đề tài

- Về mặt lý luận, đề tài xây dựng hệ thống lý thuyết cần thiết và tư duy phương pháp sử

dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình,chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, bé nhất để giải quyết các bài toán trongluyện thi Đại học cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi toán.Đồng thời, thông qua chuyên đềhình thành kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh

Nếu hàm số tăng và liên tục trên (a; b) thì ta có

Định lí 6: Nếu hàm số giảm và liên tục trên (a; b) thì ta có .

x

là nghiệm của pt (1)

 pt (1) có nghiệm duy nhất

1 2

x (ĐL 1)

Bài 2: Giải phương trình Log( (2)

LG: Điều kiện x>2

(2)

Xét hàm số: = hàm số đồng biến (2;

hàm số nghịch biến (2;

Mặt khác ta thấy x=3 là một ngiệm của pt (2)

 phương trình (2) có nghiệm duy nhất x=3 (đl2)

Bài 3: Giải phương trình (3)

Do đó phương trình (4) có nghiệm duy nhất x = 7

Bài 5:Giải phương trình x 1  x3 4x 1 (5)

Do đó phương trình (5) có nghiệm duy nhất x= 2

 phương trình có nghiệm duy nhất x=2

Bài 6: Giải phương trình 2 4x2  x 1 2x3 23 x2 x3 9x24x4 (6)

LG

Dễ thấy x=0 là một nghiệm của phương trình

Trường hợp 1:Với x>0, chia hai vế phương trình cho x ta có:

Trường hợp 2:với x <0, chia 2 vế phương trinh (6) cho –x và làm tương tự trường hợp 1

ta đem về phương trình sau:

u6  8 3u u6  15 2 0 với u<-1 (do x<0) (6.4)

Nên ta có: g u( )  g( 1) 4 do đó phương trình (6.4) vô nghiệm

Vậy Phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x= 1

Bài 7: Giải phương trình (7)

Vậy x=-1/5 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài 11 Giải phương trình 9x228x21 x1 (11)

LG:

Điều Kiện: x�1

Vậy phương trình có nghiệm x 4 K

 pt f’x)=0 nếu có nghiệm thì nghiệm là duy nhất

 pt f(x)=0 nếu có nghiệm thì sẽ có nhiều nhất 2 nghiệm (ĐL3)

Mặt khác f(0)=f(1)=0 =>x=0; x=1 là hai nghiệm của pt (13)

Vậy phương trình có 2 nghiệm x=1, x=0

Bài 14: Giải phương trình (14)

Vậy phương trình (14) có hai nghiệm x=0; x=1

Bài 15: Giải phương trình 7x1 6log (6 7 x   5) 1 0 (15)

LG:

Điều kiện:

6 5

x

Đặt Log7(6x  5) y 1 � 7y1  6x 5 (15.1)Phương trình (15) trở thành: 7x16(y 1) 1 (15.2)

Lấy (15.2)-(15.1) ta có: 7x17y16y6x�7x16x7y16y (15.3)Xét hàm f t( ) 7 t16t Trên R

7

Ln

 �  

� Phương trình g x( ) 0 có nhiều nhất hai nghiệm

Mặt khác ta thấy x= 1, x=2 là nghiệm của phương trình (15.4)

KL: Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x =1, x=2

Trên đây là những bài toán về giải phương trình, sau đây tôi xin được đưa thêm một sốbài toán cũng về phương trình nhưng có liên quan đến tham số.

Bài 16: Tìm m để phương trình có nghiệm

Thay x=0 vào (17.1) ta thấy không thoã mãn

Do đó f’(x)=0 vô nghiệm => f’(x) không đổi dấu trên R

Mặt khác: f’(0)=1>0 =>

=> f(x) là hàm số đồng biến trên R

Ta có: ;

vậy phương trình có nghiệm khi

Bài 18: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt

Xét hàm

1 ( ) 3 4

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình x36x232m luôn có một nghiệm thuộckhoảng (2;�)với m>0.Do đó phương trình (19) luôn có hai nghiệm thực phân biệt khim>0

Bài 20: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt

0Dựa vào bảng biến thiên ta có: 0�g x( )� 2 �0 t 2

  

  t ��� �0; 2�

Ta có f t'( )  

2 2

2-1� �m 1 nên phương trình (21) có nghiệm khi và chỉ khi 2-1� �m 1

Bài 22: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

1 '( ) 6 2; '( ) 0 3 f t   t f t  � x Bảng biến thiên: t 0 1/3 1

f(t) + 0

-f’(t) 1/3 0 -1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(t) =m có nghiệm khi và chỉ khi 1 1 3 m   � Do đó phương trình (22) có nghiệm khi và chỉ khi 1 1 3 m   � Bài 23: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn 3 1;3 � � � � Log x32  Log x32  1 2m 1 0 (23)

(Khối A, 2002)

LG: Đặt t Log x32 1 � �t  1; 2 do x� 3 1;3 � � � � Phương trình (23) trở thành: t2  t 2 2m (23.1) Xét hàm: f t( )  t2 t 2 t� 1; 2 Ta có:

1 '( ) 2 1; '( ) 0 2 f t  t f t  �t  Bảng biến thiên t 1 2

f(t) +

f’(t) 4

0

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (23.1) có nghiệm khi và chỉ khi

0 2�m�4.Do đó phương trình (23) có nghiệm khi và chỉ khi 0� �m 2

Bài 24: Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a>b>c>0 Chứng minh phương trình

0

a b

x c



 có nghiệm duy nhất.

(HSG Hà Tĩnh, 2009)

LG:

Điều kiện x a�

2.2.2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: Giải bpt sau (ĐH Bách Khoa1999)

LG:

f   f 

�

3 3

3 1

1 5

� Phương trình (4) có nghiệm khi m

Bài 5 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình (5.1) có nghiệm khi và chỉ khi

m� 2.Do đó bất phương trình (5) có nghiệm khi và chỉ khi m� 2

Bài 6 Tìm m để bpt (6)

thoã mãn

1

;32

thì btp (6.1)đúng với mọi t

70;

ۣ

 (7.2) ( do t 2 0t ��� 2;3 2��)Xét hàm: f t( )

2

2

t t

 t ��� 2;3 2��

Ta có:

2 2

Xét hàm số: f( ) 3t  t t hàm số đồng biến và liên tục trên R

Khi đó pt (*) trở thành f x( ) f y( )� x y thay vào (2) ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm x=y=2; x=y=-2

Bài 2: Giải hệ phương trình sau

=> Pt (5) có nghiệm thì nghiệm là duy nhất

Dễ thấy t=1 là một nghiệm của pt (5)

=> thay vào pt (4) ta có

(4) (6)

Xét hàm là hàm số đồng biến

� Pt (6) nếu có nghiệm thì nghiệm là duy nhất

Dễ thấy y=-1 là một nghiệm của (6)

� y=-1 => x=0

KL: vậy hệ đã cho có nghiệm

Bài 3: Giải hệ phương trình sau

2 2

1 2

(KA 2010)

LG

Điều Kiện:

3452

x y

Xét hàm h y( ) y72y4 y 4  �y 0

Ta có: h y'( ) 7 y68y3 1 0  �y 0 � hàm số h(y) đồng biến 0;�

Mặt khác h(1) 0 � phương trình (17) có nghiệm duy nhất y 1 �x 2

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (1;0);(2;1)

Bài 6: Giải hệ phương trình sau

(HSG Lâm Đông 2013-2014)

LG

Điều kiện: 5x y  �2 0

Ta có:(18)� 3x (3 )x 2    1 y y2 1�3x (3 )x 2    1 ( y) ( y)21 (20) Xét hàm f t( ) t t21  �Rt

Ta có:

2 2

Đặt xcost, t� 0;

Khi đó phương trình (21) trở thành 2(4cos3t3cos )t  2 cost2

45

42

7

k t t t

k t



;-3cos

4 5



); (cos

4 7



;-3cos

4 7



)

Bài 7: Giải hệ phương trình sau

2 2

2

2

y Log x

LG

Điều kiện: x>0

Ta có do x>0 nên từ (23) => y <0

Khi đó (23) �4 1  x xy 4y2 �16(x 1) x y2 2(4y2)� y x4 24y x2 216(x 1) 0(24)

Ta xem phương trinh (24) là pt bậc hai với ẩn y2

2

2 2

2

4(24)

Do đo hàm số đồng biến trên (�;0)

Mặt khác f( 1) 0  nên y= -1 là nghiêm duy nhất của pt (23)

4

x

�

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm (4;-1)

Bài 8: Giải hệ phương trình

1

1

t t f

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( 1;1);(2; 2) 

Bài 9: Giải hệ phương trình sau

(27) (30)

Xét hàm với

Với x=y=z xét phương trình x33x 3 ln(x2  x 1) 0 (I)

Do hàm t(x)= x33x 3 ln(x2  x 1) 0 là hàm số đồng biến trên R =>t(x)=0 có nghiệm

duy nhất

Dễ thấy x=1 là nghiệm của phương trình (I)

Kl: x=y=z=1 là nghiệm duy nhất của hệ pt đã cho.

Bài 11 Giải hệ phương trình sau

Khi đó hệ phương trình được viết lại như sau:

Không mất tính tổng quát ta giả sử x = min{x, y, z} khi đó ta có

Do đó

Với thay vào hệ phương trình ta có: (II)

Do hàm số y = là hàm số nghịch biến (0;)

hàm số y =x là hàm số đồng biến (0;)

=> phương trình (II) có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Mặt khác ta thấy x=1/2 là một nghiệm của phương trình (II)

Do đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất: x=y=z=1/2

Bài 12: Giải hệ phương trình

2

3 2

3 2

Khi đó hệ phương trình (III) được viết lại như sau:

Không mất tính tổng quát ta giả sử x=Max{x, y,z}, ta xét hai trường hợp sau

Khi đó với thay vào (III) ta có: (**)

Dễ thấy phương trình (**) có nghiệm duy nhất x=3

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=y=z=3

Bài 13: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Hệ phương trình trở thành 3 3

8

�

�

Do đó a, b là hai nghiệm của hệ phương trình t2  5t 8 m (I)

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm thì (I) có hai nghiệm thỏa mãn t �2

Xét hàm f t( )  t2 5t 8 với t �2

Ta có

5 '( ) 2 5, '( ) 0

2

f t  t f t  �t

Bảng biến thiên:

t

-� -2 2

5 2 +�

f’(t) - - - 0 +

f(t) +� +�

22

2

7 4 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(t)=m có hai nghiệm thỏa mãn t �2 Khi và chỉ khi 7 2 4 � �m hoặc m�22 Vậy với 7 2 4 � �m , m�22 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm Bài 14: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 2 2 ( ) 0 x m y x my x xy y �    � �    �

(HSG hà tĩnh 2013) LG Hệ phương trình đã cho tương đương với 2 2 0 0 my y m x xy y �    � �    �

(28) (29) Ta xem pt (29) là phương trình bậc hai với ẩn x � phương trình (29) có nghiệm khi 2 0 4 0 4 y y y y � �    � � � ��

Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình (28) có nghiệm y thỏa mãn

0

4

y

y

�

�

�

2

y m



�



Xét hàm ( ) 2 1

y

f y

y



 y� � (   ; 4] [0; �  � )

Ta có

2

2 2

1

y

y





Bảng biến thiên

y -� -4 0 1 +�

f’(y ) + 0

-f(y) 1/2

0 0 0

-4/17

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (30) có nghiệm thỏa mãn

0 4

y y

�

�

�

Khi và chỉ khi

17 m 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm khi

17 m 2

Bên cạnh ứng dụng để giải phương trình,bất phương trình,hệ phương trình thì một ứng dụng cũng hết sức quan trọng của tính đơn điệu của hàm số đó là tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số, của các biểu thức và chứng minh các bất đẳng thức

Sau đây tôi xin phép được đưa thêm một số ví dụ về ứng dụng đó.

2.2.4/TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,NHỎ NHẤT

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y  x2 4x21  x2 3x10 (Khối D, 2010)

LG

Điều kiện  � �2 x 5

'

y

y' 0 �( 2 x 4)  x2 4x21 ( 2  x 3)  x2 4x21

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy miny=y(1/3)= 2

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

Ln x y

9 )

e e

Ln )Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

5.4 khi |sinx|=

15

Bài 4: Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x+y=1.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của

Đặt t xy với 0� �t 14

khi đó S = 16t2 2t 12

Xét hàm f(t)= 16t2 2t 12 với

1 0

x y xy

y x

Bài 5:Cho x,y khác 0 thỏa mãn (x y xy x )  2y2xy.

Tìm giá trị lớn nhất của biếu thức A = 3 3

x  y

(Khối A, 2006)

Xét hàm

3 ( ) t

f t

t



 t� �( ; 3) [1;�  �)

3

f t

t

  

t� �( ; 3) [1;�  �) Bảng biến thiên:

t -� -3 1 +�

f’(t) -

f(t) 4

1

1

0 Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của A Là 4

=> Giá trị lớn nhất của A là 16 khi

x y

x y xy

 

� 

�

Bài 6: Cho a, b là hai số dương thỏa mãn điều kiện 2(a2b2)ab (a b ab)( 2).

Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức

P

(Khối B, 2011)

LG

Với a,b là số thực dương nên ta có:

2 2

2(a b )ab (a b ab)( 2)�2(a2b2)ab a b b a 2  2 2(a b )

1 1 2(a b) 1 (a b) 2( )

b a     b a

�

Đặt t

a b

b a

khi đó ta có: 2 1 2 2(t � t2) �(2 1)t 2 �8(t2)�4t2 4 15 0t � 5

2

3

( )

2

t

��

�

� �

� �

Lúc này P=4(t33 ) 9(t  t2 2) 4t39t212 18t

Xét hàm f(t)=4t39t212t18 với

5 2

t�

Ta có f t'( ) 12 t218 12 0t  với t�52

 hàm số đồng biến

5 [ ; )

2 �

do đó [ ;52 )

Min f t f

�   

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

23 4

 khi

t�Khi đó P = t4 2t33t2  3t 10

Xét hàm f t( ) t4 2t33t2 3 10t

10

; 3

 ��  ���

Do đó

10 2596 ( ) ( )

81 khi x=3, y=1 hoặc x=1, y=3

Bài 8:Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x2y2 1.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Với y�0 Đặt

x t y



khi đó P =

2 2



 

Xét hàm f(t) =

2 2



Ta có

2

3

8 12 36

( 2 3)

2

t



�

�

� Bảng biến thiên

t

-�

3 2  3 +�

f’(t) 0 + 0

f(t) 3

2 2

-6

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của P là 3 khi 2 2 3 1 , 3 10 10 3 1 1 , 10 10 x y x y x y x y �   �  � � � �   � � �    Giá trị nhỏ nhất của P là -6 khi 3 2 , 13 13 3 2 , 13 13 x y x y �   � � �     � Bài 9.Cho các số thực x, y thoả mãn (x4)2 (y 4)22xy�32 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x3y33(xy1)(x y 2) (Khối D, 2012) LG Ta có: 2 ( ) 4 x y xy  � � A = 3 3 3 2 ( ) 3( ) 6 6 ( ) 3( ) ( ) 6 2 x y  x y  xy �x y  x y  x y  (*)

Ta có: (x4)2 (y 4)22xy�32��(x y)2 8(x y�) 0 0�x y 8

Đặt t x y  , t� 0;8

Khi đó (*) trở thành A �

3 3 2

3 6 2

t  t  t

Xét hàm

3 3 2

2

f t  t t  t

 t� 0;8