PT MŨ-LOGARIT

Phửụng phaựp 4: Nhaồm nghieọm vaứ sửỷ duùng tớnh ủụn ủieọu ủeồ chửựng minh nghieọm duy nhaỏt thửụứng laứ sửỷ duùng coõng cuù ủaùo haứm * Ta thửụứng sửỷ duùng caực tớnh chaỏt sau: với

-Chuyên đề:  PHệễNG TRèNH VAỉ BAÁT PHệễNG

COÙ CHệÙA MUế VAỉ LOGARÍT.

I KIEÁN THệÙC Cễ BAÛN VEÀ HAỉM SOÁ MUế

1 Caực ủũnh nghúa:

• n

n thua so

a = a.a a 123 (n Z ,n 1,a R) ∈ + ≥ ∈

• a1= a ∀ a

• a0 = 1 ∀ ≠ a 0

• a n 1n

a

− = (n Z ,n 1,a R / 0 ) ∈ + ≥ ∈ { }

• am n =n ma ( a 0;m,n N > ∈ )

•

m n

n

a

a a

−

2 Caực tớnh chaỏt :

• a am n = am n+

•

m

m n n

a

−

=

• (a )m n = (a )n m= am.n

• (a.b)n = a bn n

• ( ) a n an n

3 Haứm soỏ muừ: Daùng : y a = x ( a > 0 , a≠1 )

• Taọp xaực ủũnh : D R =

• Taọp giaự trũ : T R = + ( ax > 0 ∀ ∈ x R )

• Tớnh ủụn ủieọu:

* a > 1 : y a = x ủoàng bieỏn treõn R

* 0 < a < 1 : y a = x nghũch bieỏn treõn R

• ẹoà thũ haứm soỏ muừ :

Minh hoùa:

II KIEÁN THệÙC Cễ BAÛN VEÀ HAỉM SOÁ LOÂGARÍT

1 ẹũnh nghúa: Vụựi a > 0 , a ≠1 vaứ N > 0

a>1

y=ax

y

x

x

1

a

log N M = ⇔ a = N

Điều kiện có nghĩa : loga N có nghĩa khi









>

≠

>

0 1 0

N a

a

2 Các tính chất :

• log 1 0a = log a 1a =

• log aa M = M alog N a = N

• log (N N ) log Na 1 2 = a 1+ log Na 2 a 1 a 1 a 2

2

N

• log Na α = α .log Na Đặc biệt : log Na 2 = 2.log Na

3 Công thức đổi cơ số :

• log N log b.log Na = a b

a

log N log N

log b

=

* Hệ quả:

b

1 log b

log a

a

1

k

=

4 Hàm số logarít: Dạng y log x = a ( a > 0 , a ≠ 1 )

• Tập xác định : D R = +

• Tập giá trị T R =

• Tính đơn điệu:

* a > 1 : y log x = a đồng biến trên R+

* 0 < a < 1 : y log x = a nghịch biến trên R+

• Đồ thị của hàm số lôgarít:

5 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:

1 Định lý 1: Với 0 < a ≠1 thì : aM = aN ⇔ M = N

2 Định lý 2: Với 0 < a <1 thì : aM < aN ⇔ M > N (nghịch biến)

3 Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN ⇔ M < N (đồng biến )

4 Định lý 4: Với 0 < a ≠1 và M > 0;N > 0 thì : loga M = loga N ⇔ M = N

5 Định lý 5: Với 0 < a <1 thì : loga M < loga N ⇔ M >N (nghịch biến)

6 Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N ⇔ M < N (đồng biến)

0<a<1

y=logax

y

O

a>1

y=logax

1

y

x O

-III CAÙC PHệễNG PHAÙP GIAÛI PHệễNG TRèNH MUế THệễỉNG SệÛ DUẽNG:

1 Phửụng phaựp 1: Bieỏn ủoồi phửụng trỡnh veà daùng cụ baỷn : a M(x) = a N(x) (ủoàng cụ soỏ)

Vớ duù : Giaỷi caực phửụng trỡnh sau :

16x 10 x 10+− = 0,125.8x 15 x 5−+

Baứi taọp reứn luyeọn:

17 7

5

128 25 , 0

+

−

+

x x

x

c, 2 2 32 11 1

x x

− +

2 1 1

2 3

0,12 5

x x

x

− +

−

 

=

 ữ

 ữ

 

2 1

x

x x

+

2 Phửụng phaựp 2: ẹaởt aồn phuù chuyeồn veà phửụng trỡnh ủaùi soỏ

các dạng toán cơ bản sau:

( )

( )

( )

c c

−

Vớ duù : Giaỷi caực phửụng trỡnh sau :

1) 32x 8+ − 4.3x 5+ + 27 0 = 2) 6.9x− 13.6x+ 6.4x = 0 3) ( 2 − 3 )x + ( 2 + 3 )x = 4

=

−x x x

x 5) 3.8x +4.12x −18x −2.27x =0 6) 2.22x −9.14x+7.72x =0

x

Baứi taọp reứn luyeọn:

1) (2+ 3)x +(2− 3)x =4 (x±1) 2) 8x +18x =2.27x (x=0) 3) 125x+50x =23x+ 1 (x=0) 4) 25x+10x =22x+1 (x=0) 5) ( 3 + 8 )x+ ( 3 − 8 )x = 6 (x=±2)

6) 27x+12x =2.8x (x=0)

3 Phửụng phaựp 3: Bieỏn ủoồi phửụng trỡnh veà daùng tớch soỏ A.B = 0

Vớ duù : Giaỷi phửụng trỡnh sau :

1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x 2) 2x2+x −4.2x2−x −22x +4=0

Baứi taọp reứn luyeọnù:

a, 12.3x +3.15x −5x+ 1 =20 (

3

5 log3

=

b, 4 x2+ x 2x2 + 1+ 3.2x2 = x2+ 2x2 + 8 x + 12

4 Phửụng phaựp 4: Nhaồm nghieọm vaứ sửỷ duùng tớnh ủụn ủieọu ủeồ chửựng minh

nghieọm duy nhaỏt (thửụứng laứ sửỷ duùng coõng cuù ủaùo haứm)

* Ta thửụứng sửỷ duùng caực tớnh chaỏt sau:

với b=a.c ta chia 2 vế cho c2f(x) rồi đặt ẩn phụ với (a+b)(a-b)=1 ta đặt ẩn phụ t= (a+b)f(x)

với a b a . b 1

= ta đặt ẩn phụ t= (a b

c

+

)f(x)

-• Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một

nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương

trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n sau:

( )

( )

( )

( )

6

c c

=

+ =

− = −

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) 3x + 4x = 5x 2) 2x = 1+ 3x2 3) ( ) 1 3 x = 2x 1 +

4; 3.25x-2+9(3x-10).5x-2+3-x=0 5; x2.3log 2x− xlog 3 2 = xlog 9 2

Bài tập rèn luyện:

1) 2.2x+3.3x =6x −1 (x=2) 2) 2x =3−x (x=1)

3; x x + log 3 2 = xlog 5 2 4; 2x−1− 2x2−x= − ( x 1)2

5; 2x + 3x = x + 4 6; 8sin2x+ 8cos2x = + 10 cos 2 y

IV CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG :

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : log M log Na = a (đồng cơ số)

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) log (x 6) 3x + = 2) 2 x 1 x 1

2 log (4 + = − 4) x log (2 + − 3)

3) 21log ( 1) log ( 4) log2(3 )

2 1

2

2 x− + x+ = −x (x= − 11 ;x = − 1 + 14 ) 4; log (x2 2+ 3x 2) log (x 7x 12) 3 log 3 + + 2 2+ + = + 2

2 Phương pháp 2: Ph¬ng ph¸p l«garÝt ho¸

Tỉng qu¸t:

( )

( )

f x

b

a

 

 

VÝ dơ : gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau.

a, 2x.3x+1 =12 b; x = 10x x-x2 c; x1+log x 3 = 3 x2

d; 57 2 x = 75 2 x e; 3x.8x+2x = 6

3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

4

3

+ = 2) log log2 1 5 0

3 2

víi a b a . b 1

víi (a+b).(a-b) ≠1 víi b ≠ a.c

-3; log 2.log 2.log 4x 0x 2x 2 = 4; ( ) 2

x 3 log (x 2) 4(x 2)log (x 2) 16 + + + + + =

5; log3x 7+ (9 12x 4x ) log + + 2 + 2x 3+ (6x2+ 23x 21) 4 + =

6; 2

log (5 ) 1 log 7

3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0

Ví dụ : Giải phương trình sau :

log x 2.log x 2 log x.log x2 + 7 = + 2 7

Bài tập rèn luyệnï:

2.log2 log3 log3( 2 1 1)

9 x= x x+ − (x=1;x=4) log x log x log x.log x2 + 3 = 2 3

4 Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất.

(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

• Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong kho¶ng (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một

nghiệm trong kho¶ng (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong kho¶ng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương

trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong kho¶ng (a;b)

do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

a; log (x2 2− − + = x 6) x log (x 2) 42 + + b; log (x 1) log (x 2)2 + = 3 +

c; log (x2 2 + − = − x 5) 2 x

V CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M < a N (≤ > ≥ , , )

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

1) 3 x 2x 2 ( ) 1 x x 1

3

− −

− ≥ 2) 2

x 1

x 2x

2

−

− ≥ 3; ( 2 )2 3

Bài tập rèn luyện: a; 2x+2x+1 ≤3x+3x−1 (x ≥ 2)b;

2 3 2

1

x

x x

−

−

 + ÷

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1)22x− 3.(2 ) 32 0x 2+ + < 2)2x+ 23 x− ≤ 9 3)

+

+ >

4) 8+21 +x −4x +21 +x >5 (0<x≤2) 5) 15 2x+ 1 + 1 ≥ 2x − 1 + 2x+ 1 (x≤2)

6; 2.14x +3.49x −4x ≥0 ( log 3

7 2

≥

VI CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : log M log Na < a (≤ > ≥ , , )

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

1)log (5xx 2− 8x 3) 2 + > 2) 2 3 − <

3 log log x 3 1

3)log3x x− 2(3 x) 1 − > 4)log (log (3x 9 x − 9)) 1 ≤

5) log (4 144) 4log 2 1 log (2 2 1)

5 5

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

log (3 + + 2) 2.log + 2 3 0 − > 2)log 64 log 16 32x + x 2 ≥

3 log

3 ) (log

2

2

+

+

x

x

(

2

1 8

1

<

<x )

3 Phương pháp 3: Ph¬ng ph¸p l«garÝt ho¸

Tỉng qu¸t: ( )

( ) f(x) ( )

a

>

>

VÝ dơ : gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau.

a, 2x.3x+1 <24 b; 5x.8x-1x ≥ 500 c; 57 2 x ≥ 75 2 x d; xlog 22x ≥ (2x)4

VII PHƯƠNG PHÁP Gi¶i pt-bpt mị vµ LOGARIT cã tham sè

DẠNG 1: Sử dụng công cụ đại số giải các bài toán có chứa tham số

Bài 1: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm: 4x−4 (2x −1)=0

m (m<0∨m≥1 )

Bài 2: Cho phương trình: 4x−m.2x+ 1+2m=0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ≠x2 sao cho x1+x2 =3 (m=4)

Bài 3: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: (m+3).16x+(2m−1)4x+m+1=0 (

4

3

1< <−

− m )

DẠNG 2: Sử dụng công cụ đạo hàm giải các bài toán có chứa tham số

Bài 1: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: 5.16x+2.81x =m 36 x (m<2 10)

Bài 2: Tìm m sau cho bất phương trình: 1+log5(x2+1)−log5(x2+4x+m)>0

có nghiệm x∈[2,3] (− 21 ≤ m ≤ 29)

3

1

31 −x+ 1−x + m=

có nghiệm (m ≤ − 2)

Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 161 − 1 −x2 −(m+5)41 − 1 −x2 +4+5m=0

BÀI TẬP RÈN LUYỆN  Bài 1: Giải các phương trình

2

12 2

1 2

6

23x − x − 3(x−1) + x = (x=1)

8 2

2

3) log7x=log3( x+2) (x=49)

4) log5 x=log7(x+2) (x=5)

5) 5.23x− 1 −3.25 − 3x +7=0 (x=1)

2

1 log 4 log 2 3 2 log x− x − = + (

2

5

=

7)

x

x x

xlog2 3−log22 −3=1 (x=1,x=2,x=4)

8) 2xlog2x+2x−3log8x−5=0 ( , 2

2

9) log22x+(x−1)log2x=6−2x ( , 2

4

10)

x

x x

4 4

log

2 ) 10 ( log 2 log

2

Bài 2: Giải các bất phương trình

1) 32x−8.3x+ x+ 4−9.9 x+ 4 >0 (x>5)

-2) 9 x2− 2x−x −7.3 x2− 2x−x− 1≤2 ( 0 2

4











<











2

1 2

1 6 3 (x < − 1 ∨ 0 < x < 1 ∨ x > 1)

8

1 4

≥

−













−











 x x− (

3

4

−

≤

5) log5(1−2x)<1+log 5(x+1) (

2

1 5

2< <

6) 2 − log2x > log2x ( 2

4

1 ≤x< ) 7) log log9(3x −9)<1

x (x>log310)

) 3 ( log

1

2

2

4 x + x < x − (3 1

2<x< )

1

) 3 ( log ) 3 (

3 1 2 2

1

>

+

+

− +

x

x x

(-2 < x <-1)

Bài 3 : Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1

2 1

2

3 2 log

2

x x y

x

− −

=

+ 2

2

2

y

− −

Bµi 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

a.2x2− +x 8 = 41 3x−

b x2 6x 52

c.2x + 2x 1− + 2x 2− = 3x − 3x 1− + 3x 2−

d.2 3 5x x 1− x 2− = 12

e.(x2− + x 1)x 12− = 1

f.( x x ) − 2 x 2− = 1

g.(x2 − 2x 2) + 4 x− 2 = 1

Bµi 5:Gi¶i ph¬ng tr×nh:

a.34x 8+ − 4.32x 5+ + 27 0 =

b.22x 6+ + 2x 7+ − 17 0 =

c.(2 + 3)x + − (2 3)x − = 4 0

d.2.16x − 15.4x − = 8 0

e.(3 + 5)x + 16(3 − 5)x = 2x 3+

g.3.16x + 2.8x = 5.36x

i 2x 3x 3x

+

j 5x + 5x 1+ + 5x 2+ = 3x + 3x 1+ + 3x 2+

k (x 1) + x 3− = 1

Bµi 6:Gi¶i ph¬ng tr×nh:

a.3x + 4x = 5x

c.x2− − (3 2 )x 2(1 2 ) 0x + − x =

d.22x 1− + 32x + 52x 1+ = 2x + 3x 1+ + 5x 2+

Bµi 7:Gi¶i c¸c hƯ ph¬ng tr×nh:

a

x y 3x 2y 3

+

− −





=



x y (x y) 1

+





=



b







d

x y 5

 + =

 + =



e

2

2









víi m, n > 1

Bµi 8: Gi¶i vµ biƯn luËn ph¬ng tr×nh:

-a

b m.3x + m.3−x = 8

Bài 9: Tìm m để phơng trình có nghiệm:

Bài 10: Giải các bất phơng trình sau:

a x x 26

9 < 3 +

b 2x 11 3x 11

c.1 5 < x2−x < 25

d.(x2 − + x 1)x < 1

e.(x2 2x 3)x 1x 1 1

− +

f.(x2− 1)x2+2x > x2 − 13

Bài 11: Giải các bất phơng trình sau:

a.3x + 9.3−x − 10 0 <

b.5.4x + 2.25x − 7.10x ≤ 0

e.25.2x − 10x + 5x > 25

f 9x − 3x 2+ > 3x − 9

Bài 12: Giải bất phơng trình sau:

x

0

−

Bài 13: Cho bất phơng trình: 4x 1− − m.(2x+ > 1) 0

a Giải bất phơng trình khi m=16

9 .

b Định m để bất phơng trình thỏa∀ ∈ x R

Bài 14: a Giải bất phơng trình:

2

+

(*)

b.Định m để mọi nghiệm của (*) đều là nghiệm của

bất phơng trình:

( )

2

Bài 15: Giải các phơng trình:

a log x log x 65 = 5( + − ) log x 25( + )

b log x log x log5 + 25 = 0,2 3

x

x 1

+

−

e.1 lg(5x 4) lg x 1 2 lg 0,18

Bài 16: Giải các phơng trình sau:

1

b.log x2 + 10 log x 6 02 + =

c log0,04x 1 + + log x 3 10,2 + =

d.3log 16 4 log x 2 log xx − 16 = 2

e.log 16 log 64 3x2 + 2x =

f.lg(lgx) lg(lg x + 3− = 2) 0

Bài 17: Giải các phơng trình sau:

2

c

2

1

8

d.lg 6.5 ( x + 25.20x) = + x lg25

e

( ) ( x ) ( 1 x )

f.x lg 4 5 + ( − x) = x lg2 lg3 +

g.5lg x = 50 x − lg5

h x 1 − lg x lg x2 − 2 = − x 13

i.3log x2 + xlog x 3 = 162

Bài 18: Giải các phơng trình:

a.x lg x + ( 2 − − = + x 6 ) 4 lg x 2 ( + )

b.log x 13( + + ) log 2x 15( + = ) 2

c

d.2log x 3 5( + ) = x

Bài 19: Giải các hệ phơng trình:

-a

lg x lg y 1







x y 5



 + =



( ) ( )







log x log y 0







e

x y

y x

+







f

y

2

2log x

log xy log x







Bài 20: Giải và biện luận các phơng trình:

a

2

3

c logsin x2.logsin x2 a = − 1

d

2 2 a x

−

Bài 21 : Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất:

a

3

( )

lg ax

2

+

Bài 22: Tìm a để phơng trình có 4 nghiệm phân biệt

2

Bài 23: Giải bất phơng trình:

8

b log x log x 3 03 − 3 − <

3

d

5

3

5

2

+ ≥

g log 2.log 2.log 4x 1x 2x 2 >

3

4x 6

i log x 32( + ≥ + ) 1 log x 12( − )

8

2

2 log (x 2) log (x 3)

3

2

≥

l log5 3x 4.log 5 1 + x >

m

2

3 2

≥ + −

2 log x log x 1 + >

2x

p log3x x− 2( 3 x − ) > 1

q

2

2 3x

x 1

5

2

+

3

x 1

x 2

+

s log x log x 022 + 2 ≤

2 16

1 log 2.log 2

log x 6

>

−

v

2

Bài 24: Giải bất phơng trình:

a 6log x26 + xlog x 6 ≤ 12

-b 2 log 2x log x 2 2 3 1

x

x

2

d

2

0

2 5x 3x

≥

Bài 25: Giải hệ bất phơng trình:

a

2 2

0

lg x 7 lg(x 5) 2 lg2

>





b

( )

x

+





+ >



( )

2 x

4 y

−

−





Bài 26: Giải và biệ luận các bất phơng trình(0 a 1 < ≠ ):

a xlog x 1 a + > a x2

b

2 a a

1 log x

1

1 log x

+

c

1

2

Bài 27: Cho bất phơng trình:

x 4

= Giải bất phơng trình

Bài 28: Tìm m để hệ bất phơng trình có nghiệm:

2

lg x m lg x m 3 0

x 1



Bài 29: Cho bất phơng trình:

2

1 2

a Giải bất phơng trình khi m = 2

b Giải và biện luận bất phơng trình

Bài 30: Giải và biện luận bất phơng trình:

a

Bài tập Chuyên đề phơng trình, bất phơng trình mũ và logarit

Dạng cơ bản :

Các bài tập áp dụng:

91 Tìm m để mọi nghiệm của bất phơng trình

12 3

1

3

3

>













+











 x x+ cũng là nghiệm của bất phơng trình

(m-2)2x2-3(m-6)x-(m+1)<0 (*)

92 (3+ 5)2x−x2 +(3− 5)2x−x2 −21 + 2x−x2 ≤0

93 (3+2 2) (x = 2−1)x+3

2 3

2 3

.

≤

−

− +

x x

x x

95 6 92x2−x − 13 62x2−x + 6 42x2−x ≤ 0

96 log ( 2 2 ) log(2 ) 2 2 0

97 4log 2 2x − xlog 2 6 = 2 3log 2 4x2

log x+ 9 12 4 + x x + + log x+ 6 x + 23 21 4 x + =

99 2x 3x− 1 5x− 2 = 12

100 log2log2 x = log3log3x

101 log2log3log4 x = log4log3log2 x

102 log log x + log log x = log log x

103 log2logx3 ≥ log3logx2

104 xlog 2 ( 4x) ≥ 8 x2

105 xlg2x2−3 lgx−4 , 5 = 10−2 lgx

106 logx+ 1 (x− 1 )+ ( − 1 )logx+ 1x ≤ 2

x x

107 5lgx = 50 − xlg 5

108 6log2x+ xlog 6x ≤ 12

109 log5(x+ 3 ) = x

2

110 3log2x+ xlog 3x = 162

x

−

8

6

1 3

1

2+ − > x+

x x

3 1

1 1 3

1

+

1

2

<

< x −x